Beweis von (24) - Variablensubstitution im unbestimmten Integral:
ò
f(x) dx
=
ò
f(x(u)) x'(u) du ,
(24)
wobei auf der rechten Seite nach der Berechnung u
durch u(x) zu ersetzen ist.
Beweis:
Wir rechnen die rechte Seite von (24) genauer aus und zeigen, dass sie
(bis auf eine Integrationskonstante) gleich der linken Seite ist.
Dazu bezeichnen wir die (genauer: eine) Stammfunktion von f mit
F. Damit ist
F ' = f, und
der Integrand auf der rechten Seite von (24) lässt sich als
F '(x(u)) x'(u)
schreiben.
Nach der Kettenregel, die wir im Kapitel
Differenzieren 1
kennen gelernt haben, ist das aber genau
d
du
F(x(u)) .
Somit wird die rechte Seite von (24) - bis auf
eine Integrationskonstante, die wir uns schenken - zu
ò
d
du
F(x(u)) du = F(x(u)) .
Wird u
durch u(x) ersetzt
(oder, was auf dasselbe hinausläuft,
x(u) durch
x), so entsteht genau
F(x).
Damit ist (24) bewiesen.