Beispiele für lokale Extrema und Sattelstellen

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Beispiele für lokale Extrema und Sattelstellen:

Beispiel 1:
Gegeben sei die Funktion f(x) = x² - x³. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 2x - 3x². Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
2x - 3x² = 0.
Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 2/3. Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern. Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
- Für x < 0 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x²-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(-1) = -5.
- Für 0 < x < 2/3 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1/3) = 1/3.
- Für x > 2/3 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x²-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1) = -1.
Daher ergibt sich:
- An der Stelle x = 0 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ auf positiv. Diese Stelle ist daher eine lokale Minimumstelle.
- An der Stelle x = 2/3 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher eine lokale Maximumstelle.
Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!
Beispiel 2:
Gegeben sei die Funktion f(x) = 4x³ - 3x⁴. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 12x² - 12x³. Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
12x² - 12x³ = 0.
Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 1. Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern. Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
- Für x < 0 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x³-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(-1) = 24.
- Für 0 < x < 1 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1/2) = 3/2.
- Für x > 1 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x³-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(2) = -48.
Daher ergibt sich:
- Links und rechts von x = 0 hat die Ableitung dasselbe Vorzeichen. Diese Stelle ist daher ein Sattelpunkt.
- An der Stelle x = 1 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher eine lokale Maximumstelle.
Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!