Folgen und Reihen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Florian Sternat

E-mail: florian.sternat@gmx.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Folgen
2. Reihen
3. Wirtschaftliche Anwendung
4. Zusammenfassung
5. Literaturquellen

Folgen
 
1.1 Was ist eine Folge?
Eine Folge ist eine Aufzaehlung von Zahlen.
Besteht eine Folge aus den Zahlen a1,a2,a3,..., so heissen diese Zahlen die Glieder der Folge.

Endliche Folge
Hat eine Folge nur endlich viele Glieder so heisst diese endliche Folge.
Schreibweise: (a1,a2,a3,...,an) mit n aus den natuerlichen Zahlen.

Unendliche Folge
Hat eine Folge unendlich viele Glieder so heisst diese unendliche Folge.
Schreibweise: (a1,a2,a3,...)

Termdarstellung
Wird das n-te Glied durch einen Term gegeben, zb. an = n + 2, so spricht man von einer Termdarstellung oder explizite Darstellung der Folge.

rekursive Darstellung
Bei der rekursiven Darstellung wird ein Folgenglied in Abhaengigkeit des vorangehenden Glieds berehnet.
Ein Beispiel waere: an = an-1 + 2.
Um somit das 10te Glied zu berechnen muss man das 9te kennen.

Graphische Darstellung
Eine Folge kann auf zwei Arten dargestellt werden:

1) auf einer Zahlengeraden


2) in einem kartresischen Koordinatensystem

Meistens wird jedoch das Koordinantensystem gewaehlt um eine Folge darzustellen.
Wiederholung
 
1.2 Beschraenktheit und Monotonie
Hier geht es nun um zwei wichtige Eigenschaften einer Folge.
Um die Beschraenktheit und die Monotonie einer Folge.

Aufgabe
Mache dich im Internet, im Schuluebungsheft oder im Mathematikbuch ueber diese zwei Eigenschaften schlau und loese dann die folgenden Aufgaben.

1) Gib eine Folge in Termdarstellung an welche
a) nach oben beschraenkt, aber nicht nach unten beschraenkt ist.
b) nach unetn beschraenkt, aber nicht nach oben beschraenkt ist.
c) beschraenkt ist.

2)Gib an ob die Folge beschraenkt, nach unten, nach oben oder gar nicht beschraenkt ist.
an = (-1)n * 1/n;

3) Untersuche, ob die Folge monoton fallend, monoton steigend oder nicht monoton ist. Falls die Folge monoton ist, zeige, ob diese auch streng monoton ist.
a) an = 2 * 3n
b) an = (-1)n
c) an = n+1/n
 
1.3 Grenzwert
Der Grenzwert einer Folge ist der Wert den eine Folge annimmt, wenn man sie bis unendlich laufen lassen wuerde.
Sieht euch dazu folgendes Video an

Wiederholung
 
1.4 Eigenschaften von Folgen
Den folgenden Test kannst du als Selbstkontrolle machen.

Test


Selfchecking Test
 
1.5 arithmetische und geometrische Folgen
Arithmetische Folge
Definition: Eine Folge an = k*n + d (mit k,d aus R) heisst arithmetische Folge.
Die Differenz zweier aufeinander folgender Glieder einer solchen Folge ist konstant.
Andere Schreibweise: an = a1 + (n - 1)*k wobei a1 das erste Folgenglied ist.
Graphisch:



Geometrische Folge
Definition: Eine Folge an = c * qn (mit c,q aus R) heisst geometrische Folge.
Der Qoutient zweier aufeinander folgender Glieder einer solchen Folge ist konstant.
Andere Schreibweise: an = a1 * qn - 1 wobei a1 das erste Folgenglied ist.
Graphisch:


Lernstoff
 
1.6 Eigenschaften einer arith. und geom. Folge
Bearbeite die Lueckentexte

arithmetische Folge

geometrische Folge
Uebung
 
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