Die komplexen Zahlen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Elisa Hauk

E-mail: elisa.hauk@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Einleitung - einige Fakten
2. Die Komplexen Zahlen und die Grundrechnungsarten
3. Die Polardarstellung komplexer Zahlen
4. Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
5. Abschlussquiz
6. Quellenangabe

Die Komplexen Zahlen und die Grundrechnungsarten
 
2.1 Die Grundrechnungsarten
Komplexe Zahlen kann man natürlich addieren, subtrahieren, multiplizieren und auch dividieren. Es gibt jedoch einige Regeln, welche man beachten muss.

ADDITION

MERKE DIR: Bei der Addition von zwei oder mehreren komplexen Zahlen werden jeweils die Real- und Imaginärteile addiert.

z1= a + b·i und z2 = x + y·i ⇒ z1 + z2 = (a + b·i)+(x + y·i) und daraus folgt eine neue komplexe Zahl!

(a + b·i)+(x + y·i) = (a+x)+(b+y)·i ⇒ (a+x) = Realteil und (b+y) = Imaginärteil

(4 + 3·i)+(2 + 2·i) = (4+2)+(3+2)·i = 6 + 5·i ⇒ 6 = Realteil und 5 = Imaginärteil

SUBTRAKTION

MERKE DIR: Bei der Subtraktion werden jeweils die Real- und Imaginäteile voneinander abgezogen. Achtung: Vorzeichen müssen bei der Subtraktion beachtet werden!

(a + b·i)-(x - y·i) = (a-x)+(b+y)·i

(3 + 2·i)-(1 - 6·i) = 2 + 8·i ⇒ 2 = Realteil und 8 = Imaginärteil

MULTIPLIKATION

MERKE DIR: Wenn komplexe Zahlen multipliziert werden, wird jede Zahl(egal ob Real- oder Imaginärteil!) miteinander multipliziert. Danach werden die Realteile und die Imaginärteile getrennt zusammengefasst.Achtung: i·i = i2 = - 1

(a + b·i)·(x + y·i) = (a·x) + (a·y·i) + (b·i·x) + (b·i·y·i) = (a·x) + (a·y·i) + (b·i·x) + (b·y·i2) = (a·x) + (a·y·i) + (b·i·x) + (b·y·(-1))

(3 + 2·i)·(2 + 2·i) = (3·2)+(3·2·i)+(2·i·2)+(2·i·2·i) = 6 + 6·i + 4·i + 4·i2 = 6 + 10·i + 4·(-1) = 6 + 10·i - 4 = 2 + 10·i ⇒ 2 = Realteil und 10 = Imaginärteil

DIVISION

MERKE DIR: Bei der Division von komplexen Zahlen wird mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert!


Lernstoff
 
2.2 Uebungsaufgaben zu den Grundrechnungsarten!
Löse folgenden Übungszettel selbstständig und lade deine Ergebnisse in unserem "moodle Kurs" hoch!

Klicke: Uebungsblatt zu den Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen


Uebungsaufgabe
 
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