Folgen und Reihen

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Florian Sternat

E-mail: florian.sternat@gmx.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Folgen
2. Reihen
3. Wirtschaftliche Anwendung
4. Zusammenfassung
5. Literaturquellen

Reihen
 
2.1 Reihe im allgemeinen
Eine Reihe ist eine spezielle Folge.
Sei ai eine beliebige Folge geschrieben a1,a2,a3,a4,...,ai mit i aus N.
Mit der Folge ai kann nun die Folge (sn) durch sn = a1 + a2 + a3 + ... + an mit 1 ≤ n ≤ i gebildet werden.
Die Glieder dieser Reihe hei�en n-te Partialsummen.
Um nicht immer die n-te Partialsumme ausschreiben zu m�ssen gibt es eine eigene Notation mittels Summenzeichen : ∑


Lernstoff
 
2.2 endliche Reihe
Wenn nun die Summe bis n aus N l�uft, also bis zu einem endlichen Endwert, so hei�t die Reihe endliche Reihe.

Beispiel:

Dies w�re eine endliche Reihe bis 5.

Nun liegt ja jeder Reihe eine Folge zugrunde. Wie sieht nun die Summe aus wenn es sich um eine arith. und geom. Reihe handelt?

arithmetische Reihe
Word Datei

geometrische Reihe
Es gibt zwei Ans�tze:
1) an = qn --> S = 1 + q + q2 + q3 + ... + qn = (qn - 1)/(q - 1)
2) an = c * qn --> S = c + c*q + c*q2 + c*q3 + ... + c*qn = c * (qn - 1)/(q - 1)

Denkaufgabe: Welchen Wert darf q nicht annehmen? Und wie w�rde die Summe aussehen wenn q doch dieser werd sei?

Lernstoff
 
2.3 unendlichen Reihe
Der einzige Unterschied zu der endlichen Reihe ist der, dass die unendliche Reihe den "Endwert" hat.

unendliche arithmetische Reihe
Die unendliche arithmetische Reihe hat keine enldiche Summe.
Beispiele:
∑ k*1 = 1 + 2 + 3 +... = ∞
∑ − k*1 = 1 − 2 − 3 −... = − ∞

unendliche geometrische Reihe
Die unendliche geom. Reihe hat eine wichtige Funktion. ( Siehe Kap. 3)
Wann existiert eine Summe einer unendlichen Reihe?
Nur dann wenn |q| < 1 ist, bzw. wenn die Folge an eine Nullfolge ist.

S = lim c* (qn - 1)/(q - 1) = c * lim (qn - 1)/(q - 1) = c * (- 1)/(q - 1) = c * lim 1/(1 - q)
S = c * lim 1/(1 - q)

Übung
Berechne die Summe der unendlichen geom. Reihen mit an = (½)n und an = (0,8)n.
Überprüfe deine Ergebnise. Kann man aus der Graphik auch ohne rechnen erahnen welche Summe die Reihe hat?
Lernstoff, Übungsaufgabe
 
2.4 Aufgaben
1) Berechne die Summe der folgenen Reihen.
a) 4 + 6 +8 + 10 + ... + 88
b) 3 + 3* ¼ + 3* (¼)2 + ...
c) 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 46

2) Auf ein Quadrat mit Seitenlaenge 1 wird ein Quadrat mit der halben Seitenlaenge gesetzt usw.
Berechne die Flaeche der ersten fuenf Quadrate und die Flaeche aller Quadrate.
Fuer die Skizze benoetigt man das Programm Geogebra.

3) Einem Kreis vom Radius r=8cm wird ein Quadrat eingeschrieben, diesem wieder ein Kreis, diesem wieder ein Quadrat usw.
a) Berechne die Summe der Flaecheninhalte aller Kreise.
b) Berechne das Verhaeltnis der Flaechen des Kreis zu dem eingeschrieben Quadrat.
c) Visualisiere dies mittels Geogebra.
Hausuebung
 
2.5 Zahl e als unendliche Reihe
Die Zahl e, auch genannt Euler'sche Zahl, kann durch den Grenzwert der folgenden unendl. Reihe geschrieben werden:
e = 1 + 1/1*2 + 1/1*2*3 + ... = ∑ 1/n!.
n! ... Fakultät von n.

Wie schon Euler bewiesen hat, ist e der Grenzwert der Folge (1 + 1/n )n, d.h. e = lim (1 + 1/n )n
Lernstoff
 
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