function_sev_var1.html

Funktionen mehrerer reeller Variabler (Einführung)

Andreas Pester@CTI

1. Definition

Gegeben sei eine Untermenge D von R² . Ausserdem sei eine Vorschrift f gegeben, die jedem geordneten Paar ( x , y ) aus D genau einen Wert z aus W zuordnet, W sei Untermenge von R. Dann nennt man f eine Funktion von zwei (reellen) Variablen und schreibt f: ( x,y ) --> z oder z = f ( x,y ).

Man kann diese Funktionsvorschrift auch graphisch interpretieren, wenn man z als die dritte (abhängige) Variable im R³ auffasst und so jedem Punkt P( x,y ) aus der Untermenge D in der ( x,y )-Ebene eine Ordinate z zugeordnet wird. Man erhält so eine Oberfläche in R³.

Beispiel

> f:=(x,y)->x^2+x*y^2;

> with(plots):

> plot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,axes=FRAME,orientation=[45,45]);

Man kann die Definition auf den Raum erweitern, indem man statt des geordneten Paares ( x,y ) ein n-Tupel ( , ..., ) als Argument nutzt. Man bekommt dann eine (reellwertige) Funktion von n Variablen. Graphisch kann sie als Hyperfläche im n+1 -diemsionalen Raum erklärt werden. In der Praxis werden meistens zwei- und dreiwertige Funktionen genutzt, aber fast alle Ergebnisse lassen sich auf den n -dimensionalen Fall übertragen.

Hier einige Beispiele für Funktionen mehrerer Variabler im R³.

Wir werden im weiteren fast alle Darlegungen für den Fall n=2 oder n=3 machen, und nur in den Fällen, wo eine Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen nicht möglich ist, dies speziell vermerken.

2. Niveaulinien

Manchmal macht es Sinn, sich eine Funktion im R³ durch spezielle Linien auf der Ebene zu veranschaulichen. Man denke z.B. an die Höhenlinien auf Karten.

Diese Linien sind mathematisch nichts anderes als bestimmte Punkte auf der ( x,y )-Ebene, die einem konstanten z -Wert entsprechen.

Man schreibt z = f(x,y) = const. und erhält für unterschiedliche Konstanten unterschiedliche Linien. Diese Linien haben die Besonderheit, das dort, wo sie besonders eng aneinander stehen, der Anstieg (in Richtung des Gradienten) am steilsten ist.

Beispiel:

> contourplot(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,title="Niveaulinien für z=x²+x*y² in R²");

[Maple Plot]

Man kann diese Linien auch räumlich anordnen, dann geben sie so etwas wie grid-Linien wider.

> contourplot3d(f(x,y),x=-1..1,y=-1..1,grid=[50,50],orientation=[-99,83],axes=FRAME,title="Niveaulinien für z=x²+x*y² in R³");

[Maple Plot]

Anstelle von Niveaulinien im R² kann man auch Niveuaflächen im R³ für dreiwertige Funktionen w = G(x,y,z) betrachten.

> G:=(x,y,z)->x*y+x*z+y*z;

> A:=implicitplot3d(G(x,y,z)=0,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1):

> B:=implicitplot3d(G(x,y,z)=1,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1):

> C:=implicitplot3d(G(x,y,z)=-0.5,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1):

> display3d(A,B,C,title="Hyperniveauflächen einer Funktion aus R^4",axes=FRAME);

[Maple Plot]

>