Beispiele für lokale Extrema und Sattelstellen:
- Beispiel 1:
Gegeben sei die Funktion
f(x) = x2 - x3.
Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar.
Die Ableitung ist f '(x) = 2x - 3x2.
Die Gleichung
f '(x) = 0 lautet
2x - 3x2 = 0.
Ihre Lösungen sind
x = 0 und
x = 2/3.
Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern.
Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
- Für
x < 0 ist
die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem
x2-Beitrag
von f '(x)
oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(-1) = -5.
- Für
0 < x < 2/3 ist
die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(1/3) = 1/3.
- Für x > 2/3 ist
die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem
x2-Beitrag
von f '(x)
oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(1) = -1.
Daher ergibt sich:
- An der Stelle x = 0
ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ auf positiv. Diese Stelle ist daher
eine lokale Minimumstelle.
- An der Stelle x = 2/3
ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher
eine lokale Maximumstelle.
Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter)
an!
- Beispiel 2:
Gegeben sei die Funktion
f(x) = 4x3 - 3x4.
Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar.
Die Ableitung ist f '(x) = 12x2 - 12x3.
Die Gleichung
f '(x) = 0 lautet
12x2 - 12x3 = 0.
Ihre Lösungen sind
x = 0 und
x = 1.
Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern.
Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
- Für
x < 0 ist
die Ableitung positiv. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem
x3-Beitrag
von f '(x)
oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(-1) = 24.
- Für
0 < x < 1 ist
die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(1/2) = 3/2.
- Für x > 1 ist
die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem
x3-Beitrag
von f '(x)
oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B.
f '(2) = -48.
Daher ergibt sich:
- Links und rechts von x = 0
hat die Ableitung dasselbe Vorzeichen. Diese Stelle ist daher ein Sattelpunkt.
- An der Stelle x = 1
ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher
eine lokale Maximumstelle.
Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter)
an!