Lösungen

Hinsichtlich des Mittelwerts kommt die erste Stichprobe, hinsichtlich der Standardabweichung (oder Varianz) kommen die zweite und die dritte Stichprobe der Grundgesamtheit am nächsten. Die Frage ist also nicht eindeutig zu beantworten. Gerundet ist D m2 = 0.0033 und D m = 0.057. Der zweite und der dritte. Da 0.6 der kleinste aller möglichen Ergebniswerte ist, kommt eine Stichprobe, deren Mittelwert 0.6 ist, nur dann zustande, wenn dieser Wert zehn mal gezogen wird. Die Wahrscheinlichkeit, ihn einmal zu ziehen, ist 1/25, da er in der abgebildeten, 25 Elemente umfassenden Ergebnismenge nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit, ihn zehn mal zu ziehen, ist daher (1/25)10 » 10-14. Tipp: Benutzen Sie die in den Liesmich-Texten (bzw. in der Beschreibung zur Animation) angegebenen Formeln mit n = 100 s = 40 cm . Es folgt, dass der aus den Daten berechnete Mittelwert der Körpergröße mit einer statistischen Unsicherheit von etwa 4 cm behaftet ist. (Die einzige dazu notwendige "Rechnung" ist 100-1/2 = 1/10). Das bedeutet: Die wahre mittlere Körpergröße der Gesamtbevölkerung kann um mehrere Zentimeter von dem aus der Stichprobe berechneten Mittelwert abweichen. Wird hingegen eine Stichprobe von 10000 Menschen herangezogen, und ist die Standardabweichung der erhobenen Körpergrößen wieder 40 cm, so reduziert sich die statistische Unsicherheit auf etwa 4 mm (da 10000-1/2 = 1/100). Die im zweiten Liesmich-Text angegebene Formel reduziert sich für diesen Fall auf die Beziehung D m = n-1/2 . Sie beschreibt die erwartete Abweichung des Stichproben-Mittelwerts der Punktezahlen vom wahren Mittelwert. Da letzterer 0 ist, wird der Stichproben-Mittelwert der Punktezahlen größenordnungsmäßig bei (plus oder minus) n-1/2 liegen, ist aber andererseits gleich der Summe der geworfenen Punktezahlen dividiert durch n. Die erwartete Summe wird daher voraussichtlich von der Größenordnung (plus oder minus) n1/2 sein. Wenn Sie die Münze also 1 Million mal werfen (eine "große" Zahl), so liegt der erwartete Mittelwert bei (plus oder minus) 1/1000 (eine "kleine" Zahl) und die erwartete Summe bei (plus oder minus) 1000 liegen (eine "mittelgroße" Zahl). Die Zuverlässigkeit der Stichprobe bei der Schätzung des Mittelwerts der Grundgesamtheit ist in diesem Fall bereits recht gut. Der "Netto-Überschuss" der Punktezahlen von (plus oder minus) 1000 ist im Verhältnis zur Zahl der Würfe (1 Million) klein. Anmerkung: Dieses Resultat hat zwei interessante Anwendungen: Wenn Sie in jeder Runde eines Glücksspiels den Betrag 1 mit derselben Wahrscheinlichkeit gewinnen oder verlieren, mit einem Kapitel von 0 beginnen und n Runden spielen, so wird Ihr Kontostand danach (bei großem n) voraussichtlich in der Größenordnung von (plus oder minus) n1/2 liegen. Nach vielen Runden werden Sie entweder viel gewonnen oder viel verloren haben. Welches von beiden eintritt, lässt sich natürlich nicht voraussagen. Einen einmal eingetretenen Verlust durch Fortsetzung des Spiels wieder wettzumachen, wird immer unwahrscheinlicher! Brownsche Molekularbewegung (Zufallsbewegung, random walk): Wird ein Partikel in jeder Zeiteinheit durch Zusammenstöße mit Molekülen um ein Stück L nach rechts oder links versetzt (mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit), so wird es nach n Stößen eine Strecke der Größenordnung L n1/2 zurückgelegt haben - ob nach links oder nach rechts, lässt sich nicht voraussagen.