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Hyperbelfunktionen im Lexikon von mathe online

Zurück zum dritten Teil über Hyperbelfunktionen



H 10. Philosophien über den Einheitskreis
und seiner imaginären Schwester,
der Einheitshyperbel


In diesem Abschnitt wird kurz darüber diskutiert, wie weit Argumente in trigonometrische bzw. hyperbolischen Funktionen sinnvoll gewählt bzw. nach entsprechender Wahl (geometrisch) gedeutet werden können. Dann wird kurz auf die charakteristische Gestalt einer Potenzreihe im allgemeinen und im speziellen auf die Potenzreihe der Exponentialfunktion mit komplexem Argument eingegangen. Hat man dieses Werkzeug einmal zur Verfügung, so sind die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen darin als Spezialfälle enthalten und bringen daher (von der optisch anders lautenden Beschreibung, Sinus und Cosinus, abgesehen) nichts Neues.

Was ist ein rechter Winkel? Manche ordnen dem rechten Winkel willkürlich eine Zahl mit einer Einheit, also etwa 90° oder 100 Neugrad zu. Andere verstehen unter dem Winkel die zugehörige Bogenlänge des Einheitskreises. Zwar ist der Einheitskreis ein besonderer Kreis, die Identifikation des Winkels mit der Bogenlänge wirkt dennoch auch willkürlich - auf den ersten Blick. Immerhin haben wir damit noch eine geometrische Deutung als Zugabe. Diese Identifikation eines Winkels mit der zugehörigen Bogenlänge des Winkel am Einheitskreis bringt einige Vorteile mit sich: So sind in einer nahen Umgebung um Null die Bogenlänge und der zugehörige Sinuswert nahezu gleich lang. Dennoch: Hatten wir wirklich die beste Wahl getroffen?

Hyperbelfunktionen: Die Hyperbelfunktionen hatten wir mit Exponentialfunktionen definiert. Damit hatten wir auch die Variable, die wir A nannten, von den Exponentialfunktionen übernommen und hatten sonst nichts mehr zu tun. Darüber hinaus haben wir noch eine sinnvolle geometrische Deutung für diese Variable gezeigt.

Im Rahmen dieser Texte haben wir die Hyperbelfunktionen vorwiegend mit reellen Argumenten untersucht. Die trigonometrischen Funktionen werden in einer einführenden Literatur zumeist ebenfalls nur mit reellen Argumenten und Funktionswerten betrachtet. Wenn alles reell sein soll, wieso zum Donnerwetter kann dann auf einmal

cosh[A] = cos[iA]


gelten??

Betrachten wir einmal ein Polynom n-ten Grades

p(x) = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4.......



Dieses Polynom ist "(n+1)-mal" differenzierbar. Wenn wir von all diesen Ableitungen nun die k-te Ableitung an der Stelle 0 berechnen, so erhalten wir:

             p(k)(0) = k!*ak

             ak = pk(0)/(k!)


Die Koeffizienten des Polynoms können also auf eine alternative Art dargestellt werden. Wenn wir das für alle n Ableitungen machen und die Ausdrücke für die ak ersetzen, so erhalten wir folgende Darstellung des Polynoms:

p(x) = p(0) + p'(0)*x + p''(0)*x2/(2) + p'''(0)*x3/(3!) + p''''(0)*x4/(4!) + .....



Diese Darstellung ist für eine Polynomfunktion exakt. Ohne Beweis sei angeführt, dass x dabei ein beliebiges komplexes Argument sein darf. Darüber hinaus kann diese Darstellung auch für einige transzendente Funktionen die unendlich oft differenzierbar sind, etwa eA, angewandt werden. Für die Exponentialfunktion erhalten wir eine unendliche Reihe, die für alle (komplexen) A konvergent ist (Der Konvergenzradius ist daher "Unendlich"). Die Ableitung von eA lautet immer eA, die Ableitung an der Stelle Null lautet immer 1! Die Potenzreihe für die Exponentialfunktion eA lautet daher

eA = 1 + A + A2/2 + A3/(3!) + A4/(4!) + ...



Als kurze Aufgabe empfehlen wir dem Leser die Potenzreihe der Exponentialfunktion (mit unendlich vielen Summanden) einmal abzuleiten und sich davon zu überzeugen, dass diese Ableitung wieder die selbe Potenzreihe ergibt! Die Konvergenz der Exponentialfunktion ist mit dem Quotientenkriterium leicht zu überprüfen (die Koeffizienten gehen rasch genug gegen Null, sodass die Potenzfunktion xn salopp formuliert nicht mehr viel Schaden anrichtet, die Potenzreihe konvergiert für alle x und stimmt mit dem entsprechenden Funktionswert der Exponentialfunktion überein).

