Aufgaben

Sehen Sie sich die Animation einige Male an, bis Sie das Gefühl haben, zu verstehen, was vor sich geht. Beachten Sie, dass der Anstieg der gezeigten Gerade für jedes endliche (von Null verschiedene) h durch eine einfache Formel (Differenz der y-Werte dividiert durch die Differenz der x-Werte) ausgedrückt werden kann. Lediglich wenn h = 0 ist, ist diese Formel nicht mehr anwendbar (dann müsste 0/0 berechnet werden) und wird durch einen Grenzwert (Limes, durch das Symbol lim ausgedrückt) ersetzt. Nehmen Sie an, es handelt sich um die Funktion f(x) = x2 und um die Stelle x0 = 1. Nehmen Sie ein Blatt Papier und schreiben Sie den Anstieg der Sekante für endliches h hin. Vereinfachen Sie den entstehenden Ausdruck! Können Sie den Grenzübergang h ® 0 ausführen und damit den Anstieg der Tangente berechnen? Wiederholen Sie die Schritte der vorigen Aufgabe, wobei Sie allerdings x0 diesmal keinen konkreten Zahlenwert geben. Gewinnen Sie auf diese Weise eine Formel für die Ableitung der Funktion f(x) = x2 an einer beliebigen Stelle! Falls Sie wissen, was eine Folge ist, und was es bedeutet, dass eine Folge konvergiert: Der Grenzübergang h ® 0 heißt genau genommen, dass die Folge der Sekantenanstiege
sn = |
f(x0 + an) - f(x0) an |
für jede Nullfolge (an) konvergieren muss. Ist das der Fall, dann läßt sich zeigen, dass der Grenzwert der Folge (sn) für jede Nullfolge (an) der gleiche ist. Dieser Wert wird dann als Ableitung bezeichnet. Berechnen Sie sn (d.h. das n-te Glied der Folge der Sekantenanstiege) für die Funktion f(x) = x2, die Stelle x0 = 1 und die Nullfolge an = 1/n. Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion an, die an einer Stelle, an der sie definiert ist, nicht differenzierbar ist, d.h. an der die Sache mit dem Grenzwert nicht funktioniert. Der Sekantenanstieg stellt für kleine h eine Näherung des Tangentenanstiegs dar. Berechnen Sie einen Näherungswert für die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x0 = 2.