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Funktionen 1

Zusammenfassung: Funktionen (auch Abbildungen genannt) sind Zuordnungen, die wie Input-Output-Maschinen funktionieren. Diese einfache Idee macht sie zu einem der universellsten und am häufigsten benutzten Konzepte der modernen Mathematik. Eine graphische Darstellungsweise erlaubt es, Funktionen in Bilder zu verwandeln. Mehrere Abschnitte gehen ganz oder teilweise ein bißchen tiefer als zu Beginn nötig; die entsprechenden Stellen können von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Darauf wird jeweils eigens hingewiesen. Stichworte: Was ist eine Funktion? | Funktionen als Input-Output-Maschinen | Funktion, Abbildung | Zuordnungsvorschrift | Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil | Schreibweise mit "von"-Klammer | Abhängigkeit | Funktionen, ganz allgemein definiert | reelle Funktionen | Wozu sind Funktionen gut? | Sprachregelungen | Definitionsbereich | (unabhängige) Variable, Veränderliche, Argument, Stelle | Funktionswert | Funktionsdefinitionen, Term- und andere Darstellungen | Termdarstellung, Funktionsausdruck | das Invertieren als Funktion | Wurzelfunktion | Darstellung mittels Fallunterscheidung | Betragsfunktion | Wertetabellen | Funktionsgraphen | Graphische Darstellung von Wertetabellen | Definition des Graphen | Funktionsgleichung | Graph und Kurve | Graphen einfacher Potenzfunktionen | identische Funktion | Mediane | Eigenschaften von Funktionen | Wertebereich (Bild) | Nullstellen | Zusammenhang zwischen Funktionen und Gleichungen | graphisches Lösen von Gleichungen | Positivität | Monotonie | (streng) monoton wachsend (steigend) | (streng) monoton fallend | injektiv, surjektiv, bijektiv | inverse Funktion (Umkehrfunktion) | Graphen einfacher Polynomfunktionen | konstante Funktionen und Funktionen erster Ordnung | lineare Funktionen | Funktionen zweiter Ordnung (quadratische Funktionen) | Funktionen dritter Ordnung (kubische Funktionen) | Gleichungen dritter Ordnung (kubische Gleichungen) | Graphen können Ecken haben | Temperaturkurve | mathe online Funktions-Plotter | Excel-Plotter

|  | Was ist eine Funktion? |  |  |  |  |
|  | Funktionen als Input-Output-Maschinen Funktionen (auch Abbildungen genannt) gehören zu den wichtigsten mathematischen Objekten überhaupt. Nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern in in nahezu allen Anwendungen spielen sie eine unverzichtbare Rolle. Diese universelle Anwendbarkeit rührt daher, daß die dahintersteckende Idee eine sehr einfache und schöne ist. Was also ist eine Funktion? Unter einer Funktion kann man sich eine Input-Output-Maschine (Eingabe-Ausgabe-Maschine) vorstellen. Sie nimmt ein Ding als Eingabe entgegen und gibt daraufhin ein Ding aus. Und das macht sie nach einer genauen (eindeutigen) Vorschrift - gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben. Das ist alles! "Ding" bedeutet vorläufig für uns "Zahl". Eine Funktion ist also für uns zunächst eine Maschine, die aus einer Eingabe-Zahl eine Ausgabe-Zahl macht. Hier haben wir eine solche Maschine: | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!
Geben Sie eine Zahl ein und klicken Sie auf den Button! Geben Sie eine andere Zahl ein und klicken Sie wieder auf den Button! Bevor Sie weiterlesen, wiederholen Sie das öfter und versuchen Sie, herauszufinden, was diese Maschine mit den von Ihnen eingegebenen Zahlen macht! Sie werden sicher nicht lange brauchen, um es herauszufinden: Die Maschine quadriert die Eingabe-Zahl! Es ist eine Quadrier-Maschine. Sie stellt die Idee dar, daß jeder Zahl x ihr Quadrat x2 zugeordnet wird. Ihre Zuordnungsvorschrift heißt schlicht und einfach "quadrieren". Dadurch ist eine Funktion definiert. Wir könnten sie "Quadrier-Funktion" nennen. Die Zuordnung ist eindeutig: Gleiche Eingaben führen immer zu gleichen Ausgaben, wie wir schon oben gesagt haben. Man könnte nun umgekehrt fragen, ob aus der Ausgabe auf die Eingabe rückgeschlossen werden kann. Wenn die Ausgabe die Zahl 4 ist - was war die Eingabe? Wenn Sie jetzt sagen "die Zahl 2", so haben Sie nicht ganz recht - es könnte auch -2 gewesen sein! Der Rückschluß auf die Eingabe ist also nicht zwangsläufig möglich! Die zwei Zahlenfelder in unserer Quadrier-Maschine sind nicht "gleichberechtigt". Wenn wir wissen, was im linken (Eingabe-)Feld steht, wissen wir, was im rechten (Ausgabe-)Feld steht (nämlich das Quadrat der Eingabe), aber aus der Kenntnis der Ausgabe folgt nicht notwendigerweise die Kenntnis der Eingabe. Funktionen arbeiten daher in einer "Richtung": Eingabe ® Ausgabe und diese Richtung ist auch in der obigen Maschine durch einen Pfeil gekennzeichnet. Nun betrachten wir eine andere Maschine: | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!
Was macht diese Maschine mit Ihren eingegebenen Zahlen? Bevor Sie weiterlesen, versuchen Sie, es herauszufinden! Haben Sie es geschafft? Die Maschine verdoppelt die Eingabe-Zahl und subtrahiert 1. Die Zuordnungsvorschrift heißt jetzt "verdoppeln und 1 subtrahieren". Wir haben es hier mit der "Verdoppeln-und-1-subtrahieren-Funktion" zu tun, und Sie sehen sicher ein, daß es jetzt besser ist, eine abgekürzte Schreibweise zu verwenden, um zu beschreiben, was unsere Maschinen tut. Sie stellt einfach die Idee dar, daß jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zugeordnet wird. Wir haben bisher zwei Funktionen betrachtet: Die erste ordnet jeder Zahl x die Zahl x2 zu, die zweite ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu. Das ist jetzt schon eine einigermaßen kurze Beschreibung. Wir wollen aber auch diese Zeilen nicht jedesmal hinschreiben, wenn wir von den beiden Funktionen sprechen, und so geben wir ihnen einfach - irgendwelche - Namen! Nennen wir die erste Funktion f und die zweite Funktion g. Wir können also sagen: Die Funktion f ordnet jeder Zahl x die Zahl x2 zu, die Funktion g ordnet jeder Zahl x die Zahl 2 x - 1 zu. Was jetzt passiert, ist gar nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick vielleicht aussieht: In der Mathematik sind zwei noch kürzere Schreibweisen üblich, um Funktionen zu charakterisieren. Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil besteht darin, nach dem Namen der Funktion einen Doppelpunkt zu machen und die Zuordnungsvorschrift mit einem Pfeil zu kennzeichnen:
f : x ® x2
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Logisch gesehen ist das derselbe Pfeil, der sich auf der obigen "Quadrier-Maschine" befindet. Sprechen Sie ihn als "wird zugeordnet" aus! (In Büchern finden Sie in statt dessen einen Pfeil mit Querstrich: . Aus technischen Gründen verwenden wir aber das Symbol ®). Damit können wir die Quadrier-Maschine - die ja nun schlicht und einfach f heißt - ordentlich beschriften: f : x ® x2 | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!
Jetzt ist eindeutig zum Ausdruck gebracht, was sie macht (oder, wie man auch sagt, wie die Funktion wirkt) - sie quadriert. Im Eingabefeld steht eine beliebig vorgegebene Zahl x, im Ausgabefeld deren Quadrat x2. In derselben Weise wird die Wirkung der Funktion g kurz als
g : x ® 2 x - 1
| (2)
angeschrieben, und die zugehörige beschriftete Funktionsmaschine sieht nun so aus: g : x ® 2 x - 1 | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!
