Die exakte Argumentation ist im Grunde sehr einfach.
Sei x festgehalten und
(xn)
eine Folge reeller Zahlen (alle
¹ x),
die gegen x konvergiert.
Dann berechnen wir die Folge der Differenzenquotienten
f(xn)
- f(x)
xn -
x
=
xn2
- x2xn
- x
=
xn
+ x
.
Klarerweise existiert deren Grenzwert für n ® ¥
und ist gleich 2x.
Wichtig ist, dass das für jede derartige Folge (xn)
gilt.
Damit ist die Differenzierbarkeit der Funktion
f(x) = x2
bewiesen und ihre Ableitung (an jeder Stelle) berechnet.