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e ist das Symbol für die berühmte Eulersche Zahl. Sie ist die einzige positive Zahl, für die ex ³ 1 + x für alle x Î R gilt. Wie p ist sie eine irrationale Zahl, und ihre Dezimaldarstellung beginnt mit e = 2.718281828459... Sie kann als Grenzwert der Zahlenfolge (1+ 1/n)n für über jede Schranke wachsendes n berechnet werden und wird manchmal über die Zinseszinsrechnung eingeführt. Wird sie als Basis einer Potenz verwendet, so ergibt sich ein besonders einfaches Verhalten für kleine Exponenten: ex » 1 + x für kleine x (während für andere Basen ax » 1 + cx gilt, wobei c eine Konstante ¹ 1 ist, deren Wert von a abhängt). Aufgrund dieser bedeutsamen Eigenschaft wird e oft als natürliche Basis für die Formulierung von Exponentialfunktionen, exponentiellen Prozessen und Logarithmen verwendet. Siehe auch exp, natürlicher Logarithmus und Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Lesen Sie einen kleinen zur Zahl e. Ebene Eines der wichtigsten Objekte der Geometrie des dreidimensionalen Raumes. In der analytischen Geometrie wird eine Ebenen meist durch eine Ebenengleichung, manchmal auch durch eine Parameterdarstellung beschrieben. Siehe auch Lagebeziehungen von Ebenen und Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden. Ebenengleichung Jede Ebene im dreidimensionalen Raum kann als Lösungsmenge einer linearen Gleichung der Form px + qy + rz = c beschrieben werden, wobei p, q, r und c Konstante sind und zumindest einer der Koeffizienten p, q und r von 0 verschieden ist. p und q und r sind die Komponenten eines Normalvektors der Ebene. Wird die Ebenengleichung durch Vektoren ausgedrückt, so wird sie Normalvektorform genannt. Ebenengleichungen sind nicht eindeutig, d.h. eine Ebene besitzt (unendlich) viele derartige Darstellungen, die alle Vielfache voneinander sind. Ebene Polarkoordinaten Siehe Polarkoordinaten. Ebene Trigonometrie Siehe Trigonometrie. Echte Teilmenge Ist die Menge B eine Teilmenge der Menge A (B Í A) und sind beide Mengen voneinander verschieden (B ¹ A), so heißt B echte Teilmenge von A. Es gibt dann - zumindest - ein Element von B, das nicht Element von A ist. Einander ausschließende Ereignisse Siehe disjunkte Ereignisse. Eineindeutig wird manchmal für bijektiv, manchmal auch für injektiv verwendet und sollte aufgrund dieser Mehrdeutigkeit vermieden werden. Einheiten sind Kennzeichnungen für manche Größen, die man sich am besten als "Maßeinheiten" wie Meter, Zentimeter und Millimeter vorstellt. Größen, die Einheiten tragen, werden als dimensionsbehaftet bezeichnet (z.B. Länge, Zeit, Geschwindigkeit, Energie,...). Dimensionslose Größen hingegen tragen keine Einheiten. Sie sind schlicht und einfach Zahlen, die sich nicht auf ein "Maßsystem" beziehen. Ist klar festgelegt, welche Einheiten für die in einer Rechnung vorkommenden Größen verwendet werden, können sie wieder unter den Teppich gekehrt werden. Aber Vorsicht: Treten verschiedene Einheiten auf, so muß umgerechnet werden! Beispiel: Ein Fahrzeug legt eine Distanz von 40 km in einer Zeit von 2 Stunden zurück. Berechnen Sie seine Geschwindigkeit in m/s (Meter pro Sekunde)! Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Betrag gleich 1 ist. Siehe auch Normierung eines Vektors. Eins-zu-eins-Zuordnung Siehe bijektiv. Element Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter Objekte. Diese Objekte heißen Elemente. Ist x ein Element der Menge A, so schreibt man x Î A und sagt "x ist enthalten in" oder "liegt in" der Menge A. Sprachliche Kurzformen: "x Element A" oder "x aus A". Elementarereignis Ein Elementarereignis eines Zufallsexperiments ist ein Versuchsausgang. Die Menge aller Elementarereignisse ist der Ereignisraum. Der Begriff des Elementarereignisses ist von jenem des Ereignisses zu unterscheiden! Endliche Menge ist eine Menge, die endlich viele Elemente erhält (im Gegensatz zu einer unendlichen Menge). Eratosthenes, Sieb des Siehe Sieb des Eratosthenes. Ereignis Ein Ereignis eines Zufallsexperiments (mit endlich oder abzählbar vielen Versuchsausgängen) ist eine Teilmenge des Ereignisraums. Die Versuchsausgänge (Elementarereignisse) sind Ereignisse, nämlich die ein-elementigen Teilmengen des Ereignisraums, aber darüber hinaus gibt es auch andere Ereignisse. Als Menge (Zusammenfassung) von Versuchsausgängen kann ein Ereignis in der Regel auch verbal durch eine Aussage beschrieben werden. Beispiel: Beim Würfeln sind sie Versuchsausgänge die Augenzahlen 1 bis 6. Der Ereignisraum ist die Menge {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ein Ereignis ist beispielsweise "die Augenzahl ist gerade", repräsentiert durch die Menge {2, 4, 6}. Ereignisse sind jene mathematischen Objekte, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Die am häufigsten benötigten Verknüpfungen von Ereignissen sind A È B ("A oder B", auch als A Ú B geschrieben), A Ç B ("A und B", auch als A Ù B geschrieben) und das Gegenereignis Ø A ("nicht-A"). Siehe auch Verbundereignis. Ereignisraum Der Ereignisraum eines Zufallsexperiments ist die Menge seiner Versuchsausgänge (Elementarereignisse). Seine Teilmengen sind die Ereignisse, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Ereignisse, disjunkte (einander auschließende) Siehe disjunkte Ereignisse. Ergänzen auf ein vollständiges Quadrat Die Beobachtung, daß ein Term der Form x2 + p x auch als (x + p/2)2 - p2/4 geschrieben werden kann. (Dabei handelt es sich um eine Identität). Die Größe x kommt jetzt nur mehr innerhalb eines Quadrats vor. Der Name rührt daher: Durch Addition von p2/4 wird der ursprüngliche Term x2 + p x zum Quadrat (x + p/2)2 ergänzt. Danach muß die Ergänzung p2/4 wieder subtrahiert werden, um die obige Identität zu erhalten. Dieses Verfahren wird zum Lösen quadratischer Gleichungen (bzw. zur Herleitung der kleinen Lösungsformel) benützt. Eine weitere Anwendung besteht in der Berechnung so genannter Gaußscher Integrale. Erste Mediane Siehe Mediane. Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Der Erwartungswert einer Zufallsvariable a in einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gegeben durch m º < a> = a1 p1 + a2 p2 + a3 p2 + ..., wobei die pk die Wahrscheinlichkeiten der Verteilung und die ak die Werte der Zufallsvariablen a für die einzelnen Versuchsausgänge sind. Eine andere Schreibweise dafür ist E(a). Der Erwartungwert ist der für eine gegen unendlich strebende Zahl von Versuchdurchführungen vorausgesagte Mittelwert (siehe auch Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit). Erweitern eines Bruchs Siehe Bruchrechnen. ''Es existiert ein'' kann durch das Symbol $ abgekürzt werden. Eulersche Gerade In jedem Dreieck liegen drei der vier so genannten merkwürdigen Punkte, nämlich der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt, auf einer Geraden, der so genannten Eulerschen Geraden. Eulersche Zahl Siehe e. exp ist das Symbol für jene Exponentialfunktion, deren