Das Wurzelziehen (Radizieren) komplexer Zahlen Andreas Pester Fachhochschule Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at Hauptseite
Zusammenfassung: Auf dieser Seite wird das Radizieren komplexer Zahlen behandelt, die Besonderheiten dieser Operation im Komplexen vorgestellt. Stichworte: Radizieren komplexer Zahlen | Geometrische Interpretation in der Gaußschen Ebebe | Die Eineheitswurzeln | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Analog wie für die rellen Zahlen gibt es zum Potenzieren auch im Komplexen eine Umkehroperation, das Radizieren oder Wurzelziehen.   Nach dem Satz von Moivre gilt folgende Beziehung:
  Satz von Moivre Setzt man nun anstelle n in (1) den Faktor 1/n, so erhält man leicht: In der Formel (2) ist aber nicht berücksichtigt, das es sich bei cos und sin um periodische Funktionen mit der Periode T = 2·kp handelt. Beim Potenzieren hat das keine Rolle gespielt, weil 2·k·n·p auch wiederum eine Periode von cos und sin ist. Beim Radizieren ergibt aber für k = 0,1,..,n-1 n unterschiedliche Werte. Das gleiche gilt für die sin-Funktion. Deshalb hat die n-te Wurzel aus z genau n Werte, die nach folgender Formel berechnet werden. z_k ist dann der k-te von n Wurzelausdrücken. z₀ wird der Hauptwert der Wurzel genannt. Gesucht ist die 3-te Wurzel aus z = 1 + i. z = Ö2·e ^i(p/4+2·kp) ist die exponentielle Form von z. Somit ergeben sich für die Wurzeln folgende Werte:   Geometrisch stellt die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl z n Zeiger an einem Kreis mit dem Radius |z| dar. Die erste Wurzel in mathematisch positiver Richtung ist der sogenannte Hauptwert, der das Argument (Arg Z)/n besitzt. Alle anderen Wurzelwerte sind zu z₀ um den Winkel 2·p/n versetzt.   Auch die n-te Wurzel aus einer reellen Zahl hat im komplexen n Werte. Insbesondere gilt das für die n-te Wurzel aus Eins. Als Einheitswurzeln bezeichnet man die Nullstellen des Polynoms f(z) = zⁿ - 1. Den Hauptwert bezeichnet man als die primitive n-te Einheitswurzel, sie hat das Argument 2·p/n, alle anderen Wurzeln sind um 2·p/n versetzt zur primitiven Wurzel. Die n-ten Einheitswurzeln treten in vielen Bereichen auf. Sie werden u.a. für den bekannten FFT-Algorithmus benötigt. Algebraisch betrachet bilden sie eine zyklische Gruppe. Visualisierung
top