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Allgemeine Bemerkungen zur Beschreibung exponentieller Prozesse durch Exponentialfunktionen

f(x) = c ab x | (8)

- Die abhängige Variable f steht für die Größe, deren Verhalten Gegenstand des Modells ist: die Größe einer Bakterienkultur, die Intensität des durch eine Glasscheibe fallenden Lichts, usw.
- Die unabhängige Variable x steht für die Größe, in der f exponentiell zu- oder abnimmt: die verstrichene Zeit, die Eindringtiefe des Lichts in die Glasscheibe, usw.
- Die Bedeutung der Konstante c erschließt sich, indem x = 0 gesetzt wird: Wir erhalten die Aussage f(0) = c, und daher ist c der Anfangswert von f. Wir müssen für sie keinen eigenen Buchstaben verwenden, sondern können (8) auch in der Form f(x) = f(0) ab x schreiben.
- Die Konstanten a und b haben keine voneinander unabhängige Bedeutung. Es ist lediglich ihre Kombination A = ab, die zählt. Erinnern wir uns an Formel (10):

  f(x) = c ab x = c (ab)x = c Ax. | (10)

  Zwei Exponentialfunktionen vom Typ (8), die denselben Anfangswert c besitzen, und für die die Kombination ab gleich ist, sind identisch.
  Man könnte diese Mehrdeutigkeit der Darstellung eliminieren,
  - indem immer die Form (10) verwendet wird, d.h. indem im Exponenten immer nur die unabhängige Variable, aber keine zusätzliche Konstante steht (und in manchen Lehrbüchern wird das auch tatsächlich so gemacht), oder
  - indem man sich auf eine Basis (z.B. a = 2) einigt, bezüglich der alle Exponentialfunktionen dargestellt werden.
  In der Praxis sind beide Methoden gebräuchlich (beide haben Vor- und Nachteile), so dass man immer darauf gefasst sein muss, einen allgemeinen Ausdruck vom Typ (8) vorgesetzt zu bekommen.
- Die Kombination A = ab bestimmt, ob die Funktion (8) eine Zu- oder eine Abnahme beschreibt. Falls c > 0 ist (das ist der "Normalfall": die Werte der abhängigen Größe sind positiv), dann gilt:
  - Ist A > 1 (was für a > 1 und b > 0 oder für a < 1 und b < 0 der Fall ist), so nimmt f mit wachsendem x zu.
  - Ist A < 1 (was für a > 1 und b < 0 oder für a < 1 und b > 0 der Fall ist), so nimmt f mit wachsendem x ab.
  Es handelt sich hier um die Monotonie-Eigenschaften der Exponentialfunktionen. Wir werden ihnen ein bisschen weiter unten in diesem Kapitel noch einmal begegnen, und wir werden sie dort beweisen.
- Einigt man sich bei der Darstellung exponentieller Prozesse auf eine bestimmte Basis a (z.B. a = 2), so ist die exponentielle Abhängigkeit umso ausgeprägter (der Prozess umso "schneller"), je größer |b| ist. Sehen wir uns das im Detail an: Indem wir x = 1/b in (8) einsetzen, erhalten wir die Aussage f(1/b) = c a. Mit f(0) = c wird daraus f(1/b) = f(0) a. Wir schließen:
  - Ist b > 0, so bedeutet das im Klartext:
    Wird x um den Wert 1/b erhöht, so ändert sich f um den Faktor a.
  - Ist b < 0, so bedeutet es:
    Wird x um den Wert |1/b| erhöht, so ändert sich f um den Faktor 1/a.
  - Im Grenzfall b = 0 ist f die konstante Funktion; in diesem Fall tut sich gar nichts.
  Um zwei Prozesse zu vergleichen, deren Exponentialfunktionen bezüglich verschiedener Basen dargestellt sind, ist es nützlich, sich zu erinnern, dass lediglich der Wert der Kombination A = ab darüber bestimmt, wie ausgeprägt die exponentielle Abhängigkeit ist.
- Handelt es sich um exponentielle Zunahme, und wird als Basis 2 verwendet, so ist die Verdoppelungszeit des Prozesses (d.h. jene Zeitdauer, nach der sich f verdoppelt hat) durch 1/b gegeben (bzw. umgekehrt ist dann b = 1/Verdoppelungszeit).
  Auch daran erkennen wir: Je größer b ist, umso rascher steigt f zu astronomischen Höhen an.
- Handelt es sich um exponentielle Abnahme, und wird als Basis 2 verwendet, so ist die Halbwertszeit des Prozesses (d.h. jene Zeitdauer, nach der f auf die Hälfte abgesunken ist) durch |1/b| gegeben (bzw. umgekehrt ist dann b = -1/Halbwertszeit).
  Auch daran erkennen wir: Je größer |b| ist, umso rascher fällt f auf sehr kleine Werte ab.