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  Zahlen In der Mathematik werden verschiedene Zahlensysteme betrachtet. Manche dieser Systeme - wiewohl nicht alle Details - sind uns intuitiv leicht zugänglich, weil sie Zahlen betreffen, mit denen wir zählen, mit deren Hilfe wir ''Beträge'' und ''Meßgrößen'' angeben, und die wir geometrisch deuten können. Siehe natürliche, ganze, rationale, reelle, irrationale Zahlen und Dezimaldarstellung. Andere Zahlensysteme genügen formal denselben Rechenregeln (siehe Addition, Multiplikation und Distributivgesetz), sind unserer Vorstellung aber schlechter zugänglich. Dennoch haben sie viele nützliche Anwendungen. Siehe komplexe Zahlen und Restklassen. Zahlengerade Eine geometrische Veranschaulichung der Menge der reellen Zahlen: Man nehme eine Gerade, zeichne zwei Punkte darauf ein und bezeichne sie mit 0 und 1 (siehe untenstehendes Diagramm)! Dann kann jede reelle Zahl als Punkt auf der Geraden dargestellt werden (positive Zahlen als Punkte rechts von 0 und negative Zahlen als Punkte links von 0). Die Ordnung der reellen Zahlen findet sich als lineare Ordnung auf der Geraden wieder: So ist z.B. x < y, wenn x links von y liegt. Viele Eigenschaften der reellen Zahlen werden intuitiv klar, wenn man sich die Menge R einfach als Zahlengerade vorstellt. So ist z.B. die Aussage, die reellen Zahlen stellen eine ''eindimensionale'' Menge dar, unmittelbar einleuchtend. Eine (''zweidimensionale'') Verallgemeinerung der Zahlengerade bildet die Zeichenebene. Zahlenpaare, Zahlentripel und n-Tupel Ein (geordnetes) Zahlenpaar besteht aus zwei Zahlen, einer ersten und einer zweiten. Es wird entweder als (x, y) oder in der Vektor-Schreibweise
  | æ ç è |  |
  x
  y
  |  | ö ÷ ø |
  angegeben und als ein mathematisches Objekt behandelt (siehe geordnetes Paar). Die Zahlen x und y heißen Komponenten. Die Menge aller Paare aus reellen Zahlen wird als R2 bezeichnet und geometrisch als Ebene (Zeichenebene) gedeutet, in ähnlicher Weise wie die Interpretation von R als Zahlengerade. Auch die komplexen Zahlen bilden eine Ebene, die so beschrieben wird. Analog können Zahlentripel (x, y, z) und, ganz allgemein, n-Tupel ( x1, x2, ... xn ), wobei n Î N, betrachtet werden (die sich natürlich auch in der Vektor-Schreibweise
  | æ ç ç ç ç è |  |
  x
  y
  z
  |  | ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø | bzw. | æ ç ç ç ç è |  |
  x1
  :
  xn
  |  | ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø |
darstellen lassen). Die Menge aller reellen Zahlentripel heißt R3 und wird geometrisch als dreidimensionaler