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Der Name Vektor kommt aus dem Lateinischen und heißt soviel wie
"Träger" oder "Fahrer".
Eine orientierte Strecke, die den kürzesten Weg zwischen einem
beliebigen Weg-Anfangspunkt A und einem beliebigen Weg-Endpunkt E angibt wird
Pfeil AE genannt.
Symbolisch:
AE = (x/y) oder 
Zeilenform
Spaltenform
Dieses angegebene geordneten Zahlenpaar in der Ebene bzw. Zahlentripel im Raum
heißt kartesische Koordinatendarstellung des Pfeils.
Wichtig dabei ist auf die Orientierung zu achten, das heißt in
welche Richtung der Pfeil läuft.
Grundaufgaben für das Rechenen mit Punkten und Pfeilen:
Sind die Koordinaten der Punkte A und E gegeben und will man nun die
Koordinaten von AE wissen, geht man in der Ebene folgendermaßen
vor:
xAE = xE
- xA
yAE = yE
- yA , daraus ergibt sich die:
"Spitze minus Schaft
Regel"
AE = E - A
Zur Berechnung von Pfeilen im Raum verwendet man die gleiche Formel,
jedoch kommt noch die z-Koordinate dazu:
xAE = xE
- xA
yAE = yE
- yA
zAE = zE
- zA, daraus ergibt sich die:
"Spitze minus Schaft
Regel"
AE = E - A
Sind nun umgekehrt die Koordinaten von A und AE gegeben erhält man die
Koordinaten von E in der Ebene so:
xE = xA
+ xAE
yE = yA
+ yAE , daraus ergibt sich die:
"Append"
- Regel
E = A + AE
Im Raum geht man analog vor nur mit Hinzunahme
der z-Koordinate:
xE = xA
+ xAE
yE = yA
+ yAE
zE = zA
+ zAE , daraus ergibt sich die:
"Append"
- Regel
E = A + AE
Betrachtet man nun diese Pfeile, so kann man erkennen, dass verschiedene
Pfeile die gleiche Koordinatendarstellung besitzen.
Grafik
Man kann sehen, dass durch die Angabe der Koordinatendarstellung nicht ein
Pfeil, sondern die Menge aller Pfeile, die gleichlang, gleichorientiert und
parallel sind. Die Anzahl dieser Pfeile ist unendlich. Durch diese Tatsache,
kann man nun einen Vektor definieren:
Definition: Die Menge aller Pfeile der
Ebene bzw. des Raums, welche gleichlang, parallel und gleichorientiert sind,
wird als Vektor bezeichnet.
Also anders ausgedrückt kann man sagen, dass ein Vektor die Menge all
jener Pfeile der Ebene oder des Raumes ist, welche das gleiche geordnete
Zahlenpaar bzw. das gleich geordnete Zahlentripel als Koordinaten besitzen.
Ein Pfeil beschreibt also die geradlinige Bewegung
eines Punktes, ein Vektor hingegen die geradlinige Bewegung einer Punktmenge.
Kurz gesagt, ein Vektor beschreibt eine Schiebung. Somit ist die Schiebung
eines Vektors ortsunabhängig, wobei die
Schiebung eines Pfeils ortsabhängig ist.
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Beispiel: Gegeben sind der Anfangspunkt A
und der Endpunkt E eines Pfeils. Ermittle seine Koordinatendarstellung
graphisch und rechnerisch:
a) A(3/2), E(6/5)
b) A(-1/2), E(3/-4)
c) A(0/0), E(4/3)
Beispiel: Gegeben
sind der Anfangspunkt A und die Koordinatendarstellung des Pfeils AE.
Ermittle die Koordinaten seines Endpunktes E graphisch und rechnerisch
a) A(1/2),  (3/4)
b) A(3/4), (1/2)
c) A(5/-4), (-4/5)
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Die Länge eines Pfeils ergibt sich unter der
Anwendung des Pythagoreischen Lehrsatzes.:
 =  = = 
bzw. = = = 
Die Länge eines
Vektors  wird auch als Betrag  eines Vektors bezeichnet und lässt
sich in der Ebene bzw. im Raum folgendermaßen errechnen:
=    = 
 =  = 
Beispiel:
Ermittle den Umfang des Dreiecks A(2/1), B(5/4), C(0/3) graphisch und
rechnerisch.
Lösung:
 =
(3/3) =>  =
c =  = 4,24
 =
(-5/-1) =>  = a =  = 5,10
 =
(2, -2) =>  = b =  = 2,83
U = a + b + c = 12,17
Beispiele:
1)Ermittle den Umfang des Vielecks graphisch und rechnerisch:
a) A(3/3), B(-2/2), C(-3/-3), D(3/-1)
b) A(3/1), B(0/4), C(-2/4), D(-4/2), E(0/-3)
2)Wie kann die fehlende Koordinate des Pfeils gewählt werden, damit er
die angegebene Länge l besitzt?
a)  l=5
b) = l=61
3) Ermittle den Betrag des Vektors 
a) 
b) 
c) 
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Ortsvektor:
Ein Vektor, der den kürzesten Weg vom Ursprung O zum Punkt P beschreibt,
wird Ortsvektor  genannt.
Richtungsvektor:
Eine wichtige Anwendung von Vektoren besteht im Festlegen von Richtungen.
Inverser Vektor
Der Vektor  bzw.  heißt
entgegengesetzter oder inverser
Vektor
des Vektors  bzw.
Nullvektor
Die Vektoren  bzw.
 heißen
Nullvektoren.
Einheitsvektor:
Der zum Vektor parallele (kollineare)
Vektor  heißt
Einheitsvektor des Vektors . Er hat
immer den Betrag 1.
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