Mit Hilfe dieser kleinen zusätzlichen Beschriftung können Sie nun viel besser kontrollieren, welche Ausgaben Sie erwarten: Setzen Sie ihre Eingabe-Zahl x in den Ausdruck 2 x - 1 ein, bevor sie klicken! Versuchen Sie es mit ein paar Eingaben! Geben Sie zum Beispiel 0 ein, so resultiert -1, da 2 × 0 - 1 = -1 ist. Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, daß hier von einer beliebigen Eingabe-Zahl ausgegangen wird und gemäß einer gewissen Vorschrift eine Ausgabe erfolgt. Es gibt auch gar keinen zwingenden Grund, die Eingabe-Zahl unbedingt mit dem Buchstaben x zu bezeichnen. So kann die Funktion f anstelle von (1) etwa auch in der Form
f : t ® t2
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definiert werden. Sprachlich bedeutet das: Die Funktion f ordnet jeder Zahl t die Zahl t2 zu. Das ist genau dieselbe "Quadrier-Vorschrift" wie (1). Und anstelle von (2) können wir die Funktion f genausogut durch
g : u ® 2 u - 1
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beschreiben. Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, was mit der Eingabe-Zahl geschieht. Der Buchstabe oder das Symbol, mit der diese bezeichnet wird, ist dabei völlig belanglos! (Im Englischen wird so ein Symbol als dummy variable bezeichnet, im Deutschen nennt man es manchmal Platzhaltervariable.) Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil kann auch angewandt werden, um anzuschreiben, was mit konkreten Eingabe-Zahlen unter der Wirkung einer Funktion geschieht, z.B. im Fall der Funktion f
f : 2 ® 4
3 ® 9
-3 ® 9
wobei der Funktionsname nur dann angegeben werden muß, wenn ansonsten die Gefahr der Verwechslung mit einer anderen Funktion besteht. Neben der Schweibweise mit Zuordnungs-Pfeil ist eine weitere Notation gebräuchlich, die in der Praxis sogar noch nützlicher ist. Schreibweise mit "von"-Klammer |  |  |  |  |
|  | Betrachten wir wieder die Funktion f : x ® x2, die die Eingabe-Zahl quadriert. Klarerweise hängt die Ausgabe von der Eingabe ab. Sehr oft möchte man dieses Abhängigkeitsverhältnis in der Schreibweise noch einfacher zum Ausdruck bringen. Dies wird bewerkstelligt, indem die Wirkungsweise der Funktion in der Form
f(x) = x2
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angeschrieben wird. Dabei benützt man den Namen der Funktion und ein Paar runder Klammern, in das ein Symbol (hier x) für die Eingabe-Zahl gesetzt wird. Obige Zeile wird so ausgesprochen: "f von x ist gleich x2". So kann in kompakter Form ausgedrückt werden, was die Funktion f mit der Zahl 3 macht: sie führt auf f (3) (welches das Quadrat von 3, also 9 ist). Die Zeichen "f (3)" werden als "f von 3" ausgesprochen. Daher auch unsere Bezeichnung "von"-Klammer. Diese Art von Klammern sollte nicht mit jenen verwechselt werden, die Symbole zusammenfassen. Die Klammern in (x + 1)2 haben eine ganz andere Bedeutung als die in f (3) = 9 oder in (5). Bei dieser Schreibweise gilt allgemein das Schema Funktionsname(Eingabe-Zahl) = Ausgabe-Zahl. So haben wir etwa
f (2)
=
4
f (3)
=
9
f (-3)
=
9
Die Schreibweise (5), also f (x) = x2, drückt aus, daß eine beliebige Eingabe-Zahl x unter der Wirkung der Funktion f quadriert wird. Sie beschreibt die "Funktionsweise" der Maschine für alle möglichen Eingaben und leistet daher genausoviel wie die Schreibweise (1) mit Zuordnungs-Pfeil. Der Vergleich einer Funktion mit einer Maschine ist hier besonders augenfällig: Zwischen den "von"-Klammern befindet sich, bildlich gesprochen, das Eingabefeld. Eine beliebige Zahl kann anstelle der Punkte in f (...) eingesetzt werden. Setzten wir z.B. die Zahl 12 ein, so bezeichnet f (12) das Ergebnis der Wirkung unserer Funktion f, also die Zahl 144. Folglich gilt f (12) = 144. Man sagt auch, die Funktion f wird auf die Zahl 12 angewandt (angewendet), und das Resultat (der Funktionswert) ist 144. Wieder kommt es auf das verwendete Symbol nicht an, und wir können die Funktion f anstelle von (5) genausogut in der Form
f(s) = s2
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charakterisieren. Um diese Schreibweise kurz zu illustrieren, stellen wir die Frage, was f ( f (3)) ist. Das ist gar nicht so schwierig: Hier wird die Funktion f auf die Zahl 3 angewandt, und danach wird f nochmals auf das Resultat angewandt. Die Ausgabe der ersten Anwendung ist f (3) = 9, daher ist f ( f (3)) = f (9) = 81. Unsere Funktion g kann ganz analog in der Form
g(x) = 2 x - 1
| (7)
charakterisiert werden. Ein Beispiel der Anwendung dieser Funktion auf eine Zahl: g(8) = 2 × 8 - 1 = 15. Die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen, die durch diese Schreibweise ausgedrückt wird, ist ein wichtiger Aspekt des Funktionsbegriffs. Ist etwa der Wert einer Größe y davon abhängig, welchen Wert eine andere Größe x hat (einige praktische Beispiele folgen unten), so wird die abhängige Größe y oft einfach als y(x) angeschrieben, d.h. das Symbol y gleichzeitig als Name für eine Größe (Variable) und für eine Funktion verwendet. (Die abhängige Größe y entspricht dem "Output", die unabhängige Größe x dem "Input" unserer Funktionsmaschinen). Mit Hilfe des nebenstehenden Applets können derartige Abhängigkeiten - auf nicht ganz konventionelle Weise - dynamisch visualisiert werden. Nun wissen Sie bereits sehr viel über den mathematischen Funktionsbegriff. |  |  |  | Applet Funktionale Abhängigkeiten verstehen |
|  | Funktionen, ganz allgemein definiert Eine Funktion ist natürlich keine "Maschine" im mechanischen Sinn, und auch kein Computerprogramm - sie besteht lediglich aus einer eindeutigen Zuordnungsvorschrift. Weiters kann es solche Vorschriften auch für andere mathematische Objekte als Zahlen geben. Ganz allgemein benötigt man für eine Funktion zwei Mengen (die wir hier A und B nennen). Definition: Eine Funktion (auch Abbildung genannt) f "von der Menge A in die Menge B" ist eine Vorschrift, die jedem Element von A in eindeutiger Weise ein Element der Menge B zuordnet. Um auszudrücken, daß f eine solche Funktion ist, wird
f : A ® B
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geschrieben. Zusätzlich zu dieser Angabe muß die Zuordnungsvorschrift (gleichgültig, in welcher Schreibweise oder Sprache) beschrieben werden, damit klar ist, wie die Funktion auf beliebige Elemente der Menge A wirkt. |  |  |  |  |
|  | In unseren bisherigen Beispielen war A = B = R, der Menge der reellen Zahlen. In den meisten Fällen von Funktionen, denen wir begegnen werden, wird A (die Menge, aus der die Eingabe-Werte beliebig gewählt werden können) entweder R oder eine Teilmenge von R sein. Die Ausgabe-Werte werden meistens reelle Zahlen sein, d.h. B = R. Man spricht dann von reellen Funktionen. Nun wissen Sie im Prinzip, was eine mathematische Funktion ist. Wir haben Anwendungen und Motivationen ausgespart und statt dessen die Metapher der Input-Output-Maschine verwendet, um Ihnen einen möglichst raschen Zugang zu diesem wichtigen Begriff zu ermöglichen. Sie werden in der Folge (in diesem Kapitel wie in zahlreichen anderen) die verschiedensten Funktionen kennenlernen. Sie werden erfahren, wofür man sie verwendet und wie gewinnbringend mit ihnen hantiert werden kann. |  |  |  | reelle Zahlen |
|  | Wozu sind Funktionen gut? |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Immer dann, wenn der Wert einer Größe vom Wert einer anderen Größe abhängt, liegt eine Funktion vor. Da die Natur und unser Leben voll von solchen Abhängigkeiten sind, kann eine unermesslich große Anzahl von Vorgängen und Zusammenhängen in der mathematischen Sprache der Funktionen beschrieben, modelliert und verstanden werden - manchmal sehr genau, in Form ausgefeilter Theorien, manchmal nur in grober Näherung. Betrachten Sie etwa ein Thermometer, das an irgendeinem Ort hängt. Die von ihm angezeigte Temperatur wird nicht immer dieselbe sein, sondern sich mit der Zeit ändern, z.B. tages- oder jahreszeitlichen Schwankungen unterworfen sein. Mit anderen Worten, die Temperatur hängt vom Zeitpunkt ab, an dem sie gemessen wird. Dies stellt eine Input-Output-Maschine, d.h. eine Funktion dar: Zu jedem gegebenen Zeitpunkt t (Eingabe) wird eine bestimmte Temperatur T (Ausgabe) angezeigt. Man sagt, die Temperatur "ist eine Funktion der Zeit". Wie bereits oben bemerkt, ist es üblich, das Symbol für den Ausgabe-Wert ( hier T ) als Namen der Funktion zu verwenden. Jedem Zeitpunkt t ist dann eine Temperatur T(t) zugeordnet. Jedes konkrete Thermometer, das Sie sich aussuchen, definiert eine solche Funktion. Ob sich die Temperatur aufgrund einer Theorie berechnen läßt oder ob sie abgelesen werden muß, ist dabei unerheblich - in jedem Fall handelt es sich um eine Funktion, denn zu jedem Zeitpunkt t wird eine bestimmte Temperatur T angezeigt. Weitere Beispiele für derartige Abhängigkeiten können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. |  |  |  |  |