Nun setzen wir in die obige Potenzreihe der Exponentialfunktion "-A" ein, dann erhalten wir

e-A = 1 - A + A2/2 - A3/(3!) + A4/(4!) - + A5/(5!) + - ...



Wenn wir nun die Reihenentwicklung für eA und jene für e-A addieren (Für unsere Vorstellung sei A nun reell, diese Einschränkung ist jedoch nicht notwendig), fallen die ungeraden Potenzen weg, die geraden erhalten wir doppelt. Division durch zwei auf beiden Seiten bringt dann schließlich folgendes Resultat:

(1/2)*(eA + e-A) = 1 + A2/2 + A4/(4!) + A6/(6!) + ....



Der Ausdruck auf der rechten Seite sollte uns bekannt vorkommen: Es ist die Definition des hyperbolischen Cosinus, mithin haben wir auf der linken Seite die Reihenentwicklung des hyperbolischem Cosinus. Wir empfehlen dem Leser zu überprüfen, ob die Reihenentwicklung mit den bereits festgestellten Eigenschaften des hyperbolischen Cosinus hinsichtlich Stetigkeit und Ableitung übereinstimmt. Mit dem nämlichen Algorithmus erhalten wir die Potenzreihe für den hyperbolischen Sinus (dem Leser empfehlen wir, die Zwischenschritte nachzuvollziehen)

(1/2)*(eA - e-A) = A + A3/(3!) + A5/(5!) + A7/(7!) + ....



Wir haben bereits festgehalten, dass die Potenzreihe der Exponentialfunktion für beliebige komplexe Argumente gilt. Das nützen wir nun aus und betrachten nun Reihenentwicklung mit imaginären Argumenten, die Reihenentwicklung für eiT und jene für e-iT wobei wir uns T reell vorstellen (diese Einschränkung ist jedoch, wie bei "A", nicht notwendig) und i die imaginäre Einheit ist, für welche i2=-1 gilt. Die Reihenentwicklungen lauten

eiT = 1 + iT -T2/2 - iT3/(3!) +T4/(4!) + iT5/(5!) - T6/6!) + - ......

e-iT = 1 - iT -T2/2 + iT3/(3!) + T4/(4!) - iT5/(5!) - T6/6!) ......



Beachte: Da i2=i6=i10=i14=...-1 und i3=i7=i11=i15=...-i gilt werden in der Reihenentwicklung für eiT die Potenzen vom Grade 2,3; 6,7; 10,11; 14,15; .,... negativ. Bei der Reihenentwicklung für e-iT kommt im Vergleich zur anderen Reihe bei den ungeradzahligen Potenzen noch ein weiteres "Minus" hinzu, sodass die Reihenentwicklung obige Gestalt schließlich annimmt - nicht abschrecken lassen!

Aufmerksame Leser werden den nächsten Schritt schon ahnen: Wir addieren die beiden Potenzreihen für eiT, e-iT und dividieren das Resultat durch 2. Dabei fallen wieder die Potenzen mit ungerader Hochzahl und mit ihnen auch alle imaginären Größen weg. Für relle T kann diese Potenzreihe also ausschließlich im Reellen betrachtet werden.

(1/2)*(eiT + e-iT) = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - ....



Nun subtrahieren wir die Potenzreihe e-iT) von e-iT) und multiplizieren mit(-i/2). Damit erhalten wir auf der rechten Seite neuerlich eine Potenzreihe (welche nur Potenzen mit ungeraden Zahlen enthält), die für reelle T auch einen reellen Funktionswert ergibt.

(-i/2)*(eiT - e-iT) = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - ....



Betrachten wir einmal nur die Reihenentwicklungen der beiden letzten Reihen (also jeweils die rechten Seiten), unabhängig von ihrer Herkunft. Ausgehend von diesen Reihenentwicklungen können die Winkelfunktionen Cosinus und Sinus exakt auf Basis dieser beiden Potenzreihen definiert werden!
Cos[T]: = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - ....

Sin[T]: = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - ....


Sämtliche Eigenschaften die wir von den Winkelfunktionen kennen (reelle Funktionen, Stetigkeit, Gerade und ungerade Funktion, Erstes Additionstheorem, nahe Null sind Argument und Funktionswert der Sinusfunktion nahezu gleich, die Cosinusfunktion nimmt an der Stelle Null den Wert 1 an; Ableitungen...), stimmen mit dieser Definition mittels Potenzreihen überein. Für eine ausführlichere Untersuchung dieses Themas sei das Lehrbuch der Analysis von Harro Heuser (Teil 1; 48 Differentiation elementarer Funktionen, 67 Existenz der Winkelfunktionen, 68 Potenzreihen im Komplexen; 12. Auflage, B.G.Teubner, Stuttgart 1998) empfohlen.

