Differenzialrechnung

Lernpfad erstellt und betreut von:

Benedikt Neuhold

E-mail: benedikt.neuhold@student.tugraz.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Wiederholen von Linearen Funktionen
2. Mittlere Änderungsrate
3. Vom Differenzenquotient zum Differenzialquotient
4. Die Ableitung
5. Ableitungsregeln

Vom Differenzenquotient zum Differenzialquotient
 
3.1 Differenzenquotient [Definition]

Differenzenquotient

Definition Differenzenquotient:


Lernstoff
 
3.2 Differenzenquotient

Differenzenqotient

Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du erarbeiten, wie man mit Hilfe des Differenzenqoutienten die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x0 bestimmt.

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Stefan Eckert, Erstellt mit GeoGebra

Aufgaben


1.
Lege die Stelle x0, an der die Steigung des Graphen bestimmt werden soll, durch Verschieben des Punktes A fest.

2.
Da nicht klar ist, wie man die Steigung an einer einzelnen Stelle bestimmen soll, versuchen wir dieses Problem zurückzuführen auf die Bestimmung einer durchschnittlichen Steigung in einem Intervall. (Das können wir schon mithilfe der mittlernen Änderungsrate.)
Die eine Intervallgrenze ist das eben eingestellte x0. Die andere Grenze x kann mit Hilfe des Punktes B festgelegt werden. Jetzt haben wir ein Intervall [x0; x], gekennzeichnet durch die blauen gestrichelten Linien.

3.
Nun legen wir eine Gerade durch A und B (eine sogenannte Sekante), deren Steigung wir mit den grünen Linien (Steigungsdreieck) leicht bestimmen können. Aktiviere das Kontrollkästchen "Sekante einblenden"!
Die so berechnete Steigung ist die durchschnittliche Steigung des Funktionsgraphen auf dem Intervall [x0; x].
Der Bruch Δy / Δx, mit dem sie berechnet wird, heißt übrigens Differenzenquotient.

4.
Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle x0 selbst.
Was passiert mit dem Differenzenquotienten Δy / Δx , wenn du mit A genau auf B fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen?

5.
Halten wir abschließend fest:
Bei Annäherung von x gegen x0 nähert sich die Sekante einer Tangente an (Die kannst du dir mit dem zweiten Kontrollkästchen auch noch einzeichnen lassen.) Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle x0.
Das heißt, wir erhalten die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x0 zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen.


Lernstoff
 
3.3 Vom Differenzenquotient zum Differenzialquotient

Vom Differenzenquotient zum Differenzialquotient

Im Punkt 3.2 stellten wir fest, dass wir die Steigung in einem Punkt der Funktion noch nicht direkt berechnen können. Wir können sie jedoch als Grenzwert von Sekantensteigungen angeben, wenn sich x gegen x0 nähert.

Um dies zu verteutlichen verwende dieses Applet.


Lernstoff
 
3.4 Differenzialquotient [Definition]

Differentialquotient

Der Differentialquotient ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten im Intervall [a; b].

Er kann auch als Steigung der Tangente an die Funktion an der Stelle x=a oder als momentane Änderungsrate aufgefasst werden. Den Differentialquotienten nennt man kurz f'(a ).

  • Schreibe die Definition des Differentialquotienten zusammen mit einer Skizze in dein Heft.

Andere Schreibweise

Anstelle des Intervalls [a; b] nimmt man auch oft das Intervall [x0; x0 + h]. Dadurch ergibt sich die folgende Schreibweise für den Differentialquotienten:

Neben f'(x0) gibt es auch noch eine andere Kurzbezeichnung für den Differentialquotienten:

Das "d" steht dabei für "unendlich kleine Differenz" und verdeutlicht, dass der Differentialquotient der Grenzwert des Quotienten zweier Differenzen ist.
Definition
 
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