|  | Sprachregelungen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Wir haben im ersten Abschnitt dieses Kapitels den Funktionsbegriff anhand der Idee einer Input-Output-Maschine entwickelt. Hier wollen wir die in der Mathematik übliche Sprechweise über einige Dinge festhalten. Da Funktionen wichtige Objekte sind, wurde im Laufe der letzten Jahrhunderte viel über sie gesprochen (und geschrieben). Als Folge haben sich mehrere Sprechweisen über ein und dieselbe Sache herausgebildet. Die meisten Worte stammen direkt aus der Alltagssprache. Folgende Begriffe, die in den mathematischen Wortschatz über Funktionen gehören, werden wir erwähnen: Funktion, Abbildung (von ... in ...) zuordnen, Zuordnung Definitionsbereich Variable, unabhängige Variable, Veränderliche, Argument, Stelle, x-Wert Funktionswert (an der Stelle ...), Wert einer Funktion, von einer Funktion getroffen wo? an welcher Stelle? wirken, anwenden, einsetzen, abbilden Funktion von ... abhängige Variable, abhängige Größe funktionaler Zusammenhang, Zuordnungsvorschrift, von ... abhängen, auf ... abbilden Platzhalter Funktion in einer (mehreren) Variablen Wenn diese Materie für Sie völlig neu ist, ... ... werden Sie sich vielleicht erschlagen fühlen, wenn Sie die folgende Vokabelsammlung lesen. Das haben Vokabelsammlungen leider so an sich. Wenn Sie sich schwer damit tun, versuchen Sie zumindest, sie zu überfliegen. An viele der hier vorgestellten Redewendungen werden Sie sich gewöhnen, wenn Sie sie selbst eine Zeitlang benützen. Wir empfehlen Ihnen in jedem Fall, diesen Abschnitt auch später bei Bedarf zu konsultieren. Eine Funktion (oder Abbildung) f : A ® B (von der Menge A in die Menge ) ist eine Festlegung, die jedem Element x der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Dieses zugeordnete Element der Menge B wird als f (x) bezeichnet. Die Menge A heißt Definitionsbereich. Man sagt auch, dass f auf der Menge A definiert ist. Schreibweisen für die Definition von Funktionen anhand eines Beispiels (die Funktion "quadrieren", mit A = B = R = Menge der reellen Zahlen): mit "von"-Klammer (siehe oben): f (x) = x2 mit Zuordnungs-Pfeil (siehe oben): f : x ® x2 (oder einfach x ® x2) Das Symbol x steht für ein beliebiges Element der Menge A (Eingabe-Wert), das der Wirkung der Funktion unterworfen werden kann - man nennt es daher Variable (altmodischer Ausdruck: Veränderliche), da es für eine "variable" Größe steht (oder unabhängige Variable, da es beliebig - von nichts abhängig - vorgegeben werden kann). Eine andere Bezeichnung dafür ist Argument. Ein konkreter Wert der unabhängigen Variablen (des Arguments) wird auch als Stelle oder auch als x-Wert bezeichnet. Aber Achtung: Der Buchstabe x ist für diesen Zweck zwar beliebt und weit verbreitet, es kann aber genausogut ein anderes Symbol verwendet werden. Die Schreibweise f º f(x) drückt aus, dass x das Argument der Funktion f ist. Dass beispielsweise eine Temperatur T von der Zeit t abhängt, kann als T º T(t) geschrieben werden. Das einem konkreten Element x Î A zugeordnete Element f (x) Î B (Ausgabe-Wert) wird Funktionswert (oder auch Funktionswert an der Stelle x) genannt. Ist y ein Funktionswert (d.h. y = f (x) für ein x Î A), so sagt man auch, y wird von der Funktion getroffen. Zur Illustration dieses Sprachgebrauchs: Wo hat die durch f (x) = x2 definierte Funktion f den Wert 4? Antwort: An den Stellen -2 und 2. (Beachten Sie: Die Frage "wo?" bedeutet immer "an welcher Stelle?", also "für welchen Eingabe-Wert?") Noch kürzere Sprechweise: Wo ist die Funktion gleich 4? Die Funktion wirkt auf die Elemente von A, sie wird auf diese angewandt (angewendet). Elemente von A werden in die Funktion eingesetzt. Jedes Element von A wird auf ein Element von B abgebildet. Manchmal wird auch ein eigenes Symbol für die möglichen Funktionswerte verwendet, z.B. der Buchstabe y. Das ist dann so gemeint, daß zu jedem x Î A (kurz: x-Wert, also Eingabe-Wert) ein y Î B (kurz: y-Wert, also Ausgabe-Wert) definiert ist, und war gemäß der Vorschrift y = f (x). Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn zwei Größen x und y betrachtet werden, und wenn der Wert von y immer (und in eindeutiger Weise) vom Wert von x abhängt. Beispiel: Ein Fahrzeug fährt von Bregenz nach Wien, x steht für die seit Reisebeginn verstrichene Zeit, und y ist die zurückgelegte Strecke. Daher ist y eine Funktion von x. Die Größe y wird daher auch abhängige Variable (oder abhängige Größe) genannt. Der funktionale Zusammenhang (die Zuordnungsvorschrift), der festlegt, welcher y-Wert aus einem gegebenen x-Wert entsteht ( also die zugrundeliegende Funktion f ) wird dann als y = f (x) angeschrieben. Manchmal wird kein eigener Buchstabe für die Funktion verwendet, sondern anstelle von f (x) - ein bißchen schlampig - einfach y (x) geschrieben. Das bringt zum Ausdruck, daß y von x abhängt. Man sagt auch: Der Größe x wird die Größe y zugeordnet, oder: x wird auf y abgebildet. Beispiel: Die durch f (x) = x2 definierte Funktion kann auch in der Form y = x2 charakterisiert werden. So ist dann etwa der zu x = - 6 gehörende Funktionswert y = 36 (was dasselbe wie f (- 6) = 36 bedeutet). |  |  |  |  |
|  | Die Bedeutung der unabhängigen Variablen ähnelt ein bißchen der Bedeutung der Variablen in Termen. Das für sie verwendete Symbol (z.B. der Buchstabe x) ist ein Platzhalter, für den jeder konkrete Wert - d.h. jedes Element der Menge A - eingesetzt werden kann. Wird z.B. in die Funktionsdefinition f (x) = x2 der Wert x = 7 eingesetzt, so entsteht f (7) = 49. Über den Zusammenhang zwischen Funktionen und Termen werden wir oben mehr sagen. |  |  |  | Variable und Terme |
|  | Die meisten in der Schulmathematik auftretenden Funktionen wirken auf reelle Zahlen, d.h. für sie ist A gleich der (oder eine Teilmenge der) Menge R der reellen Zahlen. Diese Funktionen heißen Funktionen in einer Variablen. Sie drücken eine Situation aus, in der eine Größe (z.B. der Treibstoff-Verbrauch während einer Reise) von einer anderen Größe abhängt (z.B. von der Länge der Reise-Route). Jede einigermaßen realistische Größe hängt aber in Wahrzeit von zahlreichen Größen ab (in unserem Beispiel z.B. auch von der Geschwindigkeit, der Steigung,...). Solche Situationen führen auf Funktionen in mehreren Variablen, für die die Menge A nicht aus reellen Zahlen, sondern aus Kombinationen von reellen Zahlen (z.B. Zahlenpaaren oder Zahlentripeln) besteht. |  |  |  | Funktionen in mehreren Variablen |
|  | Funktionsdefinitionen, Term- und andere Darstellungen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Wie haben oben besprochen, in welchen Schreibweisen Funktionen charakterisiert werden können (Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil, Schreibweise mit "von"-Klammer). Das waren eher formale Betrachtungen, und so wollen wir uns der Frage zuwenden, wie die Wirkung einer Funktion mathematisch beschrieben wird. Wir haben bisher zur Illustration zwei Funktionen kennengelernt: Eine Funktion namens f, deren Wirkung durch f (x) = x2 definiert war, und eine Funktion namens g, deren Wirkung durch g (x) = 2 x - 1 definiert war. Beide Funktionen sind durch eine Term definiert. Wir können uns nun weitere Funktionen ausdenken. So können wir eine Funktion h : R ® R durch die Vorschrift |  |  |  | Terme |
h(x) = x (x - 4)2
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definieren. Damit ist, ebenso wie für f und g, eine eindeutige Vorschrift festgelegt, wie jedem beliebig vorgegebenen Variablenwert (x-Wert) ein Funktionswert f (x) zugeordnet wird. Wir illustrieren dies (ein letztes Mal) mit Hilfe unserer beschrifteten Input-Output-Maschine: h : x ® x (x - 4)2 | ® |
