Einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
Für jedes n kann k alle ganzzahligen Werte zwischen 0 und n annehmen. Da am
Rand des Pascalschen Dreiecks nur Einser stehen, gilt für alle n
Der jeweils nächste Koeffizient (und der jeweils vorletzte) jeder Zeile des
Pascalschen Dreiecks ist n, was
zur Folge hat.
Vielleicht haben Sie schon bemerkt, daß mehrere der Koeffizienten gleich sind.
Genauer gesagt, gilt,
was einfach die Tatsache ausdrückt, daß das Pascalsche Dreieck symmetrisch ist.
(Das kommt letztlich daher, daß sich am Term a + b nichts ändert, wenn a und
b vertauscht werden. Daher müssen die Koeffizienten dieselben bleiben, wenn die
ausmultiplizierten Ausdrücke für (a + b)n in umgekehrter Reihenfolge
angeschrieben, d.h. nach fallenden Potenzen von b geordnet werden).
Nun läßt sich auch die so bestechend einfache
Konstruktionsvorschrift des Pascalschen Dreiecks in eine Formel fassen:
für n ³ 2 und 1 £ k £ n - 1.
Sie drückt genau die Regel aus, daß der Wert eines Koeffizienten im
Pascalschen Dreieck die Summe der beiden schräg über ihm stehenden ist!
Setzen Sie n = 4 und k = 2 in diese Formel ein und finden Sie heraus,
welche drei Zahlen im Pascalschen Dreieck sie betrifft!