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Vektorprodukt - Rechengesetze:
Zwei der angegebenen Rechengesetze erfordern eine genauere Begründung:

1. aÙ(rb) = r aÙb und
2. aÙ(b + c) = aÙb + aÙc

für beliebige Vektoren a, b, c und für jeden Skalar r. Ist das einmal bewiesen, so folgen aufgrund der Antisymmetrie aÙb = -bÙa dann auch die Varianten (ra)Ùb = r aÙb und (a + b)Ùc = aÙc + bÙc.
Beweis von 1:

> Der Beweis von 1 ist einfach - dazu brauchen wir nur diese Skizze zu betrachten:
> Wird b durch rb ersetzt, so ändert sich der Flächeninhalt des Parallelogramms um den Faktor |r|. Weiters ist rb parallel zu b, daher ändert sich die Richtung des Vektorprodukts nicht. Ist r negativ, so sorgt die Rechtsschraubenregel für das richtige Vorzeichen, womit 1 bewiesen ist.

Beweis von 2:

> Um 2 zu beweisen, verwenden wir eine sehr wirkungsvolle Argumentationsmethode: Sind die Vektoren a, b und c gegeben, so können wir unser dreidimensionales Koordinatensystem so in den Raum legen, dass es an die Problemstellung angepasst ist (und die nun notwendige Berechnung möglichst einfach wird):
> Wir legen die z-Achse so, dass sie in Richtung des Vektors a weist.
> Ein solches Koordinatensystem kann ebenso gut für Berechnungen verwendet werden wie jedes andere. In ihm hat der Vektor a die Komponenten
> a = (0, 0, |a|).
> Die beiden anderen Vektoren können beliebige Komponenten haben:
> b = (b1, b2, b3)
> c = (c1, c2, c3).
> Als nächstes bemerken wir, dass das Vektorprodukt aÙb nicht von der z-Komponente b3 von b abhängt. Der Grund dafür ist einfach: Ändern wir b3, so ändert sich weder der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms,

> |  | Führen Sie die Maus in das Bild und wieder hinaus! Eine Änderung von b3 hat keinen Einfluss auf die Fläche des Parallelogramms.

> noch die auf a und b normal stehende Richtung. Auch die Rechtsschraubenregel ist immer erfüllt, so dass für den vereinfachten Vektor
> b' = (b1, b2, 0)
> die Beziehung
> aÙb = aÙb'
> gilt. Der neue Vektor b' ist nichts anderes als die Projektion von b auf die xy-Ebene. Nun können wir die Komponenten von aÙb berechnen: Da das von a und b' aufgespante Parallelogramm ein Recheck mit Seitenlängen |a| und |b'| ist, ist der Betrag von aÙb gleich |a| |b'|. Weiters liegt aÙb in der xy-Ebene und steht normal auf b'. Aus der Rechtschraubenregel folgt, dass die Richtung von aÙb aus jener von b' durch eine Drehung (in der xy-Ebene) um 90° im Gegenuhrzeigersinn hervorgeht. Wenden wir diese Drehung auf (b1, b2, 0) an (vergleiche Formel (14) weiter oben in diesem Kapitel), erhalten wir (-b2, b1, 0). Der Betrag dieses Vektors ist |b'|. Muliplizieren wir ihn mit dem noch fehlenden Faktor |a|, so erhalten wir
> aÙb = (-|a| b2, |a| b1, 0).
> In völlig analoger Weise ergibt sich
> aÙc = (-|a| c2, |a| c1, 0)
> und
> aÙ(b + c) = (-|a| (b2 + c2), |a| (b1 + c1), 0),
> woraus unmittelbar
> aÙ(b + c) = aÙb + aÙc
> folgt. Damit ist auch 2 bewiesen.