Größere Schriftzeichen
Einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten:
Für jedes n kann k alle ganzzahligen Werte zwischen 0 und n annehmen. Da am Rand des Pascalschen Dreiecks nur Einser stehen, gilt für alle n

| æ è |  |
n
0
|  | ö ø | = | æ è |  |
n
n
|  | ö ø | = 1.
| (1)

Der jeweils nächste Koeffizient (und der jeweils vorletzte) jeder Zeile des Pascalschen Dreiecks ist n, was

| æ è |  |
n
1
|  | ö ø | = | æ è |  |
n
n - 1
|  | ö ø | = n
| (2)

zur Folge hat.

Vielleicht haben Sie schon bemerkt, daß mehrere der Koeffizienten gleich sind. Genauer gesagt, gilt,

| æ è |  |
n
k
|  | ö ø | = | æ è |  |
n
n - k
|  | ö ø | ,
| (3)

was einfach die Tatsache ausdrückt, daß das Pascalsche Dreieck symmetrisch ist. (Das kommt letztlich daher, daß sich am Term a + b nichts ändert, wenn a und b vertauscht werden. Daher müssen die Koeffizienten dieselben bleiben, wenn die ausmultiplizierten Ausdrücke für (a + b)n in umgekehrter Reihenfolge angeschrieben, d.h. nach fallenden Potenzen von b geordnet werden).

Nun läßt sich auch die so bestechend einfache Konstruktionsvorschrift des Pascalschen Dreiecks in eine Formel fassen:

| æ è |  |
n
k
|  | ö ø | = | æ è |  |
n - 1
k - 1
|  | ö ø | + | æ è |  |
n - 1
k
|  | ö ø |
| (4)

für n ³ 2 und 1 £ k £ n - 1. Sie drückt genau die Regel aus, daß der Wert eines Koeffizienten im Pascalschen Dreieck die Summe der beiden schräg über ihm stehenden ist! Setzen Sie n = 4 und k = 2 in diese Formel ein und finden Sie heraus, welche drei Zahlen im Pascalschen Dreieck sie betrifft!