Komplexe Zahlen

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Andreas Pester

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Homepage: http://www.cti.ac.at/pester
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Komplexe Zahlen in der Technik, komplexe Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen, arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen, Gauß'sche Zahlenebene, Wurzeln am Einheitskreis, die Funktionen ez und 1/z       
Hilfe
1. Zahlen - Mathematische Hintergründe
http://www.mathe-online.at/mathint/zahlen/i.html

Schreiben Sie auf, was Sie bisher über Zahlen wissen. Welche verschiedenen Zahlenmengen kennen Sie ? Welche Aufgabentypen und welche arithmetischen Operationen lassen sich in welchen Zahlenmengen ohne Einschränkung ausführen ? Wo gibt es Einschränkungen für die Ausführbarkeit von arithmetischen Operationen ?
Wiederholung, Eintrag in das Lerntagebuch
 
2. Ein Gedankenexperiment
Alle Maturanten wissen, dass das Quadrat einer rellen Zahl immer nicht-negativ ist. Angenommen, wir führen ein neues Objekt ein, dass wir i nennen (von imaginär) und für das wir festlegen, dass i2 = - 1 gilt. Frage: Läßt sich daraus eine sinnvolle Arithmetik für solche imaginären "Zahlen" bilden ? Suchen Sie in der Literatur oder im Internet, ob Sie sinnvolle Anwendungen für imaginäre bzw. komplexe Zahlen finden ?
Eintrag in das Lerntagebuch
 
3. Imaginäre Zahlen - Definitionen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/ImagZahlenDef.html

Arbeiten Sie diese kurze Beschreibung der wichtigsten Definitionen für imaginäre Zahlen und ihre Rechenregeln durch und lösen Sie die dazugehörigen Aufgaben. Achten Sie besonders auf die Besonderheiten der Potenz der imaginären Zahl i. Wenn Sie mit den imaginären Zahlen vertraut sind, können Sie diese Seite überspringen.
Lernstoff
 
4. Die arithmetische Form komplexer Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/komZahlen.html

Beginnen Sie ihren Exkurs in die komplexen Zahlen mit der Darstellung komplexer Zahlen in arithmetischer Form. Beachten Sie vor allem die Rechenregeln für die vier Grundrechenarten und ganz besonders die Division komplexer Zaheln in arithmetischer Form
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
 
5. Die Gaußsche Zahlenebene
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/zahlenebene.html

Machen Sie sich mit der Gaußschen Zahlenebene und der geometrischen Interpretation komplexer Zahlen vertraut. Versuchen Sie vor allem, die Denkaufgaben zu lösen und machen Sie entsprechende Einträge ins ins Lerntagebuch.
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
 
6. Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/ComplexNumerSim.htm

Probieren Sie die geometrische Darstellung der arithmetischen Operationen mit komplexen Zahlen
Übungsaufgabe, Vertiefung, Eintrag in das Lerntagebuch
 
7. Übungsaufgaben Ü 1
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/Aufgaben/uebung1.htm

Lösen Sie die Übungsaufgaben, Probleme tragen Sie bitte ins Lerntagebuch ein.
Übungsaufgaben, Eintrag in das Lerntagebuch
 
8. K 1 (Kurztest)
http://hwis03.cti.ac.at:8080/index.htm

Überprüfen Sie Ihr Wissen aus dem 1. Abschnitt. Falls Ihre Punktezahl unter 16 ist, wiederholen Sie noch einmal die Punkte 3. bis 7. Falls Sie den ersten Abschnitt überspringen, führen Sie den Test zur Sebstkontrolle doch durch. Notieren Sie mögliche Probleme im Lerntagebuch. Username:medima1 Auswahl:(Student) Passwort:medima1
Selfchecking Test, Eintrag in das Lerntagebuch
 
9. Trigonometrische Darstellungsform komplexer Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/trigForm.html

Arbeiten Sie diesen Abschnitt durch und lernen Sie, wie man komplexe Zahlen multipliziert und dividiert. Wiederholen Sie dazu den Abschnitt Polarkoordinaten. Überlegen Sie auch, wie man eine komplexe Zahl aus der arithmetischen Form in die trigonometrische umrechnet und umgekehrt.
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch, Wiederholung
 
10. Übungaufgaben Ü 2 (1)
http://www.cti.ac.at/pester/test/Dsp1st/CHAPTERS/10APPA/HOMEWORK/OVERVIEW.HTM

Lösen Sie die Aufgaben A1 - A7. Schwierigkeiten notieren Sie bitte im Lerntagebuch.
Übungsaufgaben, Eintrag in das Lerntagebuch
 
11. Übungsaufgabe U 2 (2)
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/Aufgaben/uebung2.htm

