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Beweis der Additionsregel (5):
Für disjunkte Ereignisse A und B gilt die Additionsregel

p(A oder B) º p(A È B) º p(A Ú B) = p(A) + p(B). |
| (5)

Beweis:
Gemäß der Definition der Wahrscheinlichkeit, Formel (3) weiter oben in diesem Kapitel, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die für eine gegen unendlich strebende Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit seines Eintretens.
Stellen wir uns also eine sehr große Zahl n von Durchgängen des betreffenden Zufallsexperiments vor. Da die Ereignisse A und B disjunkt sind, treten sie nie gleichzeitig ein. Wenn

- das Ereignis A genau r mal eintritt und
- das Ereignis B genau s mal eintritt,

so ist

- die relative Häfigkeit für das Eintreten von A gleich r/n,
- die relative Häfigkeit für das Eintreten von B gleich s/n und
- die relative Häfigkeit für das Eintreten von A È B gleich (r + s)/n
  (da in diesem Fall alle Versuchsausgänge gezählt werden, bei denen A oder B eintritt).

Im Grenzfall einer gegen unendlich strebenden Anzahl von Versuchsdurchgängen strebt

- r/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(A),
- s/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(B) und
- (r + s)/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(A È B).

Wenn nun r/n gegen p(A) strebt und s/n gegen p(B), so strebt die Summe r/n + s/n, die gleich (r + s)/n ist, gegen p(A) + p(B). Daher ist p(A È B) = p(A) + p(B), womit (5) bewiesen ist.