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Beweis von (21) - Flächeninhalt des Parallelogramm:

A = |a1b2 - a2b1| |
| (21)

Zu Beweis gehen wir von der zuvor bewiesenen Beziehung

A = (a2 b2 - (ab)2)1/2 |
| (20)

aus, deren Quadrat

A2 = a2 b2 - (ab)2 |

lautet, und setzen a = (a1, a2) und b = (b1, b2) ein:

A2 = a2 b2 - (ab)2 |

= (a12 + a22) (b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 |

= a12b12 + a12b22 + a22b12 + a22b22 |

- a12b12 - 2a1a2b1b2 - a22b22 |

= a12b22 + a22b12 - 2a1a2b1b2 |

= (a1b2 - a2b2)2 | .

Durch Wurzelziehen folgt (21). Das Betragszeichen ist notwendig, da a1b2 - a2b2 negativ sein kann.