Noch mehr Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
 
12. K 2 (Kurztest)
http://hwis03.cti.ac.at:8080/index.htm

Überprüfen Sie Ihr Wissen aus dem 2. Abschnitt. Falls Ihre Punktezahl unter 21 ist, wiederholen Sie noch einmal die Punkte 9. und 10. Falls Sie den zweiten Abschnitt überspringen, führen Sie den Test zur Sebstkontrolle doch durch. Notieren Sie mögliche Probleme im Lerntagebuch. username:medima1 (student) Passwort:medima1
Selfchecking Test, Eintrag in das Lerntagebuch
 
13. Die Eulersche Formel und die Exponentialform komplexer Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/EulForm.html

Lernen Sie eine der erstaunlichsten Identitäten in der Mathematik kennen. Untersuchen Sie die Identität auf Symmetrien (Austausch von f gegen -f usw.). Fortgeschrittene können die Formel mit Hilfe der Taylorreihe beweisen.
Lernen Sie die Darstellung von komplexen Zahlen in Exponentialform kennen. Beachten Sie auch die Umrechnung aus dieser Darstellungsform in die anderen Formen. Versuchen Sie, einfache komplexe Zahlen wie 1, i, -1 und -i in dieser Form darzustellen. Welche arithmetischen Operationen wird man in dieser Form besonders gut ausführen können ?
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch, Vorgriff
 
14. Der Satz von Moivre und seine Anwendung auf das Potenzieren komplexer Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/Moivre.html

Lesen Sie den Abschnitt durch und versuchen Sie selbständig eine Reihe selbstgewählter Beispiele zu lösen. Wiederholen Sie die Binomische Formel und lösen Sie das im Text erwähnte Beispiel mit dieser Formel. Vergleichen Sie den Aufwand.
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
 
15. Übungsaufgaben Ü 3
http://www.cti.ac.at/pester/test/Dsp1st/CHAPTERS/10APPA/HOMEWORK/OVERVIEW.HTM

Lösen Sie die Übungsaufgaben A8 - A21 sowie A24. Schwierigkeiten bei der Lösung dokumentieren Sie bitte im Lerntagebuch.
Übungsaufgaben, Eintrag in das Lerntagebuch
 
16. Das Radizieren komplexer Zahlen
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/ComplexRoot.html

Übungsaufgabe, Vertiefung
 
17. Übungsaufgaben Ü 4
http://www.cti.ac.at/pester/test/Dsp1st/CHAPTERS/10APPA/HOMEWORK/OVERVIEW.HTM

Lösen Sie die Aufgaben A 22 bis A 33 und notieren Sie allfällige Erfolge bzw. Probleme im Lerntagebuch. Falls Ihnend ieser Stoff bekannt sein sollte, so machen Sie unbedingt den Kurztest K3 und lösen Sie die anschließende Übung.
Übungsaufgaben, Eintrag in das Lerntagebuch
 
18. Kurztest K 3
Überprüfen Sie bitte Ihre Kenntnisse im Potenzieren und Radizieren von komplexen Zahlen
Selfchecking Test
 
19. Weitere Übungsmöglichkeiten zu komplexen Zahlen
http://wims.unice.fr/wims/
   wims.cgi?session=NZ21C5E3BD.3&+lang=en&+module=H6%2Falgebra%2Fcompshoot.en

Nutzen Sie den Link zum angegebene Server der Universität Nizza und üben Sie die geometrische Interpretation von komplexen Zahlen.
Übungsaufgaben
 
20. Die komplexe Funktion w = 1/z
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/Inversion.html

Lernen Sie die komplexe Funktion w = 1/z, ihre Eigenschaften und geometrische Interpretation kennen. Diese Funktion spielt besonders in der Technik eine grosse Rolle.
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
 
21. Die komplexe Exponentialfunktion w = ez
http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/
   ComNum/inhalte/ComplexExpo.html

Die komplexe Exponentialfuntion ist eine äusserst interessante Funktion mit Eigenschaften, die sie von der reellen Funktion f(x) = ex wesentlich unterscheidet. Lernen Sie diese Funktion, ihre Eigenschaften und den Graphen in der w-Ebene kennen.
Lernstoff, Vertiefung, Eintrag in das Lerntagebuch, Vorgriff
 
22. Abschlusstest
Absolvieren Sie Ihren Abschlusstest zu diesem Kurs. Sie sollten danach in der Lage sein, mit komplexen Zahlen zu rechnen, komplexe Zahlen in ihre verschiedenen Darstellungsformen umzuformen und die Eigenschaften einfacher komplexer Funktionen zu verstehen und anzuwenden. Tragen Sie das Ergebnis des Tests, Anmerkungen zum Kurs und allfällige Fragen ins Lerntagebuch ein.
Selfchecking Test, Eintrag in das Lerntagebuch
 
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