Größere Schriftzeichen   

Beweis von (9) für Verbundereignisse:

Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse:
Sind A und B statistisch voneinander unabhängig, so gilt

p(A und B)  º  p(A Ç B)  º  p(A Ù B)  =  p(A) p(B).

  (9)

Beweis für den Fall, dass A Ç B ein Verbundereignis ist:

Sind A und B Ereignisse, die zu verschiedenen und voneinander unabhängigen Zufallsexperimenten gehören, so ist A Ç B ein Verbundereignis. Diesen Fall wollen wir betrachten.
Beweisidee: Da der genauere Beweis ein bisschen formal ist, die zugrunde liegende Idee aber sehr einfach, geben wir zuerst eine intuitive Argumentation anhand eines Beispiels. Es wird gewürfelt (mögliche Versuchsausgänge: eine Augenzahl zwischen 1 und 6) und gleichzeitig eine Münze geworfen (mögliche Versuchsausgänge: "Kopf" und "Zahl"). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig "Augenzahl 6" und "Kopf" zu erhalten?
  • Unter einer großen Zahl von Durchgängen dieses Experiments wird (ungefähr) ein Sechstel die Augenzahl 6 ergeben.
  • Von diesen wird wiederum (ungefähr) die Hälfte den Ausgang "Kopf" ergeben.
  • Insgesamt wird also (ungefähr) ein Zwölftel aller Versuche zum gewünschten Resultat führen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Augenzahl 6 und Kopf" ist daher 1/12. Auf diese Weise kommt die Multiplikation ins Spiel: 1/12 = (1/6) mal (1/2).
Nun der genauere Beweis: Dazu erinnern wir uns an die Definition der Wahrscheinlichkeit, Formel (3) weiter oben in diesem Kapitel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die für eine gegen unendlich strebende Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit seines Eintretens.

Stellen wir uns also eine sehr große Zahl n von Durchgängen des Zufallsexperiments vor. Jeder Durchgang besteht darin, dass die beiden Teil-Zufallsexperimente unabhängig voneinander durchgeführt werden. Betrachten wir sie zuerst getrennt voneinander: Bei wie vielen Durchgängen werden A und B gleichzeitig eintreten? Wir beantworten diese Frage durch einen Trick: Wir betrachten nur jene Versuchsausgänge, bei denen im ersten Teil-Zufallsexperiment A eintritt. Es handelt sich dabei um r Durchgänge. Vom Standpunkt des zweiten Teil-Zufallsexperiments handelt es sich dabei um r Durchgänge, die unbeeinflusst vom Ausgang des ersten ablaufen. Ist n sehr groß (und ist p(A) ¹ 0, damit A überhaupt eintreten kann - der Fall p(A) = 0 ist trivial und braucht nicht weiter betrachtet zu werden), so ist auch r sehr groß. Wenden wir die obige Definition der Wahrscheinlichkeit nun für das zweite Teil-Zufallsexperiment an, wobei wir nur diese Auswahl von r Durchgängen zugrunde legen: Die relative Häufigkeit des Eintretens von B unter diesen r Durchgängen ist (annähernd) gleich der Wahrscheinlichkeit p(B). B tritt daher (annähernd) p(B)r mal ein, und so oft treten vom Standpunkt des gesamten Zufallsexperiments betrachtet A und B gleichzeitig ein. Daraus folgt: Die relative Häufigkeit des gleichzeitigen Eintretens von A und B (d.h. des Ereignisses A Ç B) ist (annähernd) p(B)r/n.

Im Grenzfall einer gegen unendlich strebenden Anzahl von Versuchsdurchgängen strebt Andererseits strebt p(B)r/n wegen der ersten dieser Beobachtungen gegen p(A) p(B). Daher ist p(A Ç B) = p(A) p(B), womit (9) bewiesen ist.