Periodizität der Winkelfunktionen Cosinus und Sinus Im Gegensatz zu den hyperbolischen Funktionen weisen die Potenreihen der trigonometrischen Funktionen auch negative Terme auf (die sich mit den positiven Termen jeweils abwechseln). Deswegen und weil die höheren Potenzenen aufgrund ihrer niederen Koeffizienten erst nach einiger Zeit wirksam werden, tritt bei den (unendlichen) Potenzreihen der Winkelfunktionen Periodizität auf.

Die hyperbolischen Funktionen sind von der Geburt an exakt, wenn die Exponentialfunktionen zur Verfügung steht. Um die Winkelfunktionen ebenso mit einem derartig exakten Fundament auszustatten benötigen wir die Exponentialfunktion, zugelassen für komplexe Argumente um damit die entsprechenden Potenzreihen zu erhalten.

Eulersche Formel Mit der Potenzreihe für eiT kann auch die Eulersche Formel bewiesen werden: Hiezu werden die reellen und die imaginären Ausdrücke zusammengefasst, der Realteil ist dann bereits die Reihenentwicklung für den Cosinus, der Imaginärteil jene für den Sinus!

             eiT = 1 + iT -T2/2 - iT3/(3!) +T4/(4!) + iT5/(5!) - T6/6!) + - .....

             eiT = [1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + - .... ] + i*[T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + - .... ]

             eiT = Cos[T] + i*Sin[T]

Aufgabe: Für die Winkelfunktionen gilt
             Sin[T+U]=Sin[T]*Cos[U]+Cos[T]*Sin[U]
Zeige dass für die Hyperbelfunktionen ebenfalls ein solcher Summensatz, der nachstehend angeführte, gilt!
             Sinh[A+B] = Sinh[A]*Cosh[B] + Cosh[A]*Sinh[B], gilt.
Lösungsmöglichkeiten: (der Text zur Lösung hebt sich vom Hintergrund nicht ab, kann jedoch mit "Markieren" ersichtlich gemacht werden!)
Einsetzen in die Definition der Hyperbelfunktionen. Alternativ, aber umständlich, wäre das Ausmultiplizieren der beständig konvergenten Potenzreihen. Eine weitere, durchaus interessante Möglichkeit, besteht darin, die Hyperbelfunktionen mit den in H 9 bewiesenen Formeln in Winkelfunktionen umzuwandeln und den Summensatz für die Winkelfunktionen zu benützen (aber wie wird dann der Summensatz für die Winkelfunktionen bewiesen??).

Aufgabe: Zeige, das folgendes Additionstheorem für die hyperbolischen Funktionen gilt
             Cosh[A+B] = Cosh[A]*Cosh[B] - Sinh[A]*Sinh[B]
(Die Aufgabe kann genauso wie die vorhergehende Aufgabe gelöst werden)

Aufgabe: Zeichne (PC-unterstützt) die Graphen der Funktionen
             f[T] = 1 - T2/2 + T4/(4!) - T6/(6!) + T8/(8!) - T10/(10!)
sowie
             g[T] = T - T3/(3!) + T5/(5!) - T7/(7!) + T 9/(9!)
in einem gemeinsamen Koordinatensystem (wähle geeignete Quell- und Zielintervalle)!









H 11. Die Seilkurve (Kettenlinie)



" Die Seilkurve (Kettenlinie, Katenoide) ist die Kurve, die sich im Gleichgewicht einstellt, wenn die Endpunkte eines unelastischen, homogenen und vollkommen biegsamen Seiles von konstanten Querschnitt an zwei (nicht notwendig gleich hohen) Stellen im Schwerefeld befestigt sind und das Seil außer seinem eigenen Gewicht keinen anderen Belastungen unterworfen ist. " (Physikalisches Wörterbuch, Springer-Verlag, Herausgeber: W.H.Westphal, Berlin)

Das Seil liege nun in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, die erste (waagrechte) Achse nennen wir A, die zweite Achse nennen wir x, x ist von A abhängig. Das Seil liege so im Koordinatensystem, dass sein Scheitelpunkt (der Tiefpunkt des frei durchhängenden Seiles) die A-Koordinate 0 (das fordern wir als Anfangsbedingung!) einnimmt. Wenn wir uns ein Seil in der zuvor geschilderten Art und Weise (idealisiert) vorstellen, dann gilt, dass die resultierende Kraft aus der Horizontalkraft H und der Vertikalkraft V an jeder Stelle des Seiles in Richtung des Seiles fällt. Für H und V gelten dann an einer beliebigen Stelle des Seiles

             V/H = dx/dA

             V = (dx/dA)*H

Unser Ziel ist es, eine Gleichung für x in Abhängigkeit von A zu finden. Wir versuchen also die einzelnen Größen soweit als möglich auf x und A zurückzuführen.

