Umfahrungsstraße - falls Sie mit Winkelfunktionen nicht vertraut sind

Umfahrungsstraße - falls Sie mit Winkelfunktionen nicht vertraut sind:

In unserem Kapitel tritt in Gleichung

ab = |a| |b| cosq

(6)

zum ersten Mal eine Winkelfunktion (der "Cosinus") auf. Für unsere Zwecke besteht das Wichtigste an dieser Formel darin, uns zu zeigen, dass die Rollen von a und b im Skalarprodukt vertauscht werden können, d.h. dass das Skalarprodukt symmetrisch ist:

ab = ba

Das ist die auf (6) folgende Gleichung (7). Lesen Sie hier,

wie die Symmetrie des Skalarprodukts auch ohne Kenntnis der Winkelfunktionen begründet werden kann, und,
falls es sie interessiert, was Sie sich unter dem Ausdruck cosq vorstellen sollen.

Symmetrie des Skalarprodukts:

Behandeln wir zuerst den Fall, dass a und b einen spitzen Winkel einschließen. Wenn - gemäß der Definition des Skalarprodukts - der Vektor b in die Richtung von a projiziert wird, verkürzt er sich um einen gewissen Faktor k, d.h. es gilt
b' = k |b|.
Wann immer eine solche Projektion stattfindet, liegt eine geometrische Situation der folgenden Art vor:

Eine Strecke der Länge L entlang einer Geraden wird auf eine andere Gerade projiziert. Sie können sich die Projektion als einen Schatten vorstellen, wobei das Licht normal zu der Geraden einfällt, auf die projiziert wird. Der Verkürzungsfaktor k hängt nur vom Winkel q, den die beiden Geraden einschließen, ab.

Es folgt also, dass

ab = k |a| |b|

wobei k nur vom Winkel q, den die beiden Vektoren einschließen, abhängt. Damit ist die Symmetrie des Skalarprodukts (für spitze Winkel) gezeigt.

Sie können die Sache auch so durchdenken: Was geschieht, wenn die Rollen der beiden Vektoren vertauscht, d.h. das Skalarprodukt ba gebildet wird? In diesem Fall wird a in die Richtung von b projiziert. Dabei tritt derselbe Faktor k auf (denn der Winkel zwischen den beiden Vektoren hat sich durch den Rollentausch ja nicht geändert):
a' = k |a|,
woraus sich wieder ab = k |a| |b| ergibt.

Schließen die beiden Vektoren einen stumpfen Winkel ein, so kommt im Skalarprodukt ein zusätzliches Minuszeichen hinzu, aber der Rest der Argumentation, der den Verkürzungsfaktor betrifft, bleibt gleich:

Ein interessanter Fall tritt ein, wenn a und b aufeinander normal stehen: Dann kollabiert der Schatten zu einem Punkt, und der Verkürzungsfaktor ist k ist 0.

Was Sie sich unter cosq vorstellen können:

Der Cosinus eines Winkels ist der Verkürzungsfaktor k, der bei Projektionen der obigen Art auftritt!

Es handelt sich dabei lediglich um eine Abkürzung, deren Notwendigkeit daher rührt, dass sich dieser Faktor für einen gegebenen Winkel im Allgemeinen nicht durch elementare Rechenoperationen ermitteln lässt. Um dennoch eine mathematische Bezeichnung für ihn zur Verfügung zu haben, wird er cosq (Cosinus von Theta) genannt, womit auch seine Abhängigkeit vom Winkel zum Ausdruck gebracht wird. Die numerische (näherungsweise) Berechnung wird üblicherweise einem Rechner überlassen - wahrscheinlich besitzt auch Ihr Taschenrechner eine cos-Taste.