Die komplexe Funktion f(z) = 1/z (Inversion) Andreas Pester Fachhochschule Technikum Kärnten, Villach
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Zusammenfassung: An dieser Stelle erfolgt ein kleiner Ausflug in die Funktionentheorie, so wie er zur Behandlung einfachster komplexer Funktionen notwendig ist. Der Text richtet sich vor allem an mathematikinteressierte Studierende der unteren Studienjahre aus der Elektrotechnik und Informatik, die sich über besondere Eigenschaften der Inversion informieren möchten. Stichworte: Komplexwertige Funktionen | Visualisierung komplexwertiger Funktionen | Die Inversion | Abbildung von Kreisen und Geraden | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 | Formel 5 | Formel 6 | Formel 7 | Formel 8 | Abbildung 1 | Abbildung 2 | Abbildung 3 | Abbildung 4   Es sei D Í C. Eine Funktion f: D ® C stellt eine Vorschrift dar, die jeder Zahl zÎD genau eine Zahl f(z)ÎC zuordnet:
  Funktionen Für komplexwertige Funktionen können Begriffe wie Stetigkeit, Ableitung, Differential, Grenzwert u.a. analog den entsprechenden Begriffen für reellwertige Funktionen eingeführt werden. Zwecks Veranschaulichung einer komplexwertigen Funktion betrachtet man die Abbildung des Definitionsbereiches D aus der z-Ebene in die w-Ebene. Um die Abbildungseigenschaften der Funktion f(z) detaillierter hervorzuheben, betrachtet man die Bilder verschiedener Kurven aus der z-Ebene (Koordinatenlinien oder geometrische Figuren) in der w-Ebene (s. Abb.1). Die Trennung in Real- und Imaginärteil erlaubt die Interpretation einer komplexwertigen Funktion als Vektorfeld Aber auch jedes Vektorfeld (3) auf D kann als eine Funktion (2) interpretiert werden. Wenn z eine komplexe Zahl ¹ 0 ist, so existiert: Diese Funktion nennt man die Inversion w = z-1. Aus der Gleichung (4) lässt sich leicht der Realteil und der Imaginärteil von w bestimmen. Bei der Inversion werden die Gitternetzlinien der z-Ebene in Kreise in der w-Ebene transformiert, wie man aus Abb. 2 sieht . Beachtet man die exponentielle Darstellung komplexer Zahlen, so folgt aus: Die Funktion setzt sich aus einer Spiegelung am Einheitskreis und der Spiegelung an der reellen Achse zusammen. Symbolisch sieht das so aus: Und geometrisch veranschaulicht so (man beachte den Strahlensatz zur Bestimmung des Betrages von w1): Ein Punkt aus der oberen Halbebene ausserhalb des Einheitskreises wird mit f(z) = 1/z auf genau einen Punkt innerhalb des Einheitskreises in der unteren Halbebene abgebildet und vice versa. Punkte aus der unteren Halbebene innerhalb des Einheitskreises werden eineindeutig auf Punkte in der oberen Halbebene ausserhalb des Einheitskreises abgebildet. Punkte aus dem oberen Halbkreis des Einheitskreis wird ihr konjugiert komplexer Punkt auf dem unteren Halbkreis zugeordnet. Man ergänzt die Abbildung sinnvoller Weise mit f(0) = ¥ und f(¥) = 0. Von besonderem Interesse für diverse Anwendungen ist die Abbildung von Kreisen und Geraden durch f(z) = 1/z. Jeder Kreis in der z-Ebene kann durch die Gleichung in (x,y)-Koordinaten beschrieben werden. Löst man unter Beachtung von (4) die Bestimmungsgleichungen für Real- und Imaginärteil der Abbildung w = 1/z nach x und y auf, so erhält man: Dies eingesetzt in (6), erhält man die Gleichung (6) in der w-Ebene in (u,v)-Koordinaten. Wenn d = 0 und a = 0, so beschreibt (6) eine Gerade in der z-Ebene, die durch den Ursprung geht. In der w-Ebene ist das dann ebenfalls eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Allgemein lassen sich aus (6) und (8) folgende Regeln ableiten Deshalb geht das Koordinatennetzgitter x + d = 0 und y + d = 0 wie schon gezeigt in die Kreise d(u2 + v2) + u = 0 und  d(u2 + v2) - v = 0 über. Setzt man d = -x0 = -y0 , so wandeln sich diese Gleichungen in x0(u2 + v2) - u  = 0 und y0(u2 + v2) + v  = 0. (s. Abb. 2)   Denkaufgabe : Wohin in der Gaußschen Zahlenebene wird der Bereich der komplexen Zahlen, die den Bedingungen gleichzeitig genügen, durch die Inversion abgebildet ? Stellen Sie auch den abzubildenden Bereich in der Ebene dar. Lösung
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