Hinweise...
...zu den Spezialfällen für den Cosinussatz:
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(9 ') |
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(9'') |
- Da cos(90°) = 0
ist, folgt: Ist einer der Winkel ein rechter, so reduziert sich diejenige Formel, die seinen Cosinus enthält,
auf den Satz von Pythagoras.
Ist etwa g = 90°, so wird (9)
zur Aussage c2 = a2 + b2.
Worauf reduzieren sich in diesem Fall die Beziehungen (9') und
(9'')?
Hinweise:
- Benutzen Sie c2 = a2 + b2
in (9') und
(9'') und
- sehen Sie sich die Definitionen von Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen
Dreieck (Kapitel Winkelfunktionen) noch einmal an!
- Eine interessante Folgerung ergibt sich auch, wenn wir den Grenzfall eines
"zusammengeklappten" (oder "ausgearteten") Dreiecks betrachten, in dem einer der Winkel 0 ist.
Setzen wir etwa g = 0 und verwenden
cos0 = 1,
so reduziert sich (9) auf die Aussage c2 = (a - b)2.
Können Sie interpretieren, was das bedeutet?
Worauf reduzieren sich die Beziehungen (9') und
(9'')?
Hinweise:
- g = 0 bedeutet, dass alle drei Seitenlinien auf einer Geraden liegen.
Machen Sie eine Skizze!
- Es können drei Fälle auftreten:
- a = b, daher
c = 0
- a > b
- a < b
- c2 = (a - b)2 bedeutet
für die drei obigen Fälle
- 0 = 0
- c = a - b, d.h. c + b = a
- c = b - a, d.h. c + a = b
- In diesen drei Fällen treten (neben g = 0) folgende Winkel auf:
- a und b sind unbestimmt. (Warum?)
Sie treten
aber in (9') und
(9'')
nicht auf. (Warum?)
- a = 180°, b = 0°
- a = 0°, b = 180°
- Nun sollten Sie mit allem Nötigen ausgerüstet sein, um
(9') und
(9'')
für die drei obigen Fälle anschreiben zu können.