Eine infinitesimal kleine Vertikalkraft dV ist proportional zu V und zum zugehörigen infinitesimal kleinem dx. Daher gilt

             dV = V*dx

Einsetzen in den obigen Term für V liefert

             (dV/dx) = (dx/dA)*H

             dV = (d²x/dA)*H

Wovon hängt dV andererseits noch ab? dV hängt von der Gewichtskraft G des Seiles (je Längeneinheit) ab und wird, weil schon dV eine infinitesimal kleine Kraft ist, auf ein entsprechendes infinitesimal kurzes Stück des Seiles, mit der Bogenlänge ds bezogen!

             dV = G*ds

Einsetzen in den anderen Term für dV liefert              G*ds = (d²x/dA)*H

             ds = (d²x/dA)*(H/G)

H und G sind Materialkonstanten, der Quotient H/G wird gleich a gesetzt. Dann erweitern wir links und rechts mit 1/dA.

             ds/dA = (d²x/dA²)*a

Für ds/dA wenden wir die Formel für die Bogenlänge an, dann gilt (beachte: Das Bogenelement ds liegt in einem A-x-Koordinatensystem)

Sqrt[1+(dx/dA)²] = (d²x/dA²)*a

Beachte: Auf der linken Seite steht in der Notation mit den Differentialen das Quadrat der ersten Ableitung, auf der rechten Seite steht in der selben Notation die zweite Ableitung. Wir setzen unsere Ableitung x'=dx/dA gleich y und erhalten daher

             Sqrt[1+y²] = (y')*a

Wenn wir nun y' als dy/dA auffassen, so gilt weiters

             Sqrt[1+y²] = (dy/dA)*a

             (1/a)*dA = (1/Sqrt[1+y²])*dy

Um die Gleichung von den Differentialen zu befreien, können wir links und rechts integrieren! Der linke Integrand bereitet kein Problem. Der rechte Integrand könnte aufmerksamen Lesern bekannt vorkommen, es ist die Ableitung des Area sinus hyperbolicus. Somit erhalten wir aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung

             (1/a)*A = arsinh[y]

Eigentlich wollten wir ja einen Term für x finden. Wir drücken y explizit aus und setzen dann noch x'=y (so haben wir y einige Schritte vorher definiert) ein.

             y = sinh[A/a]

             x' = sinh[A/a]

Wir haben am Anfang die Bedingung gefordert, dass die Seilkurve am Tiefpunkt des Seils die A-Koordinate Null erhalten soll. Das bedeutet, dass die Ableitung an dieser Stelle Null sein muss, also muss gelten x'(0)=0. Das ist in der obigen Gleichung mit A=0 bereits erfüllt. Es kommt keine additive Konstante hinzu. Wir können unbesorgt neuerlich integrieren und erhalten so die Gleichung für die Seilkurve.

             x = a*cosh[A/a]


Ob das die Spinne wohl jedes Mal nachrechnet, wenn ihre Spinnweben frei durchhängen??






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Impressum und Quellennachweis:
Projektarbeit im Rahmen des Computerpraktikums für LAK
Leiter der LV: Hermann Schichl (östlich der Donau auch "Herman")
Applets: Wolfgang Stranz
Weitere Aufgaben: Michaela Haag
Text und Inhaber dieser Netzseite: Thomas Anton Gobold (Text vom Juni 2003)
Netzadressen: http://www.geocities.com/lightvolcano/study/hyp.html sowie
http://www.mathe-online.at/materialien/Thomas/files/Hyperbel.html

Die Fotos und Skizzen stammen von der MA 29 (alte Wiener Reichsbrücke in Farbe) und MA 53 (alte Wiener Reichsbrücke), Universität Stuttgart (Funktionsgraphen in H2), Univ. München (Kreis- und Hyperbelsektoren in H 7), Experimente am Hardenberg-Gymnasium Fürth (Kettenlinie aus Bausteinen, H 11), Katholische Universität Eichstätt (alte Skizze von Leibnitz), Univ. Duisburg (Kette in H 11)

Dieses "ò" soll das Zeichen für ein Integral sein und wird nicht von allen Servern korrekt wieder gegeben!