Wir betrachten eine Funktion. Wir möchten nun einen Ausdruck für die lokale Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle finden. Diese lokale Steigung ist anschaulich die Steigung der Tangente an die Funktion in der interessierenden Stelle:
Die Steigung der Tangente an der Stelle
bzw. in dem Punkt
schreiben wir als
und bezeichnen sie als Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle
Deren Graph hat offensichtlich keine Tangente an der Stelle
Für die Ableitung der Funktion, d.h. der Funktion, die für alle
die Ableitung an der jeweiligen Stelle
angibt, läßt sich nur folgendes andgeben:
Für die Stelle
Die Steigung einer Sekante durch
ist definiert als
Interessieren wir uns für die Tangentensteigung in
Gleichbedeutend ist, daß wir eine Folge von Funktionswerten
die Ableitung ergibt. Existiert der Grenzwert dieser Folge für
Falls der Grenzwert nicht existiert, so heißt
Bsp.:
mit
Für
Die Tangentensteigung ist also für alle
genau
Für
ergibt sich
,
also liegt Annäherung von rechts vor, mit dem Ergebnis:
Also ist
in
nicht differenzierbar (es existiert keine Ableitung), da die rechts- und
linksseitigen Grenzwerte verschieden sind. Ein weiteres
Bsp.:
ist in keinem Punkt differenzierbar, da die Funktion nirgendwo stetig
ist!
Äquivalente Schreibweisen für die Ableitung:
oder z.B. für die Geschwindigkeit