Der Lehrsatz des Pythagoras

Lernpfad erstellt und betreut von:

Margit Schäfer

E-mail: mschaefer@student.tugraz.at
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Übersicht:       
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1. Wiederholungen
2. Der Satz des Pythagoras
3. Beweis des Lehrsatzes
4. Übungen
5. Höhen- und Kathetensätze

Beweis des Lehrsatzes
 
3.1 Einleitung
Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. 
Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz.

 
3.2 Zerlegungsbeweis
Im vorherigen Kapitel hast du gesehen, dass der Lehrsatz des Pythagoras in einem 
Dreieck mit den Seitenlängen 3cm, 4cm und 5cm gilt.

Nun wollen wir diesen Lehrsatz für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck beweisen!
Dazu zeichne zwei gleich große Quadrate mit den Seitenlängen (a+b) in dein Schulübungsheft
und zerlege sie auf 2 Arten, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.
Wähle zum Beispiel a = 1cm und b = 2cm.


Die beiden großen Quadrate sind flächengleich: A=(a+b)*(a+b)

In jedem Quadrat sind vier flächengleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b
eingezeichnet (gelb)!

Die übrig bleibenden Flächen müssten daher auch flächengleich sein!

Im rechten Quadrat sind a² und b² offensichtlich Quadrate.
Aber auch im linken Quadrat muss die rote Fläche mit der Seitenlänge c ein Quadrat sein!
(alle Seiten sind gleich lang und alle Innenwinkel sind 90°)

Betrachten wir die Flächeninhalte genauer:

Auf der linken Seite des ‚=’ steht bei beiden das Gleiche!
Also können wir die rechten Seiten vom ‚=’ vergleichen!


Damit haben wir den Lehrsatz des Pythagoras für beliebige rechtwinklige Dreiecke bewiesen!

 
3.3 Scherungsbeweis
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c1/Pythagorasanimation.gif

Eine andere Möglichkeit den Lehrsatz des Pythagoras zu beweisen ist die Scherung 
der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. 

Erklärung: Unter einer Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie 
die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm, während die Höhe gleichbleibt. 
Bei der Scherung ist das entstehende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. 

Über zwei Scherungen können also die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt 
werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen. (siehe Animation!)

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, 
dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils den Hypotenusenabschnitten entspricht. 
Bei dieser Animation wurden, wie üblich, die Höhe mit h und die Hypotenusenabschnitte mit p und q bezeichnet.

Über Hypothenusenabschnitte wirst du im letzten Kapitel mehr erfahren!

 
3.4 Ein kurzes Quiz
http://www.mathe-online.at/materialien/Margit.Schaefer/files/
   Pythagoras/AllgemeinesPythagoras_QZ.htm


Versuche dich nun an diesem kurzem Quiz.
                                     

Wiederholung
 
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