Anwendungen der Differentialrechnung in der Physik

Lernpfad erstellt und betreut von:

Katalin Szeberenyi

E-mail: katalin.szeberenyi@edu.uni-graz.at
Steckbrief
Kurs-Informationen
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Lernpfadseite bearbeiten (Autor)

Übersicht:       
Hilfe
1. Überblick und Differenzenquotient
2. Differentialquotient
3. Differentialgleichungen
4. Gemischte Aufgaben - Bifie/BMB
5. Evaluierung des Lernpfades

Differentialquotient
 
2.1 Was solltest du schon können?
Bevor du mit diesem Kapitel beginnst, solltest du bereits folgendes können:

Du weißt...
... dass der Differentialquotient als Grenzübergang (Δ x → 0) des Differenzenquotienten entsteht.
... wie man erste und höhere Ableitungen einer Polynomfunktion n-ten Grades bildet.
... wie man die erste und höhere Ableitungen von trogonometrischen und Exponentialfunktionen bildet.
... wie Produkt-, Quotienten- und Kettenregel angewandt werden.


Wiederholung, Lernstoff
 
2.2 Mathematisches Lexikon
https://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/

Solltest du in einem der Gebiete Probleme haben, dann lies im Lexikon nach.

Lernstoff, Wiederholung
 
2.3 Wiederholung: Untersuchung von Funktionen
https://www.mathe-online.at/tests/anwdiff/kurvendiskussion.html

Falls du noch einmal die direkte Anwendung der Differentialrechnung - die Kurvendiskussion - üben möchtest, hast du hier die Gelegenheit dazu.

Besuche auch die folgenden Links, wenn du noch mehr üben möchstest:
Extremum oder Wendestelle?
Minimum oder Maximum?
Ableitungspuzzle

Wiederholung, Übungsaufgaben, Selfchecking Test
 
2.4 Senkrechter Wurf
Beim senkrechten (=lotrechten) Wurf wird ein Gegenstand senkrecht nach oben geworfen oder fallengelassen. Die Weg-Zeit-Funktion des lotrechten Wurfes ist eine Parabel, also eine quadratische Funktion.

Das kannst du dir so vorstellen: Du und deine beste Freundin steht einander gegenüber. Du wirst einen Tennisball genau senkrecht nach oben, d.h. er sollte ohne, dass du dich bewegst, wieder bei dir landen. Deine Freundin notiert zu jeder Sekunde die Höhe des Balles (sie kann ziemlich gut schätzen). Zeichnet sie anschließend die Daten in ein Höhe-Zeit-Diagramm, wird sie näherungsweise eine Parabel erhalten. Das liegt an der Erdbeschleunigung g.
Beachte: Die Flugbahn des Tennisballes beschreibt KEINE Parabel, sondern er fliegt einfach gerade hinauf und wieder herunter.


Diagramme zum senkrechten Wurf
(Quelle:Senkrechter Wurf)


Der lotrechte Wurf hat also im Allgemeinen die Form:

h(t) = h0 + v0 t - g/2 t2

h0 ... Abwurfhöhe
v0 ... Anfangsgeschwindigkeit, die der Werfer dem Gegenstand „mitgibt“
g ... Erdbeschleunigung, g ≈10 m/s2

Zusammenhang mit der Differentialrechnung:
Die physikalische Einheit der 1. Ableitung wird ja immer gebildet durch: Einheit der y-Achse/Einheit der x-Achse . Bei einem Weg-Zeit-Diagramm ist die Einheit der 1. Ableitung also m/s oder km/h. Mithilfe der Differentialrechnung kann demnach durch die 1. Ableitung die Geschwindigkeit des senkrecht geworfenen Gegenstandes zu jeder Zeit (von Abwurf bis Aufprall) bestimmt werden. Die Beschleunigung erhält man durch zweifaches Ableiten der Höhe-Zeit-Funktion.
v(t) = h'(t) = v0 - gt
a(t) = h''(t) = -g

Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t setzt sich zusammen aus der Anfangsgeschwindigkeit v0 und den durch die Erdbeschleunigung verursachten Anteil -gt.
Die Beschleunigung, die ja der zweiten Ableitung entspricht, ist bei einer Parabel konstant, also -g (d.h. die Krümmung hat überall den Wert -g).

