Übersicht komplexe Zahlen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Thomas Schubatzky

E-mail: thomas.schubatzky@uni-graz.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Definition und Motivation
2. Gauß´sche Zahlenebene - Polarkoordinaten
3. Die Grundrechenoperationen für komplexe Zahlen
4. Radizieren oder Wurzelziehen komplexer Zahlen
5. Übungsbeispiele
6. Quellenangabe

Radizieren oder Wurzelziehen komplexer Zahlen
 
4.1 Definition Wurzel einer komplexen Zahl
Das Wurzelziehen aus komplexen Zahlen ist im Allgemeinen nur dann möglich,
wenn die Zahl in Polarform gegeben ist.

Unter der n-ten Wurzel einer komplexen Zahl z versteht man diejenige Zahl W, deren n-te Potenz gleich z ist.

Zwischen dem Wurzelbegriff im Bereich der reellen und der komplexen Zahlen gibt es einen sehr wichtigen Unterschied:

Die n-te Wurzel einer reellen Zahl ist eindeutig bestimmt.
Sie existiert nur für nichtnegative Radikanden und ist selbst nichtnegativ.

Jede komplexe Zahl W, für die die Gleichung



gilt, ist eine n-te Wurzel von z.
Insgesamt existieren für jede Zahl z genau n Wurzeln, d.h. die komplexe Wurzel ist nicht eindeutig!
 
4.2 Herleitung der Formel für das Radizieren von komplexen Zahlen
Aus der Multiplikation und Division von komplexen Zahlen ergibt sich, dass die Beträge miteinander multipliziert bzw. dividiert und die Argumente addiert bzw. subtrahiert werden.
Aus diesen Zusammenhängen leitet sich die sogenannte Formel von Moivre ab:



mit



Beispiel:





mit

Die letzte Formel ist die allgemeine Formel zum Potenzieren von komplexen Zahlen.
Die Umkehrung(Umkehrfunktion) dieser Formel muss nun also die Formel für das Radizieren liefern. Die Formel lautet dann:



An dieser Formel sieht man auch schön, warum es im Gegensatz zum Potenzieren einer komplexen Zahl für die Wurzel keine eindeutige Lösung gibt.
Es hängt also mit der Periodizität 2*k*Pi zusammen. Das heisst aber auch, dass sich die Lösungen für die Wurzeln nach einer gewissen Anzahl wiederholen müssen.
Dass dies der Fall ist, sehen wir dann bei den Beispielen.
 
4.3 Radizieren einer komplexen Zahl
Am besten zeigen wir wieder an einem Beispiel, wie man die Wurzel(n einer komplexen Zahl berechnet.
Wir wollen nun also die Wurzel aus der komplexen Zahl

z^6=1

ziehen. Die Wurzel kann nur in der Polarform gezogen werden, d.h. wir können hier direkt unser erworbenes Wissen verwenden, und erstmal den Betrag, sowie das Argument von z berechnen.
Wir erhalten also für den Betrag r=1 und für das Argument arg(z)=0.
Die allgemeine Lösung für die Wurzel lautet dann also:



mit k=0,1,2,3,4,5.

Es gibt also mehrere Lösungen für die Wurzel der komplexen Zahl. In diesem Fall genau 6:




 
4.4 Geometrische Interpretation einer komplexen Wurzel
Sehen wir uns doch zuerst einmal an, wie unsere im letzten Abschnitt berechneten Wurzeln der Zahl 1 in der Gauss'schen Zahlenebene aussehen:



Hier sehen wir natürlich sofort, dass die Lösungen ein regelmässiges 6-Eck ergeben.
Das heisst also, dass die n-te Wurzel jeder komplexen Zahl ein regelmässiges n-Eck ergibt(im Fall n=2 natürlich nur eine Strecke)!
Was jedoch noch interessant ist, ist die Tatsache dass wen man durch die Eckpunkte des 6-Ecks einen Kreis legen würde, dieser Kreis genau den Radius 1 hätte, was genau dem Betrag unserer Zahl z entspricht.
Das heisst also auch, wenn man durch alle Wurzeln einen Kreis zeichnet, der Radius dieses Kreises genau dem Betrag der Zahl z entspricht, siehe Abbildung:




 
4.5 Ãœbungsbeispiele
Berechne die 4.Wurzel aus der Zahl



Die 3.Wurzel aus der komplexen Zahl



Die 5.Wurzel aus der Zahl



Die Quadratwurzel aus der Zahl


Hausübung
 
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