Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen

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Alexander Kager

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Übersicht:       
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1. Allgemeines
2. Lineare Gleichungen in zwei Variablen graphisch interpretieren
3. Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen
4. Übungsaufgaben und Kontrolle: Grundwissen & Grundkompetenzen
5. Literaturverzeichnis

Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen
 
3.1 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen
Definition:
  • Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen hat die Form:

    a1*x + a2*y = a0 (a1, a2, a0 ∈ ℜ, a1 und a2 nicht beide 0)
    b1*x + b2*y = b0 (b1, b2, b0 ∈ ℜ, b1 und b2 nicht beide 0)

  • Ein Zahlenpaar (x/y) heißt Lösung des Gleichungssystems, wenn die reellen Zahlen x und y beide Gleichungen erfüllen.


Eintrag in das Lerntagebuch, Lernstoff
 
3.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
  • Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode):
    Aus einer Gleichung wird eine Unbekannte durch die andere ausgedrückt.
    Der erhaltene Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetz.


    I. x+2y = 8 --> x = 8-2y
    II. 3x+y = 9
    -------------------------------------
    in II. einsetzen:

    3*(8-2y)+y = 9 --> y = 3, x = 8-2*3 = 2

    Lösung: (2/3)

  • Eliminationsmethode (Additionsmethode):
    Man multipliziert die Gleichungen mit geeigneten Zahlen, sodass beim Addieren der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt:

    I. x+2y = 8 /*(-3)
    II. 3x-y = 9
    -------------------------
    I. -3x-6y = -24 II. 3x+y = 9 /+
    -------------------------
    -5y = -15 --> y = 3
    In II. einsetzen: 3x+3 = 9 --> x=2

    Lösung: (2/3)

  • Komparationsmethode (Gleichsetzngsmethode):
    Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Anschließend werden die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt.

    I. x+2y = 8 --> x = 8-2y
    II. 3x+y = 9 --> x = 3-(1/3)y
    ----------------------------------
    Gleichsetzen: 8-2y = 3-(1/3)y ---> y = 3
    Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert: x = 2

    Lösung: (2/3)


Eintrag in das Lerntagebuch, Lernstoff
 
3.3 Aufgabe 3:
Kreuzworträtsel

https://www.mathe-online.at/materialien/Alexander.Kager/files/
   Lineare_Gleichungen_lernpfad/Kreuzwortraetsel.htm


Löse dieses Kreuzworträtsel! Viel Spaß dabei :D
 
3.4 Graphische und rechnerische Ermittlung von Lösungen
  • 1. Beispiel: Löse das folgende lineare Gleichungssystem grafisch und rechnerisch!

    I. x + 2y = 5
    II.-x + y = 1

    Grafische Lösung:
    Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar:

    I. x + 2y = 5 --> y = -½x + 5/2
    II.-x + y = 1 --> y = x + 1

    Da die beiden Geraden verschiedene Steigungen besitzen, mössen sie einander schneiden. Wir stellen sie in einem Koordinatensystem dar.
    Der Schnittpunkt S ist der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Das ihm entsprechende Zahlenpaar (1/2) ist somit die einzige Lösung des Gleichungssstems.



    Rechnerische Lösung:
    Wir lösen das Gleichungssystem mit der Eliminationsmethode.
    I. x + 2y = 5
    II. -x + y = 1 --> ¦ +
    ------------------
    y = 2; x = 1 --> Lösung: (1/2)

  • 2. Beispiel: Löse das folgende Gleichungssystem grafische und rechnerisch!

    I. x + 2y = 5
    II. 2x + 4y = 3

    Grafische Lösung:
    Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar:

    I. x + 2y = 5 --> y = -½x + 5/2
    II. 2x + 4y = 3 --> y = -½x + ¾

    Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung, aber verschiedenes d. Sie sind somit parallel, aber nicht zusammenfallend.
    Wir stellen sie im Koordinatensystem dar.
    Es gibt keinen Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung.



    Rechnerische Lösung:
    Wir lösen das Gleichungssystem mit der Elliminationsmethode.

    I. x + 2y = 5 ¦ *(-2)
    II. 2x + 4y = 3 --> ¦ +
    ---------------------------
    0 = -7 --> Flasche Aussage !!!

    Es gibt kein Zahlenpaar (x/y), das beide Gleichungen erfüllt.
    Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung.

  • 3. Beispiel: Löse das folgende linear Gleichungssystem grafisch und rechnerisch!

    I. x + 2y = 5
    II. 2x + 4y = 10

    Grafische Lösung:
    Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar.

    I. x + 2y = 5 --> y = -½x + 5/2
    II. 2x + 4y = 10 --> y = -½x + 5/2

    Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung und gleiches d. Sie sind somit parallel und zusammenfallend.
    Wir stellen sie im Koordinatensystem dar.
    Jeder Punkt auf dieser Gerade entspricht einer Lösung. Somit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen



    Rechnerische Lösung:
    Wir lösen das Gleichungssystem mit der Elliminationsmethode.

    I. x + 2y = 5 ¦*(-2)
    II. 2x + 4y = 10 --> ¦ +
    ----------------------------
    0 = 0 --> wahre Aussage !!

    Jedes Zahlenpaar (x/y), das die 1. Gleichung erfüllt, erfüllt auch die 2. Gleichung.
    Das Gleichungssystem besitzt daher unendlich viele Lösungen.


Übungsaufgaben
 
3.5 Satz:
Ein lineaes Gleichungssystem in zwei Variablen hat keine Lösung,
genau eine Lösung
oder unendlich viele Lösungen (wobei die zugehörigen Punkte auf einer Geraden liegen).

Eintrag in das Lerntagebuch, Lernstoff
 
3.6 Aufgabe 4:
Aufgabe zur geometrischen Veranschaulichung eines linearen Gleichungssystem.

https://ggbm.at/h8eyAnFD

Übungsaufgabe
 
3.7 Aufgabe 5:
Fülle diesen Lückentext aus ......

https://www.mathe-online.at/materialien/Alexander.Kager/files/
   Lineare_Gleichungen_lernpfad/Lueckentext.htm

Übungsaufgabe
 
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