1. Geben Sie eine Zahl ein! |  | 3. Lesen Sie die Ausgabe ab!
Überzeugen Sie sich durch Probieren, daß diese Maschine tatsächlich nichts anderes macht, als jeden Eingabe-Wert x in den Term x (x - 4)2 einzusetzen! (Setzen Sie z.B. x = 4 ein! Wieso ist das Resultat 0? Weil 4 × (4 - 4)2 = 0 ist!) Auf analoge Weise definiert jeder Term (der von einer einzigen Variablen abhängt) eine Funktion! Es gibt also unermesslich viele Funktionen! Die Beschreibung der Wirkungsweise eine Funktion durch einen Term - wie es in allen Formeln (1) bis (7) und (9) geschehen ist - heißt Termdarstellung. Ein Term, der eine Funktion definiert, wird auch Funktionsausdruck genannt. Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. |  |  |  |  |
|  | Achtung: Nicht jeder Term definiert eine Funktion R ® R !!! Ist ein Term für manche Werte der Variablen nicht definiert ist, so muß der Definitionsbereich der zugehörigen Funktion entsprechend eingeschränkt werden. Der nebenstehende Button ruft eine Besprechung der zwei Beispiele x ® 1/x (das Invertieren) x ® Ö x (die Wurzelfunktion) auf. Die bisher betrachteten Funktionen waren durch einen Term beschrieben, der lediglich die Grundrechnungsarten (und ihre Abkömmlinge wie Wurzelziehen) auf die Variable x anwendet. Es gibt allerdings Funktionen, für die es nicht leicht fällt (oder ganz unmöglich ist), einen solchen Term hinzuschreiben, die aber dennoch eine sinnvolle und leicht verständliche Wirkung haben. Vier Beispiele dafür, |  |  |  |  |
|  | eine Funktion, deren Definition eine Fallunterscheidung erfordert, eine Funktion, die zwischen rationalen und irrationalen Zahlen unterscheidet, jene Funktion N ® N, die die Primzahlen durchnumeriert, und die Betragsfunktion können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Durch diese Beispiele wird illustriert: Was bei der Definition von Funktionen zählt, ist die eindeutige Zuordnungvorschrift. Ob diese durch einen einfachen Term realisierbar ist, Fallunterscheidungen erfordert oder am besten in Worten mitgeteilt werden kann, ist nicht so wichtig. Das ist der Hauptunterschied zwischen einem Term und einer Funktion! |  |  |  |  |
|  | Wertetabellen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Wenn wir irgendeine Funktion - also eine Zuordnungsvorschrift, wie jeder Zahl (wir nennen sie x) wiederum eine Zahl (der Funktionswert) zugeordnet wird - gegeben haben, ist es manchmal notwendig, sich einen groben Überblick zu verschaffen, wie sie wirkt. So kann zum Beispiel in regendeinem Zusammenhang relevant sein, für welche Werte von x der Funktionswert Null ist, oder welches Vorzeichen der Funktionswert hat, wenn x eine sehr groß,e Zahl ist. Eine Möglichkeit, sich einen ersten Überblick zu verschaffen, sind sogenannte Wertetabellen. Damit ist gemeint, in Form einer Tabelle mehrere x-Werten den zugehörigen Funktionswerten gegenüberzustellen, also einige Beispiele für die Wirkung der Funktion anzuschreiben. Wir wollen das am Fall der Funktion g, die durch g(x) = 2 x - 1 definiert ist, vorführen. Schreiben Sie eine Schrittweite Ihrer Wahl (z.B. 1) in das untenstehende gleichnamige Textfeld und drücken Sie den Button "Tabelle erstellen"! Wertetabelle der Funktion g(x) = 2 x - 1
Schrittweite:
| Sie erhalten 17 verschiedene x-Werte, deren Abstand die von Ihnen gewählte Schrittweite ist, zusammen mit den jeweiligen Funktionswerten. Neben jeder Zahl x in der linken Spalte steht der Funktionswert 2 x - 1 in der rechten Spalte. Rechnen Sie das für einige Paare nach! Sie können eine neue Schrittweite eingeben und den Button erneut drücken. Probieren Sie es mit den Werten 100,10, 0.5, 0.1 und 0.01 ! Verwenden Sie diese dynamische Tabelle, um folgende Fragen zu beantworten: Wo (d.h. für welches x) ist der Funktionswert Null? (Versuchen Sie als Schrittweiten hintereinander 1 und 0.1. Welche Wahl ist zur Beantwortung der Frage sinnvoller?) Wo (d.h. für welche x-Werte) ist die Funktion positiv? Wie wirkt die Funktion - wenn nicht allzugenau hingeschaut wird -, wenn x eine sehr große Zahl ist? (Wählen Sie die Schrittweite 1000 !) Die Antworten finden Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons. |  |  |  |  |
|  | So lassen sich für jede Funktion (die die Rechenkünste von Menschen und Computern nicht übersteigt) Wertetabellen anschreiben. Da jede Tabelle nur endlich viele Zahlen umfassen kann, müssen die dargestellten Werte (je nach Fragestellung) sinnvoll gewählt werden. Aufgabe: Schreiben Sie auf einem Blatt Papier eine kleine Wertetabelle für die durch f (x) = x2 definierte Funktion f auf! (Kontrolle durch nebenstehenden Button). |  |  |  |  |
|  | Wertetabellen ermöglichen einen groben Überblick über die Eigenschaften einer Funktion. Sie waren in der Zeit vor dem Einsatz des Computers besonders dann hilfreich, wenn numerisch sehr genaue Werte einer Funktion erforderlich waren. Dicke Tabellenwerke (z.B. die sogenannten "Logarithmentafeln") waren bis ins 20. Jahrhundert hinein die ständigen Begleiter der MathematikerInnen. |  |  |  | Logarithmus |
|  | Allerdings sind Zahlenkolonnen unanschaulich, und sehr viel Information springt aus einer Wertetabelle nicht gerade ins Auge. Es gibt eine viel bessere Methode, wichtige Eigenschaften von Funktionen mit einem Blick zu überschauen, nämlich eine graphische. Dieser wenden wir uns nun zu. |  |  |  |  |
|  | Funktionsgraphen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Vorbereitung: Graphische Darstellung von Wertetabellen Jede Zeile in einer Wertetabelle (siehe oben) besteht aus einem Paar von Zahlen: ein Wert für die unabhängige Variable (den wir wieder kurz x-Wert nennen), zusammen mit dem zugeordneten Funktionswert. Jedes solche Zahlenpaar kann graphisch als Punkt in einer Ebene dargestellt werden. |  |  |  |  |
|  | Dazu erinnern wir uns, daß die Ebene (Zeichenebene) mit zwei zueinander orthogonalen Achsen ausgestattet werden kann. Die Lage jedes Punktes ist dann durch zwei Zahlen (seinen Koordinaten) beschrieben. Nennen wir sie, wie üblich, x-Achse ("horizontal") und y-Achse ("vertikal"), so ist die Lage jedes Punktes durch ein Paar (x, y) von Koordinaten beschrieben, und umgekehrt stellt jedes gegebene Zahlenpaar die Lage eines Punktes dar. Ein in der Wertetabelle einer Funktion f auftretendes Zahlenpaar ist immer von der Form
(x, f(x)).