Basis die Eulersche Zahl e ist: exp(x) = ex. Manchmal wird speziell diese Funktion als "die Exponentialfunktion" bezeichnet. Sie hat ein eigenes Symbol bekommen, weil sie in vielen Gebieten der Mathematik verwendet wird und an Stelle von x manchmal recht lange Ausdrücke auftreten. Die zu exp inverse Funktion ist der natürliche Logarithmus. Steckbrief der Funktion . Explizite Funktionsdarstellung oder explizite Funktionsdefinition meint die Angabe oder Darstellung einer Funktion in einer Weise, die die direkte Berechnung von Funktionswerten durch die Auswertung eines Ausdrucks erlaubt. Dazu gehört die Darstellung durch einen Term (siehe Termdarstellung) oder mehrere, durch eine Fallunterscheidung kombinierte Terme. So ist beispielsweise durch die (explizite) Funktionsgleichung y = x2 - 3 eine Funktion definiert, die wir auch in der Form y(x) = x2 - 3 anschreiben können. Siehe auch implizite Funktionsdarstellung. Exponent oder Hochzahl ist beim Bilden einer Potenz am die Bezeichnung der Zahl m. Exponentialfunktion wird eine Funktion genannt, die durch eine Zuordnungsvorschrift der Form x ® ax oder, allgemeiner, x ® c abx definiert ist. Eine Exponentialfunktion drückt also die Abhängigkeit einer Potenz von ihrem Exponenten aus. Manchmal ist mit diesem Begriff speziell die Funktion exp, d.h. der Spezialfall x ® ex gemeint. Ist a eine positive reelle Zahl, so ist die Potenz ax für alle reellen Zahlen x definiert (siehe Potenzen mit reellen Exponenten). In diesem Fall kann die Zuordnung x ® ax als Funktion R ® R angesehen werden. Ihre Werte sind immer positiv. Für a > 1 ist sie streng monoton wachsend, für a < 1 streng monoton fallend (in beiden Fällen also injektiv, d.h. umkehrbar) und für a = 1 konstant. Eine Exponentialfunktion der Form x ® c abx kann immer als x ® c Ax mit A = ab geschrieben werden. Daraus ergibt sich, dass die Konstanten a und b keine voneinander unabhängige Bedeutung haben - eine kann frei gewählt werden, denn es kommt nur auf die Kombination ab an. Oft wird für a die natürliche Basis e verwendet; manchmal - insbesondere in der Schulmathematik - ist es hingegen bequemer, b = 1 zu setzen (siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen). Die Konstante c ist der Funktionswert an der Stelle x = 0. Die wichtigste Eigenschaft der Exponentialfunktionen ist folgende: Wird die unabhängigeVariable von x auf x + s geändert, so ändert sich der Funktionswert um einen nur von s abhängigen (d.h. von x unabhängigen) Faktor. Exponentialfunktionen sind transzendente Funktionen, d.h. ihre Berechnung für beliebige x geht über die elementaren Rechenmethoden hinaus. Sie werden insbesondere zur Modellierung exponentieller Prozesse verwendet. Die ergeben sich aus jenen für Potenzen. Exponentialfunktionen können auf komplexe Argumente x und komplexe Basen a ausgedehnt werden. Die zu ihnen inversen Funktionen sind die Logarithmen. Exponentialfunktionen, Ableitungen Die Ableitungen der Exponentialfunktionen entnehmen Sie Tabelle. Die Beziehung ( ex ) ' = ex unterstreicht die Bedeutung der Eulerschen Zahl e. Exponential- und logarithmische Gleichungen sind Gleichungen, die die Variable (Unbekannte) im Exponenten oder den Logarithmus der Variablen enthalten. Im ersten Fall (Beispiel: 2x = 3) kann die Lösung in der Regel erhalten werden, indem auf beide Seiten der Logarithmus (zu einer beliebigen Basis) angewandt wird. Im zweiten Fall (Beispiel: lg(x2) = lg(x) + 1 ) führt manchmal die Anwendung