Lernstoff
 
2.5 Aufgabe zum senkrechten Wurf 1
https://www.mathe-online.at/materialien/katalin.szeberenyi/files/
   Diff_Physik/senkrechter_wurf_multiple.htm

Löse die Aufgaben mithilfe der Theorie in Abschnitt 2.4.

Übungsaufgaben
 
2.6 Aufgabe zum senkrechten Wurf 2
Kennst du die Legende, dass Newton ein Apfel auf den Kopf gefallen sein soll, wonach er das Gravitationsgesetz gefunden haben soll?

(Quelle: Newton und sein Apfel)


Wir nehmen an, der Apfel sei aus 3 Metern Höhe auf den schlafenden Isaac heruntergefallen. Die Anfangsgeschwindigkeit war in diesem Fall 0, da der Apfel ja nicht geworfen wurde.
a) Ermittle die Termdarstellung von h(t).
b) Mit welcher Geschwindigkeit fiel der Apfel Isaac auf den Kopf, wenn wir annehmen, dass sein Kopf in einer Höhe von 75 cm über dem Boden war?
c) Wie lang war der Apfel frei fallend, bevor er sein Ziel, Isaacs Kopf, erreichte?
d) Zeichne das Höhe-Zeit-Diagramm des Apfels für einen sinnvollen Zeitbereich.

Übungsaufgabe
 
2.7 Senkrechter Wurf - Leifi Physik
http://www.leifiphysik.de/mechanik/freier-fall-senkrechter-wurf

Willst du noch mehr wissen? Hier findest du viele Informationen zum senkrechten Wurf.

Vertiefung
 
2.8 Harmonische Schwingungen

Federpendel in Ruhelage (nicht ausgelenkt)
(Quelle: Leifi Physik)


Federpendel vollführen, wenn man sie aus ihrer Ruhelage auslenkt, eine harmonische Schwingung (unter Vernachlässigung des Luftwiderstandes und Reibung). Die Auslenkungen (Elongation) zur Zeit t bezeichnen wir mit E(t).
Harmonische Schwingungen können mithilfe der Sinus-Funktion beschrieben werden.


E(t)=A·sin(ω·t+φ)


A ... Amplitude: die Amplitude ist die maximale Auslenkung des Pendels
ω ... Kreisfrequenz: die Kreisfrequenz gibt den pro Sekunde überstrichenen Winkel an.
φ ... Anfangswinkel: der Anfangswinkel gibt an, bei welchem Winkel das Pendel startet.


Zusammenhang mit der Differentialrechnung:
Die oben angegebene Schwingungsfunktion gibt die Auslenkung des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit an und ist damit eine Weg-Zeig-Funktion.
Wollen wir die Geschwindigkeit des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt wissen, brauchen wir die 1. Ableitung E'(t) der Schwingungsfunktion. Die Beschleunigung erhält man durch zweifaches Ableiten, E''(t).
An den Extremstellen hat die Funktion E(t) genau den Wert der Amplitude, d.h. E'(t)=0 ⇔ E(t)=±A.

E(t)=A·sin(ω·t+φ)
E'(t)=A·ω·cos(ω·t+φ)
E''(t)=-A·ω2·sin(ω·t+φ)


Lernstoff
 
2.9 Harmonische Schwingung - GeoGebra
https://ggbm.at/JEGmWBAh

In diesem GeoGebra-File kannst du mit den Parametern spielen und dir ansehen, wie sich die Funktion und damit die Schwingung verändert.

Lernstoff
 
2.10 Aufgaben zu Harmonischen Schwingungen 1
https://www.mathe-online.at/materialien/katalin.szeberenyi/files/
   Diff_Physik/zuordnung_schwingungen.htm

Lies aus den folgenden Graphen A und ω ab und ordne richtig zu.

Übungsaufgabe
 
2.11 Aufgaben zu Harmonischen Schwingungen 2
E(t)=5·sin(3t)
a) Zeichne die Funktion in dein Heft.
b) Leite die Funktion ab und skizziere die Ableitungsfunktion. Was sagt die 1. Ableitung aus?
c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Pendels an t=π/2, π, 4π/3
d) Wie groß ist die Beschleunigung des Pendels an t=π/2, π, 4π/3

Übungsaufgabe
 
2.12 Gedämpfte Schwingung - GeoGebra
https://ggbm.at/gPSs5N2r


Gedämpfte mechanische Schwingung
Quelle: Leifi Physik


Im Alltag werden Schwingungen, denen nicht ständig Energie zugeführt wird, gedämpft. Grund dafür sind der Luftwiderstand oder Reibung in den Lagern. In diesem GeoGebra-File kannst du dir das Auslenkung-Zeit-Diagramm einer gedämpften Schwingung ansehen. Aufgabenstellungen findest du in der Datei.

Lernstoff, Übungsaufgabe, Vertiefung
 
2.13 Schwingungen - Leifi Physik
http://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-schwingungen

Willst du dich intensiver mit Schwingungen auseinandersetzen, findest du hier viele Informationen:
Folgendes GIF zeigt dir auch, wie sich Lageenergie, Bewegungsenergie und Elastische Energie des Pendels während dem Schwingungsvorgang verändern:
Energieformen - Schwingung

Vertiefung
 
2.14 Der Luftdruck
Der Luftdruck in unserer Atmosphäre nimmt exponentiell mit der Höhe ab. Wieder haben wir eine Änderung und können diesen Sachverhalt daher mit der Differentialrechnung behandeln. Die folgende Grafik zeigt dir den Höhenverlauf des Luftdruckes. Auf der x-Achse ist die Höhe in km aufgetragen, auf der y-Achse der Druck in hPa. Der Bodendruck beträgt 1013,25 hPa.


Druckabnahme in der Erdatmosphäre
(Quelle: Klaus-Dieter Keller - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0)


Zusammenhang mit der Differentialrechnung:
Da wir nun kein Weg-Zeit-Diagramm vorliegen haben, ist die Ableitung hier keine Geschwindigkeit. Da sich die physikalische Einheit der 1. Ableitung (wie in Abschnitt 2.2. beschrieben) wie folgt zusammensetzt Einheit der y-Achse/Einheit der x-Achse ist sie in diesem Fall: hPa/km (gesprochen: Hectopascal pro Kilometer). Für jede Höhe gibt der Differentialquotient also an, um wie viel Hectopascal der Luftdruck pro Kilometer Höhenänderung sinkt.

Lernstoff
 
2.15 Aufgaben zum Luftdruck
Löse die folgenden Aufgaben und notiere die Rechenschritte und Antworten in deinem Heft:
1.) Ermittle mithilfe der obigen Abbildung (in Abschnitt 2.8.) die Termdarstellung der Funktion p(h) in der Form p(h)=p0 · eλ·h.
2.) Bei welcher Höhe sinkt der Luftdruck auf unter 1% seines Bodenwertes?
3.) Leite die Funktion ab und berechne den Druckabfall pro Kilometer für h=0,5,10,30 km.
4.) Bei welcher Höhe beträgt der Druckabfall pro Kilometer -70 hPa/km?

Übungsaufgaben
 
2.16 Luftdruck - Zusätzliches Übungsmaterial
http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1fu/ef/ef_luftdruck.pdf

Falls du noch mehr zum Thema Luftdruck üben möchstest, findest du unter obigem Link ein Übungsblatt mit Lösungen.

Übungsaufgaben
 
Lernpfadseite als User öffnen (Login)

Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.

 Zur Galerie
 Zu den Mathematischen Hintergründen
 Zum Lexikon
 Zu den interaktiven Tests
 Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen
 Zur Welcome Page
   Übersicht über die Lernpfade
 Open Studio Materialien
 Open Studio Eingang
 Neuen Zugang anlegen
 Login