Zur Geometrie der Ellipse

 

Die Ellipse war seit der Entdeckung des Johannes Keppler in den Mittelpunkt geometrischer Betrachtungen gerückt. Auch im Geometrieunterricht  der Schule spielte sie über Jahrzehnte, ja Jahrhunderte eine zentrale Rolle. Das Einfache an dieser Kurve ist, dass sie als Bild eines Kreises erzeugt werden kann. Dabei zeigt sich, dass Hyperbel und Parabel als Schwesterkurven der Ellipse auftreten. Auch diese bilden Planetenbahnen. Da in der letzten Zeit die Ellipse aus dem Schulunterricht immer mehr verdrängt wurde, sollen hier einige Betrachtungen zur Geometrie der Ellipse zusammengestellt werden.

 

Das Neue an der Darstellung ist, dass die zitierten Sätze und Sachverhalte nicht bewiesen werden, sondern durch Applets mit beweglichen Elementen (Punkte, Geraden, Kreise) demonstriert werden. Durch Experimentieren an und mit den Figuren sind (manchmal) die Beweise zu "ersehen". In anderen Fällen wird man zu Bleistift und Papier greifen, um den Beweis zu erbringen.

Die Applets und Animationen wurden mit der Geometrie-Software Cinderella erstellt. Verfügt man über diese Software, so lassen sich die durchgeführten Konstruktionen aus den Konstruktionsbeschreibungen ersehen.

 

1.Eine klassische Definition der Ellipse:

·         Die Ellipse ist die Ortslinie  aller Punkte, deren Abstandssumme von zwei festen Punkten konstant ist.

Die festen Punkte seien F1 und F2, die Abstandssumme sei 2a, dann gilt für einen Ellipsenpunkt P:  |F1P| + |F2P| = 2a. Dies zeigt eine Demonstration  mit beweglichen Punkten.

Das gleiche mit "Fernsteuerung": Legt man die Ellipsendurchmesser auf zwei Geraden außerhalb der Ellipse, und bewegt P* dort, so erzeugt  der abhängige Punkt P ebenfalls die Ellipse. Auch hier lassen sich die Achsen variieren. Außerdem sind noch die Tangente und die Normale eingezeichnet.

Schließlich zeigt die Animation der Konstruktion den Vorgang kontinuierlich.

 

2. Die Ellipse als Bild eines Kreises. Ein schräger Schnitt durch einen Zylinder erzeugt als Schnittfigur eine Ellipse. In eine Ebene gelegt ergibt sich daraus

·         Die Ellipse ist das senkrecht-affine Bild ihres Hauptscheitelkreises (Radius a). Der Abbildungsmaßstab ist das Verhältnis der Achsen: Bild

. Genau so lässt sich natürlich die Ellipse auch als Bild ihres Nebenscheitelkreises (Radius b) erzeugen.

 

3. Die gezeigte Konstruktion führt auf eine Papierstreifenkonstruktion der Ellipse. Der Papierstreifen ist hier so lang wie die Summe der Achsen. Dazu gibt es noch die zweite Möglichkeit des kleinen Papierstreifens.

 

4. Eine interessante Ellipsenkonstruktion ist die Verwendung des Knickgelenks als Ellipsenzirkel. Hierzu die Animation.

 

5. Auch ein rollender Kreis lässt sich als Ellipsenzirkel verwenden.

 

6. Noch einmal: die Ellipse als Bild eines Kreises:

Bekanntlich entsteht eine Ellipse auch als Schnittfigur eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene. Daraus leitet sich her:

·         Die Ellipse ist das perspektive Bild ihres Hautscheitelkreises.

Das Applet erlaubt, auch die Verwandtschaft von Ellipse und Hyperbel zu zeigen. Probieren Sie es aus.

 

 

 

7. Die Verwandtschaft zwischen Ellipse und Hyperbel lässt sich auch zeigen, wenn man die

·         Ellipse mit Hilfe ihres Leitkreises als Hüllkurve ihrer Tangenten erzeugt.

 Ändert man die Größe des Leitkreises, geht die Ellipse in eine Hyperbel über: Bild

Fügt man noch die Normale hinzu, so umhüllt diese einen Vierspitz . Auch hier kann man das Ergebnis bei der Hyperbel betrachten.