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Beweis von (15b):
Die empirische Varianz kann in der Form

s2 | = | ___ a2 | - | ( | _ a2 | ) | 2 |
| (15b)

geschrieben werden.
Beweis:
Die empirische Varianz ist definiert als

|  | __________ |
s2 | = | ( | a. | - | _ a2 | ) | 2 |  | .
| (15a)

Wir multiplizieren die Klammer aus und erhalten

|  | __________________ |
s2 | = | a2 - 2 a | _ a2 | + | ( | _ a2 | ) | 2 |  | .
|

Der Mittelwert von a, der hier zweimal auftritt, ist eine Konstante (die schon vor dem Bilden der empirischen Varianz bestimmt werden kann). Wir bezeichnen sie mit m, womit wir den obigen Ausdruck in der Form

|  | _____________ |
s2 | = | a2 - 2 a m + m2 |
|

schreiben können. Da das Bilden des Mittelwerts (die Operation, die durch den Strich gekennzeichnet ist) eine lineare Operation ist (vgl. die Formeln (11) und (12) weiter oben in diesem Kapitel), kann der gesamte Ausdruck in eine Summe dreier Terme aufgespaltet werden:

- Der erste ist der Mittelwert von a2.
- Der zweite ist -2 × (Mittelwert von a) × m.
  Der Mittelwert von a wird sogleich wieder mit m bezeichnet, womit sich dieser Term zu -2m2 ergibt.
- Der dritte ist m2. (Da der letzte Term unter dem langen Strich eine Konstante ist, bewirkt das Bilden des Mittelwerts hier nichts).

Die Summe der letzten beiden Terme ist -2m2 + m2 = -m2, womit sich die empirische Varianz zu

s2 | = | ___ a2 | - | m2 |
|

ergibt. Da m die Abkürzung für den Mittelwert von a ist, ergibt sich daraus (15b).