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Beweis von (25) - Variablensubstitution im bestimmten Integral:

x2 |  | u2 |
ò | f(x) d x = | ò | f(x(u)) x'(u) d u
x1 |  | u1 |
| (25)

Dabei sind die Grenzen x1 und u1 (sowie x2 und u2) einander entsprechende Werte (d.h. u1 = u(x1) und u2 = u(x2) oder, was dasselbe bedeutet, x1 = x(u1) und x2 = x(u2)).
Wir beweisen diese Aussage für den Fall, dass f eine Stammfunktion F besitzt (obwohl sie allgemeiner gilt):
Beweis:
Wir rechnen die rechte Seite von (25) genauer aus und zeigen, dass sie gleich der linken Seite ist. Da F ' = f, ist der Integrand auf der rechten Seite von (25)
F '(x(u)) x'(u).
Nach der Kettenregel, die wir im Kapitel Differenzieren 1 kennen gelernt haben, ist das aber genau

d d u |  | F(x(u)) .

Damit können wir die rechte Seite von (25) berechnen:

u2 |  | d d u |  |
ò |  | F(x(u)) d u = F(x(u2)) - F(x(u1)) = F(x2) - F(x1) ,
u1 |  |

was klarerweise mit der linken Seite übereinstimmt. Damit ist (25) bewiesen.