Vektorprodukt - Rechengesetze

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Vektorprodukt - Rechengesetze:

Zwei der angegebenen Rechengesetze erfordern eine genauere Begründung:

(ra)Ùb = aÙ(rb) = r aÙb, d.h. ein Skalar r kann aus dem Vektorprodukt herausgezogen werden.

Beweis:
Wird b durch rb ersetzt, so ändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms um den Faktor |r|:

Weiters ist rb parallel zu b, daher ändert sich die Richtung des Vektorprodukts nicht. Ist r negativ, so sorgt die Rechtsschraubenregel für das richtige Vorzeichen.
Wird a durch ra ersetzt, ist die Argumentation völlig analog, womit die Behauptung bewiesen ist.
aÙ(b + c) = aÙb + aÙc und (a + b)Ùc = aÙc + bÙc, d.h. das Vektorprodukt eines Vektors mit einer Summe ist die Summe der Vektorprodukte.

Beweis:
Ersetzen wir b durch b + c, so wird die Sache komplizierter. Betrachten wir zuerst den Fall, dass a, b und c linear abhängig (koplanar) sind und die Vektorprodukte aÙb und aÙc in die selbe Richung zeigen (d.h. nicht entgegengesetzt gerichtet sind). In diesem Fall können wir die drei Vektoren zeichnen, und ihre Lage sieht so aus:

Die Fläche des von a und b + c aufgespannte Parallegogramms besteht aus zwei Teilen, die blau und grün dargestellt sind. Wir deformieren den blauen Teil der Fläche so, dass ihr Inhalt gleich bleibt,

und machen dann dasselbe mit dem grünen Teil der Fläche:

Auf diese Weise erkennen wir, dass der gesamte Flächeninhalt gleich der Summe der Inhalte des a-b-Parallelogramms (blau) und des a-c-Parallelogramms (grün) ist. Alle Vektorprodukte aÙb, aÙc und aÙ(b + c) zeigen in dieselbe Richtung (sie weisen "nach oben" normal aus der Zeichenebene der obigen Diagramme heraus), womit die Behauptung aÙ(b + c) = aÙb + aÙc für diese relative Lage der Vektoren bewiesen.

Falls die Vektorprodukte aÙb und aÙc in einander entgegengesetzte Richungen zeigen, sieht die Situation so aus:

Dann ist der Flächeninhalt des von a und b + c aufgespannte Parallegogramms (grau) nun eine Differenz (hervorgehobene Gesamtfläche - gelbe Fläche). Wir verfahren nun mit der Gesamlfläche und der gelben Fläche so wie oben und berücksichtigen, dass aÙb + aÙc die Summe zweier Vektoren ist, die in einander entgegengesetzte Richtungen zeigen. (Der erste weist nach "oben", der zweite nach "unten" aus der Zeichenebene heraus). Das entspricht ebenfalls der Differenz unserer Flächen und nicht ihrer Summe, womit die Behauptung aÙ(b + c) = aÙb + aÙc auch für diesen Fall bewiesen ist.

Aus Symmetriegründen - konkreter: aus der Antisymmetrie des Vektorprodukts - ist dann auch (a + b)Ùc = aÙc + bÙc für den Fall, dass alle drei Vektoren koplanar sind, bewiesen.

Der allgemeine Fall ist geometrisch vertrackter und erfordert eine Rechnung. Sie verlieren nicht viel, wenn Sie diesen Teil des Beweises auslassen. Für den Fall, dass er Sie aber dennoch interessiert, führen wir ihn hier vor:

Im allgemeinen Fall weist c aus der Ebene, in der a und b liegen, heraus. Ein solcher Vektor kann immer als Summe
c = c₀ + n
geschrieben werden, wobei c₀ in der a-b-Ebene liegt und n auf sie normal steht. (Gehen Sie vom gemeinsamen Schaft aller Vektoren zu jedem Punkt der Ebene, der der Spitze von c am nächsten liegt - das ist c₀ -, und dann weiter zur Spitze von c - das ist n). Wenn wir nun beweisen können, dass
aÙ(b + n) = aÙb + aÙn
für den Fall gilt, dass n auf a und b normal steht, so folgt aus dieser, gemeinsam mit der oben bereits bewiesenen Regel für koplanare Vektoren, dass die Behauptung aÙ(b + c) = aÙb + aÙc für beliebige Vektoren gilt (und die andere Behauptung (a + b)Ùc = aÙc + bÙc folgt dann aus der Antisymmetrie des Vektorprodukts).

Sehen wir uns also den diesen verbleibenden Fall an: Für ihn empfiehlt es sich, eine Rechnung anzustellen. Da, wie bereits bewiesen, ein Skalar aus dem Vektorprodukt herausgezogen werden darf, genügt es, die Regel für den Fall zu zeigen, dass a ein Einheitsvektor ist. Da es nur auf die relativen Richtungen der Vektoren zueinander ankommt, legen wir a und b in die xy-Ebene und legen a entlang der x-Achse: a = (1, 0, 0), b = (b₁, b₂, 0). Dann muss n parallel zur z-Achse gewählt werden: n = (0, 0, n). Der Einfachheit halber betrachten wir nur den Fall, dass b₁ und b₂ positiv sind. (Die anderen Fälle sind analog zu behandeln). Als Folge (Rechtsschraubenregel) zeigt aÙb dann in die positive z-Richtung.

Drei Vektoren sind nun zu berechnen: aÙ(b + n), aÙb und aÙn. Gemäß Definition stehen sie alle normal auf a, liegen daher in der yz-Ebene.
- aÙ(b + n):
  Wir machen für ihn den Ansatz (0, r, s). Da dieser Vektor auch normal auf k º b + n = (b₁, b₂, n) stehen muss, gilt r b₂ + s n = 0. Die Fläche des von a und k aufgespannten Parallelogramms berechnen wir mit Hilfe der früher in diesem Kapitel hergeleiteten Formel (20), die nun die Form
  
  A = (a² k² - (ak)²)^1/2
  
  annimmt, zu (b₂² + n²)^1/2. Daher muss r² + s² = b₂² + n² gelten. Aus den beiden Gleichungen, die wir jetzt für r und s besitzen, folgt durch Aufösen r² = n² und s² = b₂², daher |r| = |n| und |s| = b₂. Jetzt benötigen wir noch die Richtung: Nach der Rechtsschraubenregel weist unser gesuchter Vektor immer in den oberen Halbraum, hat daher eine positive dritte Komponente. Damit wird s = b₂ und als Folge, unter nochmaliger Benutzung der Gleichung r b₂ + s n = 0, r = -n₂.
  Unser Ergebnis lautet daher: aÙ(b + n) = (0, -n, b₂).
- aÙb:
  Dieser Vektor ist zeigt in die positive z-Achse. Sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, der sich in diesem einfachen Fall als b₂ ("Grundlinie mal Höhe!") herausstellt.
  Daher ist aÙb = (0, 0, b₂).
- aÙn:
  Dieser Fall ist leicht, da die beiden Vektoren aufeinander normal stehen: Die direkte Anwendung der Definition des Vektorprodukts ergibt:
  aÙn = (0, -n, 0).
Sehen wir uns diese drei Vektoren noch einmal an, so ergibt sich, dass sie tatsächlich die Identität aÙ(b + n) = aÙb + aÙn erfüllen. Damit ist der Rest des Beweises auch erledigt.