| Dieser Crashkurs soll ein Gefühl dafür vermitteln, was eine
Gleichung ist, wie einfache (lineare und quadratische)
Gleichungen gelöst werden können.
Vertiefend wird eine graphische Methode besprochen, die es erlaubt,
Näherungslösungen komplizierterer Gleichungen zu finden. Lernenden,
die etwas über Gleichungen erfahren (oder wiederholen) wollen,
wird empfohlen, sich - auch an Stellen,
an denen es nicht ausdrücklich vorgeschlagen wird
- selbständig und regelmäßig
(auf dem Papier oder am Computer) Notizen über das Gelernte zu machen. |
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Hilfe |
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1. Was Sie bisher über Gleichungen wissen
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Schreiben Sie in Ihren eigenen Worten auf, was Sie bisher über
Gleichungen wissen. Wie würden Sie die Frage "Was ist eine Gleichung?"
beantworten? Was fällt Ihnen zu den Stichworten "eine Gleichung lösen"
und "Lösung einer Gleichung" ein?
Wiederholung, Eintrag in das Lerntagebuch
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2. Ein konkretes Problem
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"Gibt es Zahlen, die doppelt so groß sind wie ihr Quadrat? Wenn ja, welche?"
Stellen Sie sich vor, Sie finden dieses Problem auf der Rätselseite
einer Zeitung und können viel Geld gewinnen, wenn Sie es lösen
- wie gehen Sie vor?
Aufgabe, Eintrag in das Lerntagebuch
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7. Quadratische Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#QuGl
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Lesen Sie den Text des Abschnitts "Quadratische Gleichungen" dieses Kapitels
der Mathematischen Hintergründe.
(Die beiden zugehörigen Applets und den
Unter-Abschnitt "Der Vietasche Satz" können Sie auslassen. Auf eines der
beiden Applets werden wir später zurückkommen).
Das wichtigste in diesem Abschnitt ist die "kleine Lösungsformel":
- Wenn Sie sie verstehen wollen, lesen Sie den Beweis durch.
- Um sie anwenden zu können, müssen Sie nur ein bisschen
üben!
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Lernstoff
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8. Noch einmal: ein konkretes Problem
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Kehren Sie zum Lernschritt 2 ("Ein konkretes Problem")
zurück und sehen Sie sich an, was Sie dazu ins Lerntagebuch geschrieben haben.
Wie würden Sie es im Lichte des bisher Gelernten behandeln?
Können Sie es in eine Gleichung verwandeln und diese lösen?
Tipp: es gibt zwei Lösungen!
Aufgabe, Eintrag in das Lerntagebuch
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9. Quadrate
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Gibt es Zahlen, deren Quadrat 4 ist? Wenn ja, welche?
Tipp: es gibt zwei solche Zahlen.
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11. mathe online Funktions-Plotter
http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html
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Nun besprechen wir eine graphische Lösungsmethode für
Gleichungen. Wenn Sie in dieses Tool einen Ausdruck, der das Symbol
x enthält, eingeben
(zum Beispiel x^2+2*x-2)
und auf "Zeichnen" klicken, so entsteht eine
Kurve. (Sie stellt einen "Funktionsgraphen" dar, obwohl es auf diesen
Namen nicht ankommt).
Zu jedem (horizontal abzulesenden) Wert von x
wird (vertikal) der Wert des eingegebenen Ausdrucks für dieses
x dargestellt. Jeder Schnittpunkt der
auf diese Weise entstandenen Kurve mit der (horizontalen) Null-Linie (der "x-Achse")
stellt eine Lösung der Gleichung
eingegebener Ausdruck = 0
dar.
Auf diese Weise können Sie auch kompliziertere als die bisher gelernten
Gleichungen lösen - wenn auch nur
näherungsweise. Lösen Sie mit dieser Methode die Gleichung
x3 + x - 1 = 0
(eine "Gleichung dritter Ordnung") näherungsweise!
(Tipp: Geben Sie den Ausdruck x^3+x-1
ein und lesen Sie ab, wo die Kurve die
x-Achse schneidet).
Vertiefung
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13. Gleichungen lösen
http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/solvepoly.html
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Mit Hilfe dieses Werkzeugs können Sie einfache Gleichungen online lösen.
Versuchen Sie, damit vertraut zu werden, indem Sie einige Gleichungen
Ihrer Wahl eingeben.
Benutzen Sie es auch in Zukunft, wenn Sie sich die Rechnung auf einem
Blatt Papier ersparen wollen!
Kennenlernen eines Werkzeugs, Eintrag in das Lerntagebuch
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14. Ihre eigene Zusammenfassung des Gelernten
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Lesen Sie die Lerntagebuch-Einträge, die Sie im Zusammenhang mit
den Lernschritten 1 und 3
("Was Sie bisher über Gleichungen wissen" und "Exkurs: Gleichungen - ein erster Überblick")
geschrieben haben, noch einmal durch.
Schreiben Sie nun erneut zusammen, was Sie über Gleichungen wissen und
was noch unklar ist.
Eintrag in das Lerntagebuch
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