Vektorrechnung in der Ebene

Lernpfad erstellt und betreut von:

Heike Farkas

E-mail: heike.farkas@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Was ist ein Vektor?
2. Addieren und Subtrahieren von Vektoren
3. Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl
4. Das Skalarprodukt
5. Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
6. Gemischte Beispiele zur Vektorrechnung
7. Literatur

Was ist ein Vektor?
 
1.1 Allgemeine Erklärung
Also was ist ein Vektor überhaupt?
Uns ist ja bereits das kartesische Koordinatensystem bekannt und auch wie man Punkte einzeichnet.
Hier ein Beispiel:



Frage: Ich starte am Punkt A und will zum Punkt B. Was ist der schnellste Weg?



Diese gerichtete Strecke nennt man Vektor von A nach B.


Ein Vektor im ist nichts anderes als ein Zahlenpaar. Man kann diese durch Pfeile in der Ebene darstellen.
Bleiben wir bei dem vorigen Beispiel:
Allgemein ist der Vektor also ein Zahlenpaar
Betrachten wir die Zeichnung:



Hier ist unser x=1 und y=2, denn:
Auf der x-Achse geht man 1 in die positive Richtung und auf der y-Achse geht man 2 Schritte in die positive Richtung.
Also ist der Vektor



Allgemein:
Ein Vektor ist gegeben. Man wählt den Anfangspunkt , geht Schritte auf der x-Achse und Schritte auf der y-Achse und erreicht so den Endpunkt . Der Vektor ist somit die Verbindung zwischen Anfangs- und Endpunkt.
Da der Anfangspunkt beliebig gewählt werden darf, kann jeder Vektor aus durch unendlich viele Pfeile in der Ebene dargestellt werden.
Sie müssen aber gleich lang sein, parallel und gleich orientiert, d.h. die Spitze muss in die gleiche Richtung schauen.



Frage: Wie kann ich aus zwei gegebene Punkten den Vektor bestimmen?
Sehen wir uns zunächst wieder unser Beispiel an:



Wir wissen:


Erkennen wir einen Zusammenhang?

Wir berechnen also einen Vektor durch die Formel: Vektor = Endpunkt – Anfangspunkt




Wenn wir den Anfangspunkt und den Vektor gegeben haben, wie berechnet man dann den Endpunkt?

Wir formen die uns bekannte Formel einfach um:


Anfangspunkt + Vektor = Endpunkt


Für einen Vektor gibt es zwei geläufige Schreibweisen:


Lernstoff, Eintrag das Schulübungsheft
 
1.2 Beispiele
1) Zeichne den Vektor (-2,1) drei Mal in das Koordinatensystem ein. Verwende dabei immer einen anderen Anfangspunkt.

2) Gegeben sind die folgenden Punkte: M=(4,7) und N=(1,-3).
    Berechne den Vektor rechnerisch und grafisch.

3) Gegeben ist der Punkt T = (5,5) und der Vektor = (-1,2).
    Berechne den Endpunkt R und zeichne ein Koordinatensystem, dass die Punkte und den Vektor enthält.

Übungsaufgaben, Rechnen im Schulübungsheft
 
1.3 Die Länge eines Vektors/ der Betrag eines Vektors
Wir können den Vektor durch ein Zahlenpaar beschreiben. Können wir auch die Länge des Pfeils berechnen?




Wir können hier den Satz des Pythagoras anwenden, um die Länge zu berechnen.



Lernstoff, Eintrag ins Schulübungsheft
 
1.4 Besondere Vektoren
Nullvektor

Ein Vektor vom Punkt A nach A, , heisst der Nullvektor, denn man bewegt sich nicht von der Stelle.
Also kann man den Nullvektor schreiben als:
Dieser Vektor hat keine Richtung und die Länge Null.

Einheitsvektor

Der Vektor mit der Länge 1 heisst der Einheitsvektor. Man bezeichnet Einheitsvektoren auch als normierte Vektoren.
Man erhält den Einheitsvektor auf folgende Weise:
Gegeben ist der Vektor a. Um ihn zu normieren, um aus ihm einen Vektor der Länge 1 zu machen, gibt es folgende Formel:



Normalvektor

Wie beschreibt man dass zwei Vektoren aufeinander normal stehen?



Zwei Vektoren stehen aufeinander normal, wenn die entsprechenden Pfeile aufeinander normal stehen.

Jeder der beiden Vektoren ist ein Normalvektor des anderen.



Wir drehen also die x und y-Koordinate einfach um und verändern ein Vorzeichen.

Inverser Vektor

Gegeben ist der Vektor . Der entgegen gesetzte Vektor dazu wird der Inverse Vektor genannt. Er ist derselbe Vektor wie AB, nur die Orientierung ist eine andere. Er ist der Gegenpfeil, geht also genau in die andere Richtung.


Lernstoff, Eintrag ins Schulübungsheft
 
1.5 Beispiele
1) Berechne den Abstand der Punkte P = (-3,2) und Q = (1,5). Fertige auch eine Zeichnung an!

2) a. Berechne den Abstand der Punkte U = (-1,1) und V = (3,-1).

    b. Fertige eine Zeichnung an.
    c. Berechne die Normalvektoren zum Vektor .

3) Berechne die Längen der Seiten des Dreiecks ABC mit A = (-1,-1), B = (-5,2), C = (7,7) und fertige eine Zeichnung an.

Übungsaufgaben, Rechnen im Schulübungsheft
 
1.6 Vektorenquiz
Hast du alles verstanden?
Hier kannst du dein Wissen überprüfen: Vektorenquiz
Selfchecking Test
 
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