Schachbrettaufgaben

Aufgaben mit Schachbrettern sind leicht zu verstehen, schließlich kennt jeder das Schachbrett. Die Lösungen führen in verschiedene mathematische Gebiete.

1.1 Reiskörner

Wie viele Quadrate aus Gitterlinien können auf einem Schachbrett gezeichnet werden?

Ein Dominostein sei genau so groß wie zwei Schachfelder, man kann das ganze Brett also mit 32 Stück zupflastern, und zwar auf viele, auch auf ausgesprochen fantasiearme Arten.

Wie ist es aber mit 31 Dominosteinen, wenn zwei Felder übrig bleiben sollen, z.B. die linke obere Ecke und die rechte untere Ecke?

3.1 Damen

3.1.1 Normales Schachbrett

Kann man 8 Damen so auf ein 8 x 8 Brett stellen, daß sie sich nicht gegenseitig bedrohen?
Wenn ja, wie viele Möglichkeiten gibt es?

Über das Problem wird berichtet:

"Dieses Problem tauchte zum ersten Mal 1848 in einer Schachzeitung auf, die von der Berliner Schachgesellschaft herausgegeben wurde. Sie stand auch in der "Illustrierten Zeitung" vom 1. Juni 1850, einer allgemeinen Zeitschrift unter der Rubrik Schach. Dadurch fand sie große Leserschaft.... Es gab aber nun einen Leser, der alle Lösungen gefunden hatte und dieser Mann war von Geburt an blind."

3.2 Türme

Man versuche zu beweisen, daß man nicht mehr als acht Türme so auf einem Schachbrett plazieren kann, daß sie sich nicht gegenseitig bedrohen!
Außerdem finde man (mit Begründung!) für jede der Schachfiguren Dame, Läufer, König und Springer jeweils die maximale Anzahl N, für die man N derartige Figuren auf einem Schachbrett plazieren kann, ohne daß sie sich gegenseitig bedrohen.

Hinweis: Ein Turm bedroht alle Felder derselben Zeile und derselben Spalte, eine Dame alle Felder derselben Zeile, Spalte und Diagonalen. Ein Läufer bedroht alle Felder derselben Diagonalen. Ein König bedroht alle (maximal acht) direkt benachbarten Felder. Der Springer schließlich bedroht alle von ihm aus im Rösselsprung erreichbaren Felder (,,Zwei vor/zurück, eins zur Seite`` oder ,,Eins vor/zurück, zwei zur Seite``).

4.1 Das hungrige Mäuslein

"Nein" ist die Antwort.

Die Argumentation hat mit der Lösung der Dominoaufgabe nicht viel gemeinsam. Richtig ist, daß es auch hier auf die schwarzen und weißen Felder ankommt. Aber das ist nicht genug. Das andere wesentliche Argument ist, daß 8 eine gerade Zahl ist.

Um den Einfluß der geraden Anzahl Felder zu sehen, betrachte ich ein Schachbrett mit nur 3x3 Feldern.

In einem 3x3 Schachbrett ist ein Mäuseweg ohne Feldwiederholung von links unten nach rechts oben möglich. Es ist ja nicht verlangt, daß die Maus nach jedem Stück Speck auch noch ein Stück Käse essen m u ß.

Es handelt sich hier nämlich nicht um das Domino-Stein-Problem, sondern um die Frage nach einem Hamilton-Weg, also einer "Reise" von Start nach Ziel, bei der jeder andere Ort der Karte genau einmal besucht wird.

Ich fasse die Felder des Schachbretts als Knoten eines Graphen auf. Zwei Felder sind durch eine (ungerichtete) Kante verbunden, wenn sie mit einer Seite aneinander grenzen. Für den Eingang links unten, füge ich eine weitere Ecke und Kante hinzu. Für den Ausgang rechts oben, füge ich eine weitere Ecke und Kante hinzu.

Der Graph für ein 2x2 Problem (erweitert um Kanten zum Start und zum Ziel)

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5.1 Das zersägte Schachbrett

Man bestimme diejenigen Werte von n, für welche das Spiel mit nur einem verbleibenden Spielstein beendet werden kann!

(I) Man beweise, wenn a und b gegebene Zahlen sind, dann besitzt das Gleichungssystem

                         x + y + 2z + 2t = a 

                         2x - 2y + z - t = b

eine Lösung für ganze Zahlen x, y, z und t.

(II) Ein Springer, der sich auf einem Feld O eines unendlichen Schachbretts befindet, kann jedes Feld des Schachbretts erreichen. (Ein unendliches Schachbrett besteht aus quadratischen Feldern, die die ganze Ebene überdecken.)

Ich habe versucht die Vielfalt dieses Themas zu zeigen und das Material sinnvoll zu ordnen und zu kommentieren.

Dabei habe ich so gewissenhaft, wie es mir möglich war, die Quellen und Verweise angegeben.

Die Aufgaben sind teilweise schon Allgemeingut (Reiskörner), aber oft habe ich die Formulierung für eine Aufgabe von anderen übernommen. Lösungen habe ich hier nur wiedergegeben, wenn sie von mir stammen. Fremde Lösungen findet man als Verweise. Für einige Aufgaben gebe ich keine Lösungen an - versuche es selbst.
Zur Illustration zeige ich einige Abbildungen von fremden Seiten. Ich bitte das als Einladung an Besucher zu verstehen, die "zitierte" Seite zu besuchen.