der Rechenregeln für den Logarithmus zum Ziel. Nicht immer können die Lösungen einer derartigen Gleichung - selbst wenn sie existieren - unter Verwendung der üblichen Rechenoperationen und Funktionen (d.h. in "geschlossener" Form) dargestellt werden (Beipiel: 2x = -x). In solchen Fällen bleibt nur mehr der Weg zu numerischen Lösungstechniken. Exponentielle Abnahme auch exponentieller Zerfall genannt, ist ein exponentieller Prozess, der durch eine streng monoton fallende Exponentialfunktion beschrieben wird. Der reinste in der Natur vorkommende Prozess exponentieller Abnahme ist der radioaktive Zerfall (siehe auch Radiokarbonmethode). Beispiel: Nimmt eine exponentiell fallende Größe f während jeder Stunde um 5 Prozent ab, und hat sie zu Beginn den Wert 3, so wird sie durch die Funktion f (t) = 3 × 0.95t beschrieben, wobei t die in Stunden gemessene Zeit ist. Wird zur Beschreibung solcher Prozesse die Basis 2 verwendet, so lässt sich die Halbwertszeit (die Zeit, während der sich f auf die Hälfte absinkt) leicht ablesen: Ist beispielsweise f (t) = 5 × 2-t/4, so beträgt sie 4. Man beachte, dass dieser Prozess auch in der Form f (t) = 5 × (1/2)t/4 angeschrieben werden kann. Um exponentielle Abnahme zu beschreiben, muss entweder die Basis kleiner als 1 sein oder der Exponent ein Minuszeichen enthalten - beide Möglichkeiten sind völlig gleichwertig. Oft wird auch die natürliche Basis e verwendet und f (t) = f (0) e-l t geschrieben, wobei l als Zerfallskonstante (oder Zerfallsrate) bezeichnet wird. Der allgemeine Zusammenhang zwischen der Halbwertszeit s und der Zerfallskonstante l ist durch l = (ln 2)/s gegeben. Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Exponentieller Prozess Ein (kontinuierlicher) exponentieller Prozess liegt vor, wenn eine Größe f von einer anderen Größe x abhängt und folgende Eigenschaft erfüllt ist: In gleich großen Intervallen von x ändert sich f um den gleichen Faktor. Falls x die Zeit bedeutet, können wir uns einen exponentiellen Prozess als zeitlichen Verlauf einer Größe f vorstellen, während dessen sich f in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Faktor ändert. Wird die betrachtete Abhängigkeit als Funktion x ® f (x) gedeutet, so bedeutet das in Formeln: Wird x um einen bestimmten Wert s auf x + s erhöht, so ist die entsprechende Änderung des Funktionswerts (von f (x) auf f (x + s)) von folgendem Typ: f(x + s) = Faktor, der nur von s abhängt × f(x) . Diese Eigenschaft wird genau von den Exponentialfunktionen erfüllt. Letzere werden daher herangezogen, um exponentielle Prozesse zu modellieren. Ganz allgemein wird ein solcher Prozess durch eine Funktion der Form f (x) = c abx beschrieben, wobei a (> 0), b und c Konstante sind. Dies kann auch in der Form f (x) = c Ax mit A = ab geschrieben werden, wobei c der "Anfangswert" f (0) ist. Ist A > 1, so handelt es sich um einen exponentiellen Wachstumsprozess, ist A < 1, so liegt exponentielle Abnahme (exponentieller Zerfall) vor. Modelle dieser Art werden kontinuierlich genannt, da in ihnen die Zeit durch eine reelle Variable dargestellt wird. Im Gegensatz dazu verläuft in diskreten Modellen die Zeit in "Schritten". Exponentielles Wachstum ist ein exponentieller Prozess, der durch eine streng monoton wachsende Exponentialfunktion beschrieben wird. Oft wird als Beispiel eines solchen Prozesses das Wachstum einer Bakterienkultur herangezogen. Beispiel: Nimmt eine exponentiell wachsende Größe f während jeder Stunde