Kurvendiskussion von Polynomfunktionen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Theresa

E-mail: theresa.reinisch@edu.uni-graz.at
Steckbrief
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Übersicht:       
Hilfe
1. Wiederholung Definitionsbereich
2. Wiederholung Nullstellen
3. Extremstellen und Monotonie
4. Wendestellen und Krümmung
5. Grafisches Differenzieren
6. Teste dein eworbenes Wissen

Extremstellen und Monotonie
 
3.1 Extremstellen
Hochpunkt (lokales Maximum):
a < b und f(a) < f(b)
a > b und f(a) < f(b)
(alle y-Werte links und rechts vom Hochpunkt sind kleiner als f(b))

Tiefpunkt (lokales Minimum):
a < b und f(a) > f(b)
a > b und f(a) > f(b)
(alle y- Werte links und rechts vom Tiefpunkt sind größer als f(b))

globales Extremum : Höchster oder tiefster Punkt in der Definitionsmenge Df.
Liegt eine lokale Extremstelle vor, gilt f‘(x)=0.

Da durch die 1.Ableitung die Steigung der Tangente beschrieben werden kann.

Notwendige Bedingung :
Wir wissen:
Wenn an der Stelle x ein Extremwert vorliegt, dann ist f‘(x) = 0.
Wenn f‘(x)=0, dann liegt nicht notwendigerweise ein Extremwert vor. Es könnte sich auch um einen Sattelpunkt handeln.


Hinreichende Bedingung für Extremstellen :
x ist Hochpunkt: f‘(x)= 0 und f‘‘(x)< 0
x ist Tiefpunkt: f‘(x)= 0 und f‘‘(x)> 0

Die Tangente ist bei einer Extremstelle immer waagrecht.
 
3.2 Monotonie
Eine Funktion f ist im Intervall I:

Streng monoton steigend, wenn f‘(x)> 0 für alle x aus I
Streng monoton fallend, wenn f‘(x) < 0 für alle x aus I

 
3.3 Aufgaben
1)


2) Berechne die lokalen Extrema der Funktion f(x)=x3-3x2+4 und untersuche das Monotonieverhalten!

3)

Hier sind die Lösungen!
 
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