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Weitere Eigenschaften von Tangens und Cotangens:
Ohne Beweis sei hier eine Reihe weiterer Identitäten, die Tangens und Cotangens enthalten, wiedergegeben. Sie gelten für alle Winkel a und b.

tan(-a)
=
-tan a
cot(-a)
=
-cot a
tan(90° - a)
=
cot a
cot(90° - a)
=
tan a
tan(a + b)
=
| tan a + tan b 1 - tan a tan b |
cot(a + b)
=
| cot a cot b - 1 cot a + cot b | .

Die vierte dieser Identitäten - der Summensatz für den Tangens - ist besonders interessant. Betrachten wir zwei Geraden wie in der folgenden Sizze:

- a ist der Steigungswinkel der roten Geraden (d.h. ihr Winkel relativ zur x-Richtung).
- b ist der Winkel, um den die blaue Gerade relativ zur roten geneigt ist.

Der Steigungswinkel blauen Geraden (d.h. ihr Winkel relativ zur x-Richtung) ist dann klarerweise die Summe der beiden Winkel: a + b.
Stellen wir uns nun vor, dass wir die Gepflogenheit haben, anstelle eines Winkels immer seinen Tangens anzugeben, d.h. Winkeln immer durch Anstiege ausdrücken:

- tan a ist der Anstieg der roten Geraden.
- tan b ist der "Anstieg der blauen Geraden relativ zur roten". Das bedeutet: Wird die rote Gerade als Richtung einer neuen, gedrehten Koordinaten-Achse (nennen wir sie die x'-Richtung) aufgefasst, so ist tan b der in Bezug auf diese x'-Richtung bezogene Anstieg der blauen Geraden. Um einen solchen "relativen Anstieg" zu messen, zeichnen wir ein Steigungsdreieck "relativ" zur x'-Richtung
  und geben den relativen Anstieg als Quotient D y'/D x' an. Dieser ist wiederum nichts anderes als tan b.

Der Anstieg der blauen Geraden (im üblichen Sinn, d.h. relativ zur x-Richtung) ist nun nicht die Summe der relativen Anstiege, sondern durch die vierte der obigen Identitäten wiedergegeben:

tan(a + b)
=
| tan a + tan b 1 - tan a tan b
| .

Sie kann also als "Additions"regel für relative Anstiege interpretiert werden, wobei die Anführungszeichen ausdrücken, dass es sich nicht einfach um die Summe handelt, sondern um einen etwas komplizierteren Ausdruck. Sind die Winkeln a und b sehr klein, so ist der Nenner nahe bei 1. In diesem Fall dürfen wir näherungsweise die gewöhnliche Summe bilden.
Wir können diese Regel auch so formulieren:

- Sei k = tan a. Das ist der Anstieg der der roten Geraden relativ zur x-Richtung.
- Sei k' = tan b. Das ist der Anstieg der blauen Geraden relativ zur roten Geraden.
- Sei k'' = tan(a + b). Das ist der Anstieg der blauen Geraden relativ zur x-Richtung.

Dann ist

k''
=
| k + k' 1 - k k'
| ,

und wir könnten diese Größe als k Å k' bezeichnen, mit Å als dem Symbol für die "Addition" von relativen Anstiegen. Mit dieser Regel ausgerüstet, können wir den Zusammenhang zu den Winkeln "vergessen" und lediglich die relativen Anstiege verwenden.
Das ist ein Beispiel dafür, dass in der Mathematik die "Addition" von Objekten (in diesem Fall von relativen Anstiegen) manchmal auf eine etwas ungewöhnliche - aber durchaus sinvolle - Weise definiert werden kann. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die obige Art, relative Anstiege miteinander zu verknüpfen, die grundlegenden Eigenschaften, die man von einer Addition erwarten würde, besitzt:

- Es kommt nicht auf die Reihenfolge an (in der obigen Regel dürfen k und k' vertauscht werden).
- Bei der "Addition" von drei relativen Anstiegen kommt es nicht darauf an, welche beiden zuerst "addiert" werden. (Versuchen Sie, das selbst zu verifizieren!)