Beweis von (20) - Flächeninhalt des Parallelogramms

Beweis von (20) - Flächeninhalt des Parallelogramms:

A = (a² b² - (ab)²)^1/2

(20)

Für den Flächeninhalt des Parallelogramms verwenden wir die Formel
A = Länge der Grundlinie × Höhe
und machen folgende Skizze:

Die Länge der Grundlinie ist |a|. Das Quadrat der Höhe ergibt sich aus dem pythagoräischen Lehrsatz zu h² = |b|² - b'². Diese Beziehung gilt auch dann, wenn a und b einen stumpfen Winkel einschließen. (In diesem Fall ist b' < 0, sein Quadrat aber positiv). Das Quadrat der Parallelogrammfläche ist daher

A² = |a|² (|b|² - b'²)

= |a|² |b|² - (b' |a|)²

= a² b² - (ab)²

wobei wir im letzten Schritt die geometrische Definition des Skalarprodukts benutzt haben. Durch Wurzelziehen folgt (20).