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Beweis von (7):
Der Mittelwert von a ist durch

__ a | = | a1 h1 + a2 h2 + a3 h3 + ... |
| (7)

gegeben.
Beweis:
Nach jedem Versuchsdurchgang wird, je nach dem eingetretenen Ausgang k, der entsprechende Wert ak notiert. Aus der so entstandenen Liste wird der Mittelwert gebildet. In der Liste steht

- n1 mal der Wert a1,
- n2 mal der Wert a2
- und ganz allgemein nk mal der Wert ak.

Die Summe der Werte, die a angenommen hat, ist daher
a1 n1 + a2 n2 + a3 n3 + ...
Um den Mittelwert zu erhalten, muss dies noch durch die Anzahl n der Versuchsdurchgänge dividiert werden. Da die Quotienten nk/n gleich den relativen Häufigkeiten sind (vgl. Formel (2) weiter oben in diesem Kapitel), folgt unmittelbar, dass der Mittelwert durch
a1 h1 + a2 h2 + a3 h3 + ...
gegeben ist. Damit ist (7) bewiesen.