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Bemerkungen zur Rückführung von Í auf Ç und È:
Der Begriff der Teilmenge kann ganz auf das Bilden des Durchschnitts bzw. der Vereinigung zurückgeführt werden. Für die in diesem Kapitel definierten Mengen A und B gilt B Í A (B ist Teilmenge von A), B Ç A = B (die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen sind gerade jene von B, der ''kleineren'' Menge) und B È A = A (gibt man zu den Elementen von A jene von B hinzu, so erhält man nichts Neues).

Tatsächlich gilt für zwei beliebige Mengen A und B:

B Í A Û B Ç A = B Û B È A = A,
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d.h die drei Aussagen sind gleichbedeutend - sie sind immer entweder gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch. (Versuchen Sie, dies auf einem Blatt Papier zu beweisen!)

Die zuvor in diesem Kapitel gegebene Definition des Begriffs ''Teilmenge'' war: Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element von B auch Element von A ist.

Diese Definition kann nun durch folgende ersetzt werden: Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn B Ç A = B gilt.

Damit ist der Begriff der Teilmenge auf das Bilden des Durchschnitts zurückgeführt. In diesem Sinn ist er ein aus der Operaton Ç abgeleitetes Konzept (und ebenso kann er aus der Operation È abgeleitet werden - versuchen Sie es!)

Wir haben hier ein Beispiel dafür, daß ein mathematischer Begriff auf verschiedene Weise definiert werden kann. Beide Definitionen sind ''gleich gut'', da sie dasselbe aussagen. Es ist für AutorInnen mathematischer Texte oft eine Sache des persönlichen Geschmacks, mit Hilfe welcher Definition ein Begriff eingeführt wird. Sowohl bei der Darstellung als auch bei der Anwendung von Mathematik bestehen beträchtliche Freiheiten, die kreativen Ideen viel Raum lassen.

Nachbemerkung:

In vielen Gebieten der Mathematik ist es von Interesse, zu wissen, welche Konzepte sich aus anderen Konzepten herleiten lassen, und welche Konzepte tatsächlich voneinander unabhängig sind. Ein abgeleitetes Konzept kann als ''weniger fundamental'' angesehen werden. Das ist für das praktische Hantieren mit Konzepten beim Problemlösen oft irrelevant, betrifft aber die grundsätzliche Frage, ob sich hinter mathematischen Theorien noch weitere - bislang unerkannte - Strukturen verbergen.

Unser Beispiel illustriert, daß derartige Abhängigkeiten nicht immer auf der Hand liegen, sondern manchmal erst im Nachhinein entdeckt werden.