Wichtiges für Umkehraufgaben

Das Lösen von Umkehraufgaben ist eigentlich nicht schwer. Das Schwierige daran ist aber den richtigen Ansatz zum Lösen überhaupt zu finden. Dies wollen wir nun in einigen kurzen Aufgaben üben.

Die Aufgabe heißt nun wie folgt: Löse nicht, sonder finde die Ansätze!

Betrachten wir folgende einfache und kurze Beispiele.

1) Der Graph der Funktion f: R -> R, y = ax² + bx + c enthält die Punkte A(-1/3), B(1/1), C(2/5). Ermittle die Gleichung.

Da wir 3 unbekannte Koeffizienten in unserer Gleichung haben, müssen wir Bedingungen oder Gleichungen zum Lösen aufstellen.
Nun müssen wir überlegen, ob diese 3.Punkte in die Grundfunktion, in die 1. oder 2. Ableitung eingesetzt werden.
Lösung: Um die Gleichungen aufstellen zu können, werden alle 3 Punkte in die eingesetzt.


2) Der Graph der Funktion f:R -> R, y = ax³ + bx² hat an den Extrempunkt E(4/4).
Da wir 2 unbekannte Koeffizienten haben, müssen wir Gleichungen aufstellen um die Aufgabe lösen zu können.

Wir wissen: Um Extremstellen zu berechnen müssen wir die der Funktion null setzen.
Daraus folgt: I) f '(4) = 4.

Weiters wissen wir, dass der Punkt E(4/4) ein Punkt unserer Funktion ist.
Also: II) f (4) = 4


3) Der Graph der Funktion f: R -> R, y = x³ + bx² + cx + d hat den Sattelpunkt S(1/4).

Was wissen wir über einen Sattelpunkt oder Terrassenpunkt.
Es gilt: f '(x) = 0 und f ''(x) = 0

Da wir unbekannte Koeffizienten haben, müssen wir Gleichungen aufstellen.
Nun müssen wir überlegen, ob dieser Punkte in die Grundfunktion, in die 1. oder 2. Ableitung eingesetzt werden muss.
Lösung: Um die Gleichungen aufstellen zu können, müssen wir den Sattelpunkt in die , und einsetzen.


4) Der Graph der Funktion f: R -> R, y = ax³ + bx² hat den Wendepunkt W(2/4). Ermittle die Funktionsgleichung.
Die Funktion beinhalten 2 unbekannte Variablen, daraus folgt, dass wir . Gleichungen aufstellen müssen, um die Funktionsgleichung ermitteln zu können.
Wir wissen, dass wir den Wendepunkt berechnen können, indem wir die der Funktion 0 setzen.
Nun müssen wir überlegen, ob dieser Punkte in die Grundfunktion, in die 1. oder 2. Ableitung eingesetzt werden muss.
Lösung: Der Punkt W(2/4) wird in die und in die eingesetzt.