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Wir interpretieren nun dieses Paar als die Koordinaten eines Punktes in der Zeichenebene. Zu jedem beliebig vorgegebenen x-Wert wird also der zugehörige Funktionswert als y-Koordinate definiert. Damit kann jede Zeile einer Wertetabelle als Punkt gezeichnet werden, und eine ganze Tabelle entspricht dann mehreren Punkten. Sehen wir uns das anhand eines konkreten Beispiels an! Wir definieren
f (x) = x2 - 3
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d.h. f ist jene Funktion, die jeder reellen Zahl x die Zahl x2 - 3 zuordnet. Wir wählen nun für eine kleine Wertetabelle die drei x-Werte 0, 1 und 2. In der folgenden Graphik ist links die entsprechende Wertetabelle abgebildet. Die erste Zeile (blau) entspricht dem Zahlenpaar (0,-3), und dieses entspricht dem Punkt mit x-Koordinate 0 und y-Koordinate -3. Im rechten Teil der Graphik ist er (als Mittelpunkt des blauen Kreises) eingezeichnet. Die zweite (rote) und die dritte (grüne) Zeile der Wertetabelle entsprechen zwei weiteren Punkten, die ebenfalls eingezeichnet sind. Überprüfen Sie (durch Rechnung) die drei Funktionswerte (-3, -2 und 1) in der Wertetabelle! Überprüfen Sie die Positionen der drei Punkte anhand der Zahlen in der Wertetabelle! Die Wertetabelle enthält genausoviel Information wie die Position der drei Punkte: Haben Sie die Wertetabelle gegeben, so können Sie die drei Punkte einzeichnen. Falls Sie andererseits nur den rechten Teil der Graphik kennen, so können Sie durch Ablesen der Koordinaten der drei Punkte die Wertetabelle rekonstruieren. Das Koordinatensystem mit den drei Punkten ist nichts anderes eine graphische Darstellung der Wertetabelle. Nun betrachten wir dieselbe Funktion, aber eine umfangreichere Wertetabelle: Die Zeilen (Zahlenpaare) der Wertetabelle sind in denselben Farben wie die entsprechenden Punkte im x-y-Koordinatensystem eingezeichnet. Überprüfen Sie die Positionen der elf Punkte anhand der Zahlen in der Wertetabelle! Werden die Zahlen entlang der Achsen und die Hilfslinien weggelassen, so sieht die Graphik so aus: Wir sehen: besitzt die Wertetabelle einigermaßen viele Entragungen, so "nimmt die Funktion Gestalt an". In der Mathematik wird oft mit den so entstehenden "Gestalten" hantiert. Fassen wir zusammen, was uns dieses Beispiel sagt: Salopp wird die Vorschrift, einen Funktionsgraphen zu zeichnen so ausgedrückt, daß der zu einem Punkt auf der x-Achse gehörende Funktionswert "nach oben" (oder, wenn er negativ ist, "nach unten") aufgetragen wird. Oder, noch kürzer: x wird horizontal, f(x) wird vertikal aufgetragen. Die x-Achse bildet dabei das Reservoir an frei wählbaren Werten für die unabhängige Variable x. Ist umgekehrt ein Punkt mit Koordinaten (x, y) in der Zeichenebene gegeben, so stellt er graphisch die Wirkung der Funktion auf den Eingabe-Wert x dar. Der Funktionswert f(x) kann als y-Koordinate abgelesen werden. Jede solche Ablesung ist, logisch gesehen, genau dasselbe wie das Lesen einer Zeile in einer Wertetabelle (und das ist wiederum, logisch gesehen, genau dasselbe wie die einmalige Eingabe eines Werts in eine "Funktionsmaschine" (siehe oben) und das Ablesen des zugehörigen Ausgabe-Werts). Der Graph einer Funktion Wertetabellen haben den Nachteil, daß sie nur ausgewählte Beispiele für x-Werte beinhalten. Eine Wertetabelle beinhaltet immer weniger Information als die Funktion (die Zuordnungsvorschrift) selbst. Um dieser Einschränkung zu entkommen, definieren wir nun ein geometrisches Objekt, das alle möglichen x-Werte berücksichtigt: Definition: Der Graph einer Funktion f : R ® R ist die Menge aller Paare (x, f(x)). R ist wie immer die Menge der reellen Zahlen. Die Funktion f ordnet jeder reellen Zahl einen Funktionswert zu, und der Graph ist die Menge aller Paare (unabhängiger Variablenwert, Funktionswert). In der Mengenschreibweise ist er |  |  |  | Koordinaten |
{ (x, f(x) | x Î R }
| (12)
Erinnern Sie sich an die Bedeutung dieser Schreibweise! Sie wird gelesen als "die Menge aller Paare (x, f(x)), für die gilt: x ist Element von R". Da die Zeichenebene mit der Menge aller Zahlenpaare identifiziert wird, kann der Graph einer Funktion als Teilmenge der Zeichenebene betrachtet werden. Für die meisten uns interessierenden Funktionen ist er eine Kurve (eine Gerade oder eine gebogene Linie). Das sehen wir uns wieder an dem Beispiel der durch f (x) = x2 - 3 definierten Funktion f an (siehe oben). Ihr Graph sieht so aus: |  |  |  | Mengen und ihre Beschreibung |
|  | Vergleichen sie ihn mit der oben wiedergegebenen graphischen Darstellung einer Wertetabelle aus elf Zeilen! Jede Zeile der Wertetabelle entspricht einem Punkt auf dieser Kurve. (Letztere heißt übrigens Parabel - wie werden ihr noch öfter begegnen; siehe auch die Besprechung der Graphen einfacher Polynomfunktionen (unten). Am Bildschirm (oder in jeder realen Zeichnung) ist ein Funktionsgraph nichts anderes als die graphische Darstellung einer umfangreichen Wertetabelle. Stellen Sie sich vor, eine Wertetabelle unserer Funktion f mit zweihundert x-Werten (zwischen x = -2.5 und x = 2.5) zur Verfügung zu haben. Zeichnen Sie jede Zeile als kleinen roten Fleck (Pixel) in ein Diagramm, so wird das Resultat wie die obige Kurve aussehen. Dieser praktische Aspekt des Graphen ist jedoch von seiner exakten mathematischen Bedeutung - als Menge aller Paare (x, f(x)) - zu unterscheiden. Für die meisten Funktionen, mit denen wir zu tun haben werden, ist der Graph eine kontinuierliche Linie - im Unterschied zur graphischen Darstellung einer Wertetabelle, die nur aus einzelnen, voneinander getrennten Punkten besteht (was - im Unterschied zu kontinuierlich - auch diskrete Struktur genannt wird). Funktionsgleichung Es gibt eine zu (12) alternative Schreibweise, die sehr wichtig ist. Für die x- und y-Koordinaten jedes Punktes eines Funktionsgraphen gilt y = f(x). Daher läßt sich der Graph auch als
{ (x, y) Î R2 | y = f (x) }
| (13)
schreiben, d.h. als Menge aller Punkte in der Ebene, für deren x- und y-Koordinate die Gleichung
y = f(x)
| (14)
|  |  |  | Parabel (in Vorbereitung) |
|  | erfüllt ist. Diese wird als Funktionsgleichung bezeichnet. Sie ist eine Gleichung in den zwei Variablen x und y. Jeder Punkt mit Koordinaten (x, y), für den sie eine wahre Aussage ist, ist Element des Graphen von f. (Der Graph tritt hier also als Lösungsmenge einer Gleichung in zwei Variablen auf). Um die Wirkung einer Funktion zu beschreiben, wird anstelle einer Angabe wie f (x) = x2 - 3 manchmal die Funktionsgleichung (die hier y = x2 - 3 heißt) als noch kürzere Beschreibung verwendet. Um die Abhängigkeit der y- von der x-Koordinate zu betonen, kann auch y(x) = x2 - 3 geschrieben werden. |  |  |  | Gleichungen und Lösungsmenge |
|  | Die Definition (13) ist Spezialfall einer allgemeineren Beschreibung von Kurven in der Zeichenebene. Graph und Kurve Kurven und (Graphen von) Funktionen hängen miteinander zusammen, sind aber nicht ganz dasselbe. Frage: Ist jede Kurve in der Zeichenebene der Graph einer Funktion? Antwort: Nein, aber man kann einer Kurve leicht ansehen, ob sie Graph einer Funktion ist oder nicht: Hat eine Kurve die Eigenschaft, daß es zu jeder gegebenen x-Koordinate genau einen Punkt gibt, der auf der Kurve liegt, so ist sie der Graph einer Funktion f : R ® R. Jeder Zahl x kann auf diese Weise der Funktionswert als y-Koordinate des entsprechenden (eindeutig bestimmten) Punktes zugeordnet werden. Hat eine Kurve in der Zeichenebene die Eigenschaft, daß es zu irgendeiner gegebenen x-Koordinate mehrere Punkte gibt, die auf der Kurve liegen, so ist sie nicht Graph einer Funktion. |  |  |  | Kurven (in Vorbereitung) |
|  | Zwei Beispiele, die das illustrieren, können Sie mit Hilfe des nebenstehenden Buttons aufrufen. Geometrisch bedeutet das: Eine Kurve, die eine zur y-Achse parallele Gerade in mehreren Punkten schneidet, ist nicht Graph einer Funktion. Falls nötig: Definitionsbereich beachten! Bisher haben wir nur über Graphen von Funktionen R ® R gesprochen. Ist der Definitionsbereich A (siehe oben) einer Funktion f : A ® B eine Teilmenge von R (d.h. die Wirkung der Funktion ist nur für x Î A definiert), so ist der Graph
{ (x, f(x) | x Î A }
| (15)
Beachten Sie den kleinen Unterschied zu (12) ! Beispiel: Die Funktion x ® 1/x (das Invertieren, siehe oben) ist für x = 0 nicht definiert. Ihr Graph besteht daher nur aus Punkten, deren x-Koordinate von Null verschieden ist. Dementsprechend zerfällt er in zwei voneinander getrennte Kurven - wir werden ihn unten besprechen. |  |  |  |  |
