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Beweis von (21):

( ex ) ' = ex | (21)

Wir gehen aus vom Differenzenquotienten

ex + e - ex e | = | ee - 1 e | ex .

Beachten Sie die Struktur dieses Ausdrucks: Er ist das Produkt aus einem nur von e abhängenden Term mit ex, d.h. dem Funktionsterm selbst! Vom Grenzübergang e ® 0 ist nur der erste Faktor betroffen. Führen wir die Abkürzung

c = |  |  | ee - 1 e |
lim
e ® 0

ein, so ergibt sich:

( ex ) ' = c ex .

Die Ableitung ( ex ) ' ist daher ein Vielfaches von ex. Die Bedeutung der Proportionalitätskonstante c wird klar, wenn wir auf der rechten Seite dieser Beziehung x = 0 setzen (und bedenken, dass e0 = 1 ist): c ist die Ableitung an der Stelle x = 0. Um (21) zu beweisen, müssen wir also nur mehr zeigen, dass c = 1 ist, d.h. dass die Exponentialfunktion x ® ex an der Stelle 0 die Ableitung 1 hat.
Dazu erinnern wir uns, wie wir die Eulersche Zahl e im Kapitel Exponentialfunktion und Logarithmus eingeführt haben (sehen Sie sich insbesondere

- die dortige Graphik zwischen den Formeln (14) und (15),
- das Applet "Zur Definition der Eulerschen Zahl e"
- und den zugehörigen "Exkurs zur Zahl e"

an): Unsere Argumentation war von einem strengen mathematischen Gesichtspunkt aus betrachtet ein bisschen schlampig, aber die Grundidee - die auch einer genaueren Überprüfung standhält - war, e als jene Zahl zu definieren, für die der Graph der linearen Funktion x ® 1 + x (eine Gerade mit Anstieg 1) die Tangente an den Graphen von x ® ex im Punkt (0, 1) ist ! Damit haben wir das fehlende Glied in unserem Beweis: Es gilt c = 1, daher

|  | ee - 1 e | = 1.
lim
e ® 0

Nachbemerkung: Formel (21) offenbart die wahre Bedeutung der Zahl e. Unter allen Funktionen x ® ax mit beliebigen reellen Basen a ist x ® ex die einzige, die mit ihrer Ableitung identisch ist!
Wir können diese bemerkenswerte Eigenschaft auch so formulieren: Es gibt nur eine einzige auf der Menge der reellen Zahlen definierte differenzierbare Funktion f, für die die beiden Aussagen

- f '(x) = f(x) für alle reellen x
- f(0) = 1

zutreffen, und zwar
f(x) = ex.
Die Zahl e kann dann als f(1) definiert werden. Von diesem Standpunkt aus betrachtet, erscheint die Eulersche Zahl als ein sehr "natürliches" mathematisches Objekt.