um 5 Prozent zu, und hat sie zu Beginn den Wert 3, so wird sie durch die Funktion f (t) = 3 × 1.05t beschrieben, wobei t die in Stunden gemessene Zeit ist. Wird zur Beschreibung solcher Prozesse die Basis 2 verwendet, so lässt sich die Verdoppelungszeit (die Zeit, während der sich f verdoppelt) leicht ablesen: Ist beispielsweise f (t) = 5 × 2t/4, so beträgt sie 4. Oft wird auch die natürliche Basis e verwendet und f (t) = f (0) el t geschrieben, wobei l als Wachstumsrate bezeichnet wird. Extrema, lokale, Charakterisierung von Sind die Kandidaten für die lokalen Extrema einer differenzierbaren Funktion f durch Lösen der Gleichung f '(x0) = 0 gefunden, so stellt sich die Frage, welche von ihnen lokale Maxima, welche lokale Minima und welche keins von beiden darstellen. (Im letzteren Fall wird es sich in der Regel um Sattelstellen handeln). Dafür gibt es mehrere Kriterien: Oft führt ein simpler Vergleich von Funktionswerten zum Ziel. Ändert die Ableitung von f an der Stelle x0 ihr Vorzeichen von positiv auf negativ, so ist x0 eine lokale Maximumstelle. Ändert die Ableitung von f an der Stelle x0 ihr Vorzeichen von negativ auf positiv, so ist x0 eine lokale Minimumstelle. Existiert die zweite Ableitung von f, so ist ein weiteres Kriterium dieses: Gilt f ''(x0) < 0, so ist x0 eine lokale Maximumstelle. Gilt f ''(x0) > 0, so ist x0 eine lokale Minimumstelle. Gilt f ''(x0) = 0, so lässt sich daraus keine Aussage über den Typ von x0 machen. Extremum, globales gemeinsamer Name für globales Maximum und globales Minimum. Extremum, lokales gemeinsamer Name für lokales Minimum und lokales Maximum. Hat die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f º f(x) innerhalb eines Intervalls für x < x0 ein anderes Vorzeichen als für x > x0, und gilt f '(x0) = 0, so heißt x0 lokale Extremstelle (oder kurz lokales Extremum). Der entsprechende Punkt (x0, f(x0) am Graphen ist entweder ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt. Kandidaten für diese Art lokale Extrema einer gegebenen Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f '(x0) = 0. Siehe auch Charakterisierung lokaler Extrema und Extremwertaufgabe. Ist eine Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert, so können lokale Extrema auch an den Randstellen ihres Definitionsbereichs auftreten. Extremwertaufgabe oder Opimierungsaufgabe ist das Problem, ein (globales oder lokales) Extremum einer Funktion (Zielfunktion) zu finden. Diese Funktion hängt in der Regel von mehreren Variablen ab, zwischen denen Zusammenhänge (Nebenbedingungen) bestehen. (Die Aussage, dass die Zielfunktion maximal/minimal sein soll, wird manchmal auch als Hauptbedingung bezeichnet). In den meisten zu Übungszwecken verordneten Extremwertaufgaben können die Nebenbedingungen ausgenutzt werden, um die Zahl der Variable zu reduzieren, bis schließlich eine Zielfunktion f übrigbleibt, die nur von einer Variable f abhängt (und möglicherweise auf einen Definitionsbereich eingeschränkt wird, ausserhalb dessen die gestellte Aufgabe keinen Sinn macht). Deren lokale Extrema können dann nach einem Standardverfahren gefunden werden: Zunächst wird die Gleichung f '(x) = 0 nach x gelöst, um alle Kandidaten für lokale Extrema zu erhalten. Diese Kandidaten werden (gegebenenfalls unter Berücksichtigung der Verhältnisse an den Rändern des Definitionsbereichs) näher überprüft, bis das gesuchte Extremum identifiziert worden ist.

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