Beweis von (3) und (4):
Sei f zweimal stetig
differenzierbar und
x eine
Lösung der Gleichung f '(x)
= 0. Ist
so ist x eine lokale Maximumstelle.
Ist
so ist x eine
lokale Minimumstelle.
Beweis:
Wir beweisen zuerst (3).
Da laut Voraussetzung f ''
stetig ist, gilt (3) nicht nur an der Stelle
x, sondern auch in einer
Umgebung von x.
Das bedeutet, dass
f '
in dieser Umgebung streng monoton fallend ist. (Diesen Zusammenhang zwischen
der Ableitung und den Monotonieeigenschaften haben wir im Kapitel
Differenzieren 1
diskutiert).
Wegen (3) ist
f '
links von x
positiv und
rechts von x
negativ. Gemäß unserer Definition der lokalen Extrema ist
x eine
lokale Maximumstelle.
Der Beweis von (4) ist fast wortwörtlich identisch mit jenem
von (3).
Formulieren Sie ihn als Übungsaufgabe!
Die Logik dieser Beweise kann zum besseren Verständnis graphisch dargestellt werden.
Nehmen wir an, dass (4) gilt. Die folgenden Skizzen zeigen den typischen Verlauf
der Graphen von f,
f ' und
f ''
in der Nähe der Stelle x:
Wir können nun den Beweis von (4) von unten nach oben lesen:
- Ist f ''(x) > 0,
so ist die Ableitung von f '
an der Stelle x positiv, d.h. der Graph
von f ' steigt
in einer Umgebung von x an.
- Daher ist f '
links von x negativ und
rechts von x positiv.
- Das bedeutet, dass f
links von x abfällt und
rechts von x ansteigt.
Die Stelle x muss daher eine
lokale Minimumstelle sein.