|  | Graphen einfacher Potenzfunktionen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | In diesem Abschnitt wollen wir einige konkrete Funktionsgraphen besprechen. Sie treten in abgewandelter Form auch oft bei allgemeineren Funktionen auf und bilden wichtige "Bausteine" unseres Verständnisses von Funktionen. Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form
x ® xn
| (16)
d.h. eine Funktion, deren Termdarstellung eine Potenz der unabhängigen Variablen ist. Dabei steht n (der Exponent) für eine fix vorgegebene Zahl. Wir wollen hier vor allem die Werte n = 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3 und -4 betrachten. |  |  |  |  |
|  | Dabei bedeuten negative Exponenten das zusätzliche Bilden des Kehrwerts: x-1 bedeutet einfach 1/x, x-2 bedeutet 1/x2, usw. Wir werden den Grund für diese Schreibweise in einem späteren Kapitel besprechen. Für n = 1 ergibt sich x ® x, d.h. jene Funktion, die jeden x-Wert sich selbst zuordnet (die sogenannte identische Funktion). Sie können die Graphen dieser Funktionen (und noch zwei weiterer, damit verwandter) betrachten, indem Sie auf den Button klicken. Folgender Button ruft eine kurze Besprechung dieser Funktionen auf. (Manche der Graphen sind Kurven, die in den verschiedensten Zusammenhängen auftreten und eigene Namen erhalten haben, insbesondere: erste und zweite Mediane, Parabel, Hyperbel). |  |  |  | negative Exponenten |
|  | Anhand dieser zehn Beispiele läßt das Verständnis dafür schärfen, wie sich die Zuordnungs-Vorschrift einer Funktion in ihrem Graphen wiederspiegelt. Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie einige weiterführende Übungsfragen über die ersten sechs dieser Funktionen (jene mit positivem Exponenten) aufrufen. |  |  |  |  |
|  | Die letzten vier Funktionen weisen negative Exponenten auf. Wir können sie als x ® x-q für q = 1, 2, 3 und 4 schreiben. Sie haben einige besondere Eigenschaften. Sie sind bei x = 0 nicht definiert, und ihre Graphen zerfallen in zwei getrennte Äste. Weiters nähern sich diese Äste "weit draußen" den beiden Achsen an. (Geraden mit dieser Eigenschaft werden Asymptoten genannt. Wir werden später ausführlicher über solche Phänomene sprechen). |  |  |  | Asymptoten |
|  | Eigenschaften von Funktionen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Dieser Abschnitt macht Sie mit einigen Begriffen, Zusammenhängen und Methoden bekannt, die bei der Anwendung und Analyse von Funktionen hilfreich sind. Sie kommen in vielen Teilgebieten der modernen Mathematik zum Einsatz. Definitionsbereich, Wertebereich Eine Funktion f ordnet, ganz allgemein gesprochen, jedem Element einer Menge A ein (eindeutig bestimmtes) Element einer Menge B zu. Wird eine Funktion definiert, so müssen genau genommen beide Mengen A, B und die Zuordnungsvorschrift f angegeben werden. Bei der Wahl der Menge B besteht einige Freiheit. Es muß nur sichergestellt werden, daß alle Funktionswerte in B liegen - mit anderen Worten, B muß "groß genug" sein. In den von uns am häufigsten betrachteten Fällen bestehen A und B aus reellen Zahlen, sind also entweder R oder Teilmengen von R. Man kann dann immer B = R setzen, da ja f (x) für jedes x Î A eine reelle Zahl ist. Wie bereits oben erwähnt, heißt die Menge A der Definitionsbereich der Funktion f. Ist f durch einen Term gegeben (siehe oben), so ist der Definitionsbereich zunächst die Menge aller x-Werte, für die der Term wohldefiniert ist. (Manchmal wird die Wirkung einer Funktion nur für eine Teilmenge dieses Bereichs benötigt. Dann kann die Menge A entsprechend "verkleinert" werden). Die Menge aller Elemente von B, die von der Funktion "getroffen werden", d.h. die als Funktionswert von zumindest einem x Î A auftreten, heißt Wertebereich (oder Bild) der Funktion f. Für ihn wird manchmal die Schreibweise f (A) verwendet. Damit ist gemeint: { f(x) | x Î A }. Der Wertebereich ist entweder die Menge B selbst oder eine Teilmenge davon. Der Wertebereich kann als "Menge aller am Graphen auftretenden y-Werte" ermittelt werden. Es gibt dafür eine nette Veranschaulichung: Ist der Graph einer Funktion eine "schöne" Kurve, so kann man ihn sich als Landstraße und die y-Koordinate jedes Punktes als dessen Seehöhe vorstellen. Die x-Achse entspricht dann dem Meeresniveau. Fährt ein Fahrzeug mit Höhenmesser die Straße entlang, so ist der Wertebereich de Funktion die Menge aller Höhen, die zumindest einmal gemessen werden. Ist die Funktion an der Stelle x = 0 definiert (d.h. ist 0 Î A), so ist f (0) ein besonders wichtiges Element des Wertebereichs: Diese Zahl bestimmt den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse: sie einfach ist dessen y-Koordinate! Nullstellen Seien A und B Teilmengen von R und f : A ® B eine Funktion. Eine Nullstelle der Funktion f ist ein x Î A, für das f (x) = 0 ist. (Eine Stelle, an der die Funktion Null ist). Nullstellen können leicht erkannt werden, wenn der Graph der Funktion einmal gezeichnet ist: Jedem Paar (x, f(x)) entspricht ein Punkt auf dem Graphen der Funktion. Ist x eine Nullstelle, so hat das Paar die Form (x, 0). Die y-Koordinate ist 0, was bedeutet, daß der Punkt auf der x-Achse liegt! Daher sind die Nullstellen genau die x-Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse! Zusammenhang zwischen Funktionen und Gleichungen Nun kommt etwas Wichtiges: Ist f : A ® B eine Funktion, so ist die "Behauptung"
f(x) = 0
| (17)
|  | im Allgemeinen für die meisten x Î A falsch. Nur für manche x Î A (falls überhaupt) stellt sie eine wahre Aussage dar. Genau diese Situation haben wir früher bereits kennengelernt: Die Aussage (17) ist eine Gleichung. Jede Lösung dieser Gleichung ist eine Nullstelle der Funktion f, und jede Nullstelle der Funktion ist eine Lösung der Gleichung. Nullstellen werden berechnet durch das Lösung einer Gleichung! (Als Beispiele dafür werden wir weiter unten einfache Polynomfunktionen besprechen). Gehen wir umgekehrt von einer Gleichung der Form f (x) = 0 aus, wobei f (x) ein gegebener Term ist, so sind deren Lösungen gerade die Nullstellen der Funktion x ® f (x). Das führt auf eine allgemeine Methode zum näherungsweisen Lösen von Gleichungen der Form f (x) = 0. Sie ist verblüffend einfach: Man zeichne den Graphen der Funktion x ® f (x) und bestimme (näherungsweise) dessen Schnittpunkte mit der x-Achse! Diese Methode wird graphisches Lösen von Gleichungen genannt. |  |  |  | Gleichungen |
|  | Daneben stehen noch andere Methoden zur Verfügung, Lösungen von Gleichungen nägerungsweise zu finden. Wir werden in späteren Kapiteln einige solcher numerischen Lösungsmethoden kennen lernen: Die "Bisektionsmethode" ist ein computerbasiertes Verfahren, das breite Anwendungsmöglichkeiten besitzt. Das so genannte "Newton-Verfahren" wird im Rahmen der Differentialrechnung behandelt. Auf Nullstellen von Polynomfunktionen höherer Ordnung werden wir in einem Exkurs des zweiten Funktionenkapitels eingehen. Dort werden wir auch Nullstellen verschiedenen Typs (verschiedener "Ordnung") begegnen. |  |  |  | Bisektionsmethode (in Vorbereitung) Newton-Verfahren * Nullstellen von Polynomen |
|  | Achtung: Falls der Term f (x) nicht für alle x Î R definiert ist, müssen die nicht erlaubten Stellen aus R entfernt werden, damit die Zuordnungsvorschrift x ® f (x) überhaupt wohldefiniert ist. Der so entstehende Definitionsbereich der Funktion f (vergleiche auch oben) ist nichts anderes als die Definitionsmenge der entsprechenden Gleichung. Diese Methode besitzt eine Verallgemeinerung: Eine Gleichung der Form g(x) = h(x) kann entweder in die obige Form gebracht werden (denn sie ist äquivalent zu g(x) - h(x) = 0, wobei also jetzt die Differenz g(x) - h(x) die Rolle von f (x) spielt), oder es werden die Graphen der beiden Funktionen g und h gezeichnet. Sie werden einander (möglicherweise) in einigen Punkten schneiden. Die x-Koordinaten dieser Schnittpunkte sind dann genau die Lösungen der gegebenen Gleichung. |  |  |  | Definitionsmenge einer Gleichung |
