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Beweis, daß Ö2 irrational ist:
Der folgende Beweis war bereits in der Antike bekannt. Er wurde von Euklid (genauer: Euklides von Alexandria) überliefert. Er wird ''indirekt'' geführt, d.h. wir nehmen zunächst versuchsweise an, sein Gegenteil sei wahr.

Angenommen also, Ö2 ist eine rationale Zahl. Dann läßt sie sich als Bruchzahl der Form

Ö2 = | m n |
| (1)

schreiben, wobei m und n natürliche Zahlen sind. Wir nehmen an, daß dieser Bruch bereits vollständig gekürzt worden ist, sodaß m und n teilerfremd sind (d.h. keinen gemeinsamen Teiler haben). Insbesondere können dann m und n nicht beide gerade Zahlen sein.

Da das Quadrat von Ö2 gleich 2 ist, folgt aus (1)

2 = | m2 n2 | ,
| (2)

d.h. m2 ist doppelt so groß wie n2. Das können wir auch als

2 n2 = m2
| (3)

schreiben. Daraus folgt, daß m2 von 2 geteilt wird, also eine gerade Zahl ist. Folglich ist auch m eine gerade Zahl (denn das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade, das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade).

Der springende Punkt ist nun, daß m2 nicht nur gerade ist, sondern sogar 4 als Teiler besitzt: Da m gerade ist, läßt es sich als

m = 2 k
| (4)

schreiben, wobei k eine natürliche Zahl ist. Folglich ist

m2 = 4 k2.
| (5)

In (3) eingesetzt, ergibt sich

2 n2 = 4 k2,
| (6)

woraus wir schließen, daß n2 doppelt so groß ist wie k2 (in Formeln: n2 = 2 k2). Das zeigt, daß n2 eine gerade Zahl ist, und daher auch n.

Insgesamt haben wir gefolgert, daß sowohl n als auch m gerade Zahlen sind, und das widerspricht der oben gemachten Beobachtung, daß das nicht der Fall ist.

Wir haben also aus der Annahme, Ö2 sei rational, einen (logischen) Widerspruch konstruiert, womit bewiesen ist:

Ö2 läßt sich nicht als Bruchzahl der Form (1) schreiben, ist daher eine irrationale Zahl.

Bemerkung:

Ö2 ist gerade die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats (nach dem Satz von Pythagoras: 12 + 12 = Diagonale2 ). Die Irrationalität von Ö2 zeigt, daß das Verhältnis Diagonale/Seitenlänge im Quadrat nicht rational ist, d.h. daß bereits die einfachsten geometrischen Figuren nicht durch "Aneinanderlegen" von Kopien einer "kleinsten Elementarlänge" zu konstruieren sind. Diese Erkenntnis hat vermutlich im fünften vorchristlichen Jahrhundert eine der ersten Grundlagenkrisen der Mathematik ausgelöst.