Differenzial- und Integralrechnung in der Physik

Lernpfad erstellt und betreut von:

Klaus Irgang

E-mail: klaus-i@hotmail.com
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Übersicht:       
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1. Wiederholung der Differential- und Integralrechung
2. Einfache Anwendungen in der Physik
3. Höhere Anwendungsbeispiele und Ausblick

Einfache Anwendungen in der Physik
 
2.1 Allgemeines
Als erstes behandeln wir einfache Bewegungsabläufe, z.B. den freien Fall und die dazu gehörige Mathematik. Für Zusatzinformationen und einen anderen Zugang zum Thema kannst du dir den Lernpfad Bewegungen ansehen.
Anschließend werden wir die Mathematik auf sogenannte "gewöhnliche Differentialgleichungen" erweitern und unter anderem das radioaktive-Zerfallsgesetz herleiten. Auch hier geht Wikipedia weit über das geforderte Maß hinaus.
Im dritten Teil gehen wir auf einfache Anwendungsbeispiele in der Physik ein. Dazu zählt unter anderem: Das zweite Newton'sche Gesetz, die Berechnung der physikalischen Arbeit und Leistung.
 
2.2 Gleichförmige Bewegungen
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/1_Gleichfoermige_Bewegung.pdf

Gleichförmige Bewegungen kommen in der Natur zwar kaum vor, sind aber sehr einfach in der mathematischen Beschreibung. Hat man diese einmal verstanden, so kann man meist auch komplexere Bewegungsabläufe auf eine Abfolge von einfacheren gleichförmigen Bewegungen zurückführen.

Aufgabe zu gleichförmigen Bewegungen
 
2.3 Das radioaktive Zerfallsgesetz
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/2_Das_radioaktive_Zerfallsgesetz.pdf

Das Zerfallsgesetzes veranschaulicht auf sehr einfache Weise die Zusammenhänge von Analysis und Physik.
Bevor wir uns auf die Theorie der Differenzialgleichungen stürzen, betrachten wir daher dieses kurze Beispiel.
Hier werden wir, wie schon bei den gleichförmigen Bewegungen, auch wieder die Notation mit den "Differenzialen" dt, ds, dx, etc. verwenden. Sie sind in der Analysis die übliche Schreibweise für Veränderungen.

Aufgaben zum Zerfallsgesetz
 
2.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/3_Gewoehnliche_Differenzialgleichungen.pdf

"Gewöhnliche" Differenzialgleichungen sind eine spezielle (und besonders einfache) Klasse von Differenzialgleichungen. In diesem Lernpfad werden sie eher über Kontexte und aus Sicht der Physik eingeführt. Man kann das natürlich auch streng mathematisch machen. Wen soetwas interessiert, kann sich freiwillig folgende youtube-Videos anssehen:
Differenzialgleichungen Teil 1
Differenzialgleichungen Teil 2
Differenzialgleichungen Teil 3

Aufgaben zu gewöhnlichen Differenzialgleichungen
 
2.5 Das zweite Newton'sche Gesetz
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/4_zweites_Newtonsche_Axiom.pdf

Viele physikalische Gesetze bzw. Formeln sind im eigentlichen Sinne nicht so definiert, wie man es in der Schule im klassichen Unterricht üblicherweise lernt, sondern als Differenzialgleichungen. Als erstes Beispiel sei hier entsprechend die Definition der Kraft angeführt, denn sie ist eines der grundlegenden Konzepte der Mechanik.

Aufgaben zum zweiten Newton'schen Gesetz
 
2.6 Arbeit und Leistung
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/5_Arbeit_und_Leistung.pdf

Noch grundlegender als die Kraft ist das Konzept der Energie. Sie bildet die Grundlage für praktisch die gesamte Physik. In diesem Teil soll der Bogen von der Kraft, über die Energie bzw. Arbeit bis hin zur Leistung gespannt werden.
Eine sehr gute Seite um sich (freiwillig!) auf relativ einfachem Level mit Energie, Arbeit Leistung näher zu beschäftigen, ist Leifi Physik.

Aufgaben zu Arbeit und Leistung
 
2.7 Nummerisches Differenzieren
https://www.mathe-online.at/materialien/klaus.irgang/files/
   Differnezial-_und_Integralrechnung_in_der_Physik/5_Aufgaben_ArbeitLeistung_2.pdf

Differenzieren und integrieren ist sehr einfach, wenn man konkrete Funktionen gegeben hat. Leider hat man das in der Physik sehr oft nicht. Oft hat man nur irgendwelche Messwerte gegeben. Zum Beispiel hat man einmal pro Sekunde die Geschwindigkeit eines Autos gemessen. Aus diesen Werten eine konkrete Funktion aufstellen ist sehr aufwendig und meistens zahlt sich der Aufwand gar nicht aus. Will man nun die Beschleunigung (Ableitung der Geschwindigkeit) oder den zurückgelegten Weg (Integral der Geschwindigkeit) berechnen, so bedient man sich nummerischen Verfahren. Im einfachsten Fall verwendet man einfach den Differenzenquotienten statt dem Differenzialquotienten und eine Summe statt dem Integral - man geht sozusagen mathematisch einen Schritt zurück.

Zur Lösung der Aufgabe verwende dieses GeoGebra Dokument
 
2.8 Lösungen
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben in diesem Kapitel,

und auch die Musterlösung zur GeoGebra Aufgabe
 
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