|  | An dieser Stelle ist es sinnvoll, das Applet Funktion und Funktionsgraph durch nebenstehenden Link aufzurufen. Es hilft Ihnen, sich die Dinge, von denen hier die Rede ist, besser vorzustellen und mit der mathematischen Symbolsprache zu verbinden. Die Arbeit, den Graphen einer gegebenen Funktion zu zeichnen, kann heute der Computer übernehmen. Er hilft auch dabei, Nullstellen (oder Schnittpunkte zweier Graphen) mit hoher Genauigkeit zu ermitteln.. Wir werden unten über den mathe online Funktions-Plotter sprechen, der Sie mit Hilfe seiner Zoom-Funktion in die Lage versetzt, die meisten Gleichungen, mit denen Sie konfrontiert werden, näherungsweise zu lösen. Positivität Ist die Funktion f an der Stelle x positiv (d.h. f (x) > 0), dann hat der entsprechende Punkt des Graphen eine positive y-Koordinate: der Punkt liegt "oberhalb" der x-Achse. Ist der Funktionswert negativ, so liegt der entsprechende Punkt "unterhalb" der x-Achse. Funktionen können in manchen Intervallen positiv, in anderen Intervallen negativ sein. Die Grenzen dieser Intervalle bilden die Nullstellen. Monotonie Eine Funktion f heißt monoton wachsend (monoton steigend), wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht kleiner wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) £ f (x2) ist. streng monoton wachsend (streng monoton steigend), wenn der Funktionswert mit größer werdendem x größer wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) < f (x2) ist. monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x nicht größer wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) ³ f (x2) ist. streng monoton fallend, wenn der Funktionswert mit größer werdendem x kleiner wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) > f (x2) ist. |  |  |  | Applet Funktion und Funktionsgraph |
|  | Diese vier Monotonie-Typen können leicht am Graphen erkannt werden als "ansteigen-oder-gleichbleiben", "ansteigen", "abfallen-oder-gleichbleiben" und "abfallen", während die x-Koordinate nach "rechts" wandert. Eine Funktion kann natürlich in verschiedenen Intervallen verschiedene Monotonie-Eigenschaften besitzen. (Diese werden dann manchmal als Monotonie-Intervalle oder Monotonie-Bereiche bezeichnet). Monotone Funktionen dienen der Modellierung von Zu- und Abnahmeprozessen (Wachstum und Zerfall), wie anhand der Exponentialfunktionen in einem späteren Kapitel ausführlich diskutiert werden wird. In einem darauffolgenden Kapitel werden sie bei der Analyse von dynamischen Systemen auftreten. Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Injektiv, surjektiv, bijektiv Sei f : A ® B eine Funktion. Sie heißt |  |  |  | Intervall Wachstum dynamische Systeme (in Vorbereitung) |
|  | injektiv, wenn jedes Element der Menge B höchstens einmal getroffen wird, d.h. wenn zwei verschiedene x-Werte immer auch verschiedene Funktionswerte haben (in Formeln: wenn aus x1 ¹ x2 folgt, daß f (x1) ¹ f (x2) ist), surjektiv, wenn jedes Element von B getroffen wird, d.h. wenn der Wertebereich (siehe oben) gleich der ganzen Menge B ist, bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall definiert sie eine exakte Entsprechung ("Eins-zu-eins-Zuordnung") zwischen Elementen der Menge A und Elementen der Menge B. Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die sogenannte inverse Funktion (Umkehrfunktion oder einfach Inverse) f -1 : B ® A . Eine bijektive Funktion wird daher auch als invertierbar (umkehrbar) bezeichnet. Wir werden im zweiten Funktionenkapitel mehr über das Bilden der inversen Funktion erfahren. Zur Schreibweise: f -1(x) ist nicht zu verwechseln mit f (x) -1 º 1/ f (x); hier ist die Notation leider nicht konsistent. Manchmal wird die zu f : x ® f(x) inverse Funktion auch in der Form x : f ® x( f ) angeschrieben. Diese Schreibweise drückt die Umkehrung der Zuordnungsvorschrift besonders deutlich aus. Dabei ist allerdings zu beachten, dass x nun eine Funktion bezeichnet und f für die unabhängige Variable steht. Ist eine Funktion f : A ® B injektiv, so kann sie leicht zu einer bijektiven Funktion modifiziert werden, indem die Menge B durch den Wertebereich von f ersetzt, die Wirkung von f aber ansonsten gleichgelassen wird. Insofern "steckt" in jeder injektiven Funktion eine bijektive. Der Ausduck "eineindeutig" wird manchmal für bijektiv, manchmal für injektiv verwendet (und sollte aufgrund dieser Mehrdeutigkeit vermieden werden). |  |  |  | mehr über die inverse Funktion |
|  | Diese Begriffe dienen - neben anderen Zwecken - dazu, Mengen miteinander zu vergleichen. Sie gewähren tiefe Einblicke in die Natur von Mengen, die unendlich viele Elemente haben. Existiert etwa zwischen zwei Mengen eine bijektive Funktion, so sind sie "gleich groß" (genauer: gleichmächtig - ein Begriff, der uns schon früher begegnet ist). In gewissem Sinn kann man sie dann miteinander identifizieren. (Bei der Besprechung der Grundlagen der Mengenlehre haben wir solche Mengen auch als zueinander "isomorph" bezeichnet. Eine bijektive Funktion wird in diesem Zusammenhang auch als Isomorphismus bezeichnet). |  |  |  | gleichmächtig und isomorph |
|  | Graphen einfacher Polynomfunktionen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Funktionen, die durch ein Polynom (eine "ganzrationale Funktion") nullter, erster oder zweiter Ordnung definiert werden, werden häufig benötigt. Sie können eine systematische Zusammenstellung der dabei auftretenden Typen aufrufen, indem Sie auf den Button. |  |  |  | Polynome |
|  | klicken. Die Koeffizienten des jeweiligen Polynoms sind mit d, k, a, b und c bezeichnet. Sie können beliebig vorgegeben werden. Die Graphen dieser Funktionen sind entweder Geraden oder Parabeln. Ihre Lage hängt von den jeweiligen Koeffizienten ab. Konstante Funktionen und Funktionen erster Ordnung ... |  |  |  | Koeffizienten |
|  | ... sind Polynomfunktionen (nullter und) erster Ordnung, d.h. von der Form x ® k x + d, werden also durch zwei Koeffizienten k und d charakterisiert und haben immer eine Gerade als Graphen. Achtung - kleines Bezeichnungs-Wirrwarr: Diese Funktionen werden manchmal unter dem Sammelnamen lineare Funktionen zusammengefaßt. Nach einem anderen Bezeichnungssystem wird der Begriff lineare Funktion allerdings nur dann verwendet, wenn d = 0 ist. Falls nötig, kann dieses Wirrwarr einigermaßen gelöst werden, indem der Fall d = 0 als linear-homogen bezeichnet wird, während der Begriff linear-inhomogen für den Fall d ¹ 0 reserviert ist. |  |  |  |  |
|  | Der Koeffizient d ist der zum x-Wert 0 gehörende Funktionswert. Er wird kurz Abschnitt auf der y-Achse (oder Ordinaten-Abschnitt) genannt und bezeichnet die y-Koordinate des Schnittpunkts zwischen der Geraden und der y-Achse. Der Koeffizient k ist ein Maß für die "Steilheit" der Geraden. Er heißt Anstieg oder Steigung. Die Beschreibung der Lage von Geraden in einem Koordinatensysten und die Bedeutung der beiden Koeffizienten k und d wird in einem anderen Kapitel ausführlicher besprochen. |  |  |  | Beschreibung von Geraden |
|  | Es gibt mehrere Methoden, die Lage des Graphen einer gegebenen Funktion erster Ordnung zu ermitteln. Die einfachste ist, zwei Punkte zu finden, die auf ihm liegen (also eine Wertetabelle mit zwei Zeilen zu erstellen) und in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Da der Graph eine Gerade ist, kann diese dann sofort mit Hilfe eines Lineals gezogen werden. Ist k ¹ 0, so besitzt die Funktion genau eine Nullstelle. Sie rechnerisch zu ermitteln (siehe oben) bedeutet, eine lineare Gleichung zu lösen. Daher kann der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse sehr leicht vorausgesagt werden. |  |  |  | lineare Gleichungen |
|  | Ist umgekehrt eine (nicht zur y-Achse parallele) Gerade gegeben, so ist sie der Graph einer konstanten Funktion (falls sie parallel zur x-Achse ist) oder einer Funktion erster Ordnung (sonst). Funktionen zweiter Ordnung (quadratische Funktionen) ... ... sind Polynomfunktionen zweiter Ordnung, d.h. von der Form x ® a x2 + b x + c (mit a ¹ 0), werden also durch drei Koeffizienten a, b und c charakterisiert und haben immer eine Parabel als Graphen. |  |  |  |  |
|  | Parabeln sind altehrwürdige Kurven. Ihre geometrischen Eigenschaften werden in einem anderen Kapitel genauer besprochen. Beispiele für Funktionen zweiter Ordnung haben wir in diesem Kapitel bereits kennengelernt: Die "Quadrierfunktion" x ® x2 bei der Besprechung der Funktion als Input-Output-Maschine (oben) und die Funktion x ® x2 - 3 bei der Besprechung des Konzepts des Funktionsgraphen (oben). Die Lage des Graphen einer Funktion zweiter Ordnung wird durch eine Analyse des sie definierenden quadratischen Terms ermittelt. Je nach dem Vorzeichen von a ist die Parabel nach ober oder nach unten offen. Der Absolutbetrag von a entscheiden über die Form der Parabel: Ist |a| < 1, ist die flacher, ist |a| > 1, ist sie steiler als die "Einheitsparabel" (d.h. jene für a = 1). |  |  |  | Parabel (in Vorbereitung) |
