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Exkurs: Was ist eine Funktion?

Inhalt:

- Funktionen als Input-Output-Maschinen
- Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil
- Schreibweise mit "von"-Klammer
- Funktionen, ganz allgemein definiert

Funktionen als Input-Output-Maschinen
Funktionen (auch Abbildungen genannt) gehören zu den wichtigsten mathematischen Objekten überhaupt. Nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern in in nahezu allen Anwendungen spielen sie eine unverzichtbare Rolle. Diese universelle Anwendbarkeit rührt daher, daß die dahintersteckende Idee eine sehr einfache und schöne ist.

Was also ist eine Funktion? Unter einer Funktion kann man sich eine Input-Output-Maschine (Eingabe-Ausgabe-Maschine) vorstellen. Sie nimmt ein Ding als Eingabe entgegen und gibt daraufhin ein Ding aus. Und das macht sie nach einer genauen (eindeutigen) Vorschrift - gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben. Das ist alles!

"Ding" bedeutet vorläufig für uns "Zahl". Eine Funktion ist also für uns zunächst eine Maschine, die aus einer Eingabe-Zahl eine Ausgabe-Zahl macht. Hier haben wir eine solche Maschine:

| ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!

Geben Sie eine Zahl ein und klicken Sie auf den Button! Geben Sie eine andere Zahl ein und klicken Sie wieder auf den Button! Bevor Sie weiterlesen, wiederholen Sie das öfter und versuchen Sie, herauszufinden, was diese Maschine mit den von Ihnen eingegebenen Zahlen macht!

Sie werden sicher nicht lange brauchen, um es herauszufinden: Die Maschine quadriert die Eingabe-Zahl! Es ist eine Quadrier-Maschine. Sie stellt die Idee dar, daß jeder Zahl x ihr Quadrat x2 zugeordnet wird. Ihre Zuordnungsvorschrift heißt schlicht und einfach "quadrieren". Dadurch ist eine Funktion definiert. Wir könnten sie "Quadrier-Funktion" nennen.

Die Zuordnung ist eindeutig: Gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben, wie wir schon oben gesagt haben. Man könnte nun umgekehrt fragen, ob aus der Ausgabe auf die Eingabe rückgeschlossen werden kann. Wenn die Ausgabe die Zahl 4 ist - was war die Eingabe? Wenn Sie jetzt sagen "die Zahl 2", so haben Sie nicht ganz recht - es könnte auch -2 gewesen sein! Der Rückschluß auf die Eingabe ist also nicht zwangsläufig möglich! Die zwei Zahlenfelder in unserer Quadrier-Maschine sind nicht "gleichberechtigt". Wenn wir wissen, was im linken (Eingabe-)Feld steht, wissen wir, was im rechten (Ausgabe-)Feld steht (nämlich das Quadrat der Eingabe), aber aus der Kenntnis der Ausgabe folgt nicht notwendigerweise die Kenntnis der Eingabe. Funktionen arbeiten daher in einer "Richung":

Eingabe ® Ausgabe

und diese Richtung ist auch in der obigen Maschine durch einen Pfeil gekennzeichnet.

Nun betrachten wir eine andere Maschine:

| ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!

Was macht diese Maschine mit Ihren eingegebenen Zahlen? Bevor Sie weiterlesen, versuchen Sie, es herauszufinden!

Haben Sie es geschafft? Die Maschine verdoppelt die Eingabe-Zahl und subtrahiert 1. Die Zuordnungsvorschrift heißt jetzt "verdoppeln und 1 subtrahieren". Wir haben es hier mit der "Verdoppeln-und-1-subtrahieren-Funktion" zu tun, und Sie sehen sicher ein, daß es jetzt besser ist, eine abgekürzte Schreibweise zu verwenden, um zu beschreiben, was unsere Maschinen tut. Sie stellt einfach die Idee dar, daß jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zugeordnet wird.

Wir haben bisher zwei Funktionen betrachtet:

- Die erste ordnet jeder Zahl x die Zahl x2 zu,
- die zweite ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu.

Das ist jetzt schon eine einigermaßen kurze Beschreibung. Wir wollen aber auch diese Zeilen nicht jedesmal hinschreiben, wenn wir von den beiden Funktionen sprechen, und so geben wir ihnen einfach - irgendwelche - Namen! Nennen wir die erste Funktion f und die zweite Funktion g. Wir können also sagen:

- Die Funktion f ordnet jeder Zahl x die Zahl x2 zu,
- die Funktion g ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu.

Was jetzt passiert, ist gar nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick vielleicht aussieht: In der Mathematik sind zwei noch kürzere Schreibweisen üblich, um Funktionen zu charakterisieren. Die
Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil
besteht darin, nach dem Namen der Funktion einen Doppelpunkt zu machen und die Zuordnungsvorschrift mit einem Pfeil zu kennzeichnen:

f : x ® x2
| (1)

Logisch gesehen ist das derselbe Pfeil, der sich auf der obigen "Quadrier-Maschine" befindet. Sprechen Sie ihn als "wird zugeordnet" aus! Damit können wir die Quadrier-Maschine - die ja nun schlicht und einfach f heißt - ordentlich beschriften:

f : x ® x2 | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!

Jetzt ist eindeutig zum Audruck gebracht, was sie macht (oder, wie man auch sagt, wie die Funktion wirkt) - sie quadriert. Im Eingabefeld steht eine beliebig vorgegebene Zahl x, im Ausgabefeld deren Quadrat x2.

In derselben Weise wird die Wirkung der Funktion g kurz als

g : x ® 2 x - 1
| (2)

angeschrieben, und die zugehörige beschriftete Funktionsmaschine sieht nun so aus:

g : x ® 2 x - 1 | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!

Mit Hilfe dieser kleinen zusätzlichen Beschriftung können Sie nun viel besser kontrollieren, welche Ausgaben Sie erwarten: Setzen Sie ihre Eingabe-Zahl x in den Ausdruck 2 x - 1 ein, bevor sie klicken! Versuchen Sie es mit ein paar Eingaben! Geben Sie zum Beispiel 0 ein, so resultiert -1, da 2 × 0 - 1 = -1 ist.

Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, daß hier von einer beliebigen Eingabe-Zahl ausgegangen wird und gemäß einer gewissen Vorschrift eine Ausgabe erfolgt. Es gibt auch gar keinen zwingenden Grund, die Eingabe-Zahl unbedingt mit dem Buchstaben x zu bezeichnen. So kann die Funktion f anstelle von (1) etwa auch in der Form

f : t ® t2
| (3)

definiert werden. Sprachlich bedeutet das: Die Funktion f ordnet jeder Zahl t die Zahl t2 zu. Das ist genau dieselbe "Quadrier-Vorschrift" wie (1). Und anstelle von (2) können wir die Funktion f genausogut durch

g : u ® 2 u - 1
| (4)

beschreiben. Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, was mit der Eingabe-Zahl geschieht. Der Buchstabe oder das Symbol, mit der diese bezeichnet wird, ist dabei völlig belanglos! (Im Englischen wird so ein Symbol als dummy variable bezeichnet, im Deutschen nennt man es manchmal Platzhaltervariable.)

Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil kann auch angewandt werden, um anzuschreiben, was mit konkreten Eingabe-Zahlen unter der Wirkung einer Funktion geschieht, z.B. im Fall der Funktion f

f : 2 ® 4
3 ® 9
-3 ® 9

wobei der Funktionsname nur dann angegeben werden muß, wenn ansonsten die Gefahr der Verwechslung mit einer anderen Funktion besteht.

Neben der Schweibweise mit Zuordnungs-Pfeil ist eine weitere Notation gebräuchlich, die in der Praxis sogar noch nützlicher ist.

Schreibweise mit "von"-Klammer
Betrachten wir wieder die Funktion f : x ® x2, die die Eingabe-Zahl quadriert. Klarerweise hängt die Ausgabe von der Eingabe ab. Sehr oft möchte man dieses Abhängigkeitsverhältnis in der Schreibweise noch einfacher zum Ausdruck bringen. Dies wird bewerkstelligt, indem die Wirkungsweise der Funktion in der Form

f(x) = x2
| (5)

angeschrieben wird. Dabei benützt man den Namen der Funktion und ein Paar runder Klammern, in das ein Symbol (hier x) für die Eingabe-Zahl gesetzt wird. Obige Zeile wird so ausgesprochen: "f von x ist gleich x2". So kann in kompakter Form ausgedrückt werden, was die Funktion f mit der Zahl 3 macht: sie führt auf f (3) (welches das Quadrat von 3, also 9 ist).

Die Zeichen "f (3)" werden als "f von 3" ausgesprochen. Daher auch unsere Bezeichnung "von"-Klammer. Diese Art von Klammern sollte nicht mit jenen verwechselt werden, die Symbole zusammenfassen. Die Klammern in (x + 1)2 haben eine ganz andere Bedeutung als die in f (3) = 9 oder in (5).

Bei dieser Schreibweise gilt allgemein das Schema

Funktionsname(Eingabe-Zahl) = Ausgabe-Zahl.

So haben wir etwa

f (2)
=
4
f (3)
=
9
f (-3)
=
9

Die Schreibweise (5), also f (x) = x2, drückt aus, daß eine beliebige Eingabe-Zahl x unter der Wirkung der Funktion f quadriert wird. Sie beschreibt die "Funktionsweise" der Maschine für alle möglichen Eingaben und leistet daher genausoviel wie die Schreibweise (1) mit Zuordnungs-Pfeil.

Der Vergleich einer Funktion mit einer Maschine ist hier besonders augenfällig: Zwischen den "von"-Klammern befindet sich, bildlich gesprochen, das Eingabefeld. Eine beliebige Zahl kann anstelle der Punkte in f (...) eingesetzt werden. Setzten wir z.B. die Zahl 12 ein, so bezeichnet f (12) das Ergebnis der Wirkung unserer Funktion f, also die Zahl 144. Folglich gilt f (12) = 144. Man sagt auch, die Funktion f wird auf die Zahl 12 angewandt (angewendet), und das Resultat (der Funktionswert) ist 144.

Wieder kommt es auf das verwendete Symbol nicht an, und wir können die Funktion f anstelle von (5) genausogut in der Form

f(s) = s2
| (6)

charakterisieren.

Um diese Schreibweise kurz zu illustrieren, stellen wir die Frage, was f ( f (3)) ist. Das ist gar nicht so schwierig: Hier wird die Funktion f auf die Zahl 3 angewandt, und danach wird f nochmals auf das Resultat angewandt. Die Ausgabe der ersten Anwendung ist f (3) = 9, daher ist f ( f (3)) = f (9) = 81.

Unsere Funktion g kann ganz analog in der Form

g(x) = 2 x - 1
| (7)

charakterisiert werden. Ein Beispiel der Anwendung dieser Funktion auf eine Zahl: g(8) = 2 × 8 - 1 = 15.

Nun wissen Sie bereits sehr viel über den mathematischen Funktionsbegriff.

Funktionen, ganz allgemein definiert
Eine Funktion ist natürlich keine "Maschine" im mechanischen Sinn, und auch kein Computerprogramm - sie besteht lediglich aus einer eindeutigen Zuordnungsvorschrift. Weiters kann es solche Vorschriften auch für andere mathematische Objekte als Zahlen geben. Ganz allgemein benötigt man für eine Funktion zwei Mengen (die wir hier A und B nennen).

Definition: Eine Funktion (auch Abbildung genannt) f "von der Menge A in die Menge B" ist eine Vorschrift, die jedem Element von A in eindeutiger Weise ein Element der Menge B zuordnet. Um auszudrücken, daß f eine solche Funktion ist, wird

f : A ® B
| (8)

geschrieben. Zusätzlich zu dieser Angabe muß die Zuordnungsvorschrift (gleichgültig, in welcher Schreibweise oder Sprache) beschrieben werden, damit klar ist, wie die Funktion auf beliebige Elemente der Menge A wirkt.

In unseren bisherigen Beispielen war A = B = R, der Menge der reellen Zahlen. [RECHTS: WH] In den meisten Fällen von Funktionen, denen wir begegnen werden, wird A (die Menge, aus der die Eingabe-Werte beliebig gewählt werden können) entweder R oder eine Teilmenge von R sein. Die Ausgabe-Werte werden meistens reelle Zahlen sein, d.h. B = R.

Nun wissen Sie im Prinzip, was eine mathematische Funktion ist. Wir haben Anwendungen und Motivationen ausgespart und statt dessen die Metapher der Input-Output-Maschine verwendet, um Ihnen einen möglichst raschen Zugang zu diesem wichtigen Begriff zu ermöglichen. Wenn Sie sich weiterhin mit der Materie beschäftigen, werden Sie die verschiedensten Funktionen kennenlernen. Sie werden erfahren, wofür man sie verwendet und wie gewinnbringend mit ihnen hantiert werden kann.