Diese Lernhilfe soll das Verständnis dafür, was unter einer linearen
(genauer: linear-homogenen) Abhängigkeit, d.h. einer linearen Abbildung
(in zwei reellen Dimensionen) verstanden wird, stärken, und zwar
durch eine in diesem Zusammenhang neue Visualisierungsform,
die von algebraischen Umformungen
und von der üblichen geometrischen Deutung weitgehend unabhängig ist.
- Sie betont die Tatsache, dass die Werte zweier Variablen
- die beide vorzugeben sind -
zu den Werten zweier anderer Variablen führt.
Eine Veränderung etwa des Werts von x führt (im Allgemeinen)
zu einer Veränderung von
x' und
y'.
- Sie kann helfen, den Begriff der Linearität und seine Folgen besser zu verstehen:
So kann die Matrix (die die Abbildung vollständig bestimmt) durch eine
kleine Zahl von Ablesungen ermittelt werden.
Über die gestellten Aufgaben hinaus kann die Idee der Linearität in zwei Variablen
näher untersucht werden. Sie ergibt sich aus drei Eigenschaften:
- Jede der beiden abhängigen Variablen verhält sich
für festgehaltenes y als
linear(-inhomogen)e Funktion von x,
d.h. wächst (oder fällt) bei gleichen Änderungen von x
und den gleichen Betrag.
- Jede der beiden abhängigen Variablen verhält sich
für festgehaltenes x als
linear(-inhomogen)e Funktion von y,
d.h. wächst (oder fällt) bei gleichen Änderungen von y
und den gleichen Betrag.
- x = y = 0 führt zu
x' = y' = 0.
Zuletzt sei erwählt, dass die in der linearen Algebra üblichen Schreibweisen,
z.B. die "Anwendung einer Matrix auf einen Vektor", die Bedeutung dieser
"Anwendung" als Funktion in den Hintergrund drängen.
So wird es Lernenden unter Umständen nicht leicht fallen,
das Resultat der "Anwendung auf den Einheitsvektor (1, 0)"
abzulesen.
Die hier zu lösenden Aufgaben helfen, diese Bedeutung klarzustellen bzw.
wieder in Erinnerung zu rufen.
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