|  | Quadratische Ausdrücke sind uns bereits in einem früheren Kapitel früher begegnet. Einige ihrer Eigenschaften bekommen nun eine anschauliche geometrische Bedeutung: Quadratische Funktionen können zwei, eine oder keine Nullstelle besitzen, da eine Parabel - je nach ihrer Lage - die x-Achse in zwei, einem oder keinem Punkt schneiden kann. Das ist der geometrische Hintergrund der Tatsache, daß quadratische Gleichungen zwei, eine oder keine Lösung besitzen können! |  |  |  | Applet Quadratische Gleichungen 2 |
|  | Auf diese Weise verhilft uns der Begriff der Funktion zu einem tieferen Verständnis quadratischer Ausrdücke und quadratischer Gleichungen. Beispiel: Die Nullstellen der oben besprochenen Funktion x ® x2 - 3 sind die Lösungen der Gleichung x2 - 3 = 0, d.h. x = ±Ö3 » ±1.732. Das sind gerade die x-Koordinaten der Schnittpunkte des obigen Graphen mit der x-Achse. Der Spieß kann natürlich umgedreht werden: Ist die Gleichung x2 - 3 = 0 zu lösen, so gibt der obige Graph der zugehörigen Funktion x ® x2 - 3 Aufschluß über Anzahl und (näherungsweisen) Wert der Lösungen. Das ist ein Spezialfall der oben besprochenen allgemeinen Methode zum (zumindest näherungsweisen) Lösen einer Gleichung. |  |  |  | quadratische Gleichungen |
|  | Die Position der Parabel (insbesondere ihres "untersten" bzw. "obersten" Punktes, des sogenannten Scheitels) kann rechnerisch durch eine Methode ermittelt werden, die wir bereits früher im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen kennengelernt haben: das Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat (oder, was auf dasselbe hinausläuft, durch eine Anwendung des Satzes von Vieta). Dies wird in einem anderen Kapitel genauer besprochen. |  |  |  | Beschreibung von Parabeln (in Vorbereitung) |
|  | Mit Hilfe der zwei nebenstehenden Puzzle-Applets können Sie Ihre Fertigkeit, Funktionsausdrücke und Graphen einander zuzuordnen, üben. Dabei geht es hauptsächlich um Funktionen erster und zweiter Ordnung. Erschrecken Sie nicht, wenn auch eine Funktion dritter Ordnung dabei vorkommt. Erinnern Sie sich an die in diesem Kapitel dargestellten Zusammenhänge zwischen Funktionen und Graphen, um die Aufgaben zu lösen. In der nebenstehenden Flash-Lernhilfe können Sie den ungefähren Verlauf der Graphen vorgegebener (linearer und quadratischer) Funktionen durch Mausziehen "zeichnen" und mit den genauen Graphen vergleichen. |  |  |  | Applets Funktionen erkennen 1 und Graphen erkennen 1 Flash Graphen zeichnen |
|  | Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Funktionen dritter Ordnung ... ... werden durch Polynome dritter Ordnung dargestellt, d.h. sie sind von der Form x ® a x3 + b x2 + c x + d (mit a ¹ 0), werden also durch vier Koeffizienten a, b, c und d charakterisiert und auch kubische Funktionen (kubische Polynome) genannt. Wir besprechen sie hier nicht im Detail, sondern erwähnen lediglich, daß die Nullstellen einer solchen Funktion durch die Gleichung dritter Ordnung (kubische Gleichung)
a x3 + b x2 + c x + d = 0
| (18)
bestimmt werden. Ist umgekehrt eine kubische Gleichungen gegeben, so läßt sich der Graph der zugehörigen Funktion leicht zeichnen und die Gleichung graphisch lösen wie oben besprochen. Kubische Gleichungen können drei, zwei, eine oder keine Lösung haben, und dasselbe gilt für die Zahl der Nullstellen einer Funktion dritter Ordnung. Wir werden im zweiten Funktionenkapitel näher auf Polynomfunktionen höherer Ordnung eingehen. |  |  |  | Nullstellen von Polynomen |
|  | In diesem Kapitel haben wir viel über die Zusammenhänge zwischen Funktionen und Graphen und über die Zusammenhänge zwischen Funktionen und Gleichungen gesagt. Nebenstehend finden Sie Links auf ein Applet und ein Excel-Spreadsheet, die Ihnen die Möglichkeit geben, diese Informationen auf Funktionen bis zur dritten Ordnung anzuwenden und Ihr Verständnis dieser Dinge zu überprüfen. Sie können die Graphen dieser Funktionen betrachten und dazu benützen, quadratische und kubische Gleichungen graphisch lösen. |  |  |  | Applet Polynom höchstens dritter Ordnung |
|  | Neben graphischen gibt es auch weitere (numerische) Methoden zum Auffinden von Nullstellen, d.h. zum Lösen von Gleichungen - wir sind oben kurz darauf eingegangen. Ein auf dem Computer-Algebra-System Mathematica beruhendes Werkzeug, das polynomische Gleichungen numerisch (und bei niedriger Ordnung auch exakt) lösen kann, ist vom MathServ Project der Vanderbilt University. Der Graph der Differenz aus linker und rechter Seite wird gleich mitgeliefert. Das Java-Applet Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades von der Universität Bayreuth arbeitet rein numerisch, dafür aber schneller. (Achtung: das eingegebene Polynom muß zumindest von zweiter Ordnung sein). |  |  |  | Excel Koeffizienten und Graphen der Polynome dritter Ordnung |
|  | Graphen können Ecken haben |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Die Graphen mancher Funktionen haben Ecken. Dies kann insbesondere dann auftreten, wenn die Funktion durch Fallunterscheidungen (siehe oben) definiert ist oder die Betragsfunktion (siehe oben) enthält. Der nebenstehende Button ruft zwei Beispiele dafür auf. Denken Sie bitte nach, warum die beiden Graphen eine solche Form haben! Eine Illustration, wie wichtig Funktionen, die keine "schöne" Termdarstellung und keinen einfachen Graphen besitzen, in der Praxis sind, zeigt die nebenstehende Flash-Animation anhand der graphischen Aufzeichnung einer Temperaturmessung. Darüberhinaus stellt sie eine weitere Illustration des Begriffs des Funktionsgraphen dar. |  |  |  | Flash Temperaturkurve |
|  | Funktions-Plotter |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | mathe online bietet Ihnen als bequeme Möglichkeit, die Graphen von Funktionen im Detail zu studieren, den Sie können einen oder mehrere Terme eingeben, die entsprechenden Graphen betrachten und den Bildausschnitt näher an einzelne Punkte zoomen. Da die Koordinaten der Cursorposition angezeigt werden, können Sie numerische Informationen - wie die Lage von Nullstellen oder die Position der Schnittpunkte zweier Graphen - mit hoher Genauigkeit ermitteln. Sie sind daher auch in der Lage, Gleichungen graphisch zu lösen (wir haben oben eine allgemeine Methode zum näherungsweisen Lösen von Gleichungen besprochen). Sie werden dieses Werkzeug, ein Java-Applet, oft verwenden können. (Sie können es auch vom Kapitel Funktionen 1 der Galerie und von unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge - Kategorie Online-Werkzeuge > Funktionen und graphische Darstellungen - aus aufrufen). Als Alternative stellen wir einen Excel-Plotter zur Verfügung. In ihm darf der eingegebene Funktionsterm unbestimmte Konstanten enthalten, die dann per Schieberegler dynamisch verändert werden können. Weitere Programme zum Plotten von Funktionsgraphen finden Sie in den meisten mathematischen Softwarepaketen. Einige davon sind auch online über das Web zugänglich. Wir weisen insbesondere auf das im Rahmen des MathServ Project an der Vanderbilt University zur Verfügung gestellte Werkzeug Nach Eingabe einer oder mehrerer Funktionen werden die Graphen geplottet. Die Berechnung übernimmt das Computer-Algebra-System Mathematica. Ein weiteres Werkzeug zur Analyse von Funktionsgraphen ist der in Form eines Java-Applets an der Universität Bayreuth entwickelte grafische Taschenrechner. In diesem Kapitel haben wir die Graphen einiger konkreter Funktionen kennengelernt. Wir werden uns später mit weiteren Funktionsgraphen beschäftigen. |  |  |  | Funktionen 2 |

| Die in diesem Kapitel empfohlenen Web-Ressourcen: |  | Weitere Angebote von mathe online zum Thema:
Nullstellen von Polynomen bis 4. Grades grafischer Taschenrechner sind Werkzeuge zur Analyse von Funktionen, ihrer Graphen und Nullstellen. | Zum Kapitel Funktionen 1 der Galerie Applet Quadratische Gleichungen 2 Excel-Plotter Hinweis: In unserer unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge finden Sie unter der Kategorie Online-Werkzeuge > Funktionen und graphische Darstellungen zahlreiche weitere im Web angebotene Tools, die beim Analysieren (verschiedener Eigenschaften) von Funktionen extrem hilfreich sind. Siehe auch die interaktiven Tests zum Thema.

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