Kleinere Schriftzeichen
Beweise von (23) und (24):
Beweis von (23):
Wir fixieren a als Basis, betrachten eine beliebige positive Zahl b und bezeichnen deren Logarithmus (zur Basis a) als x = alog b. Das bedeutet, dass ihre Darstellung als Potenz von a die Form
b = ax
hat. Ist k eine beliebige reelle Zahl, so folgt daraus
bk = akx.
Das ist aber wieder eine Potenz von a, und deren Logarithmus ist gleich dem Exponenten kx, was nichts anderes als das Produkt von k mit dem Logarithmus von b ist. Auf diese Weise gelangen wir zu der Erkenntnis
alog (bk) = k alog b,
d.h. Formel (23).
Beweis von (24):
Wir betrachten zwei beliebige positive Zahlen b, c und bezeichnen deren Logarithmen als x = alog b und y = alog c. Das bedeutet, dass ihre Darstellung als Potenzen von a die Form b = ax und c = a y hat. Nun kann der Quotient b/c = ax/a y dieser Zahlen gemäß Regel (1) als ax - y geschrieben werden. Das ist aber wieder eine Potenz von a, und deren Logarithmus ist gleich dem Exponenten x - y, was nichts anderes als die Differenz der Logarithmen von b und c ist. Auf diese Weise gelangen wir zu der Erkenntnis
alog (b/c) = alog b - alog c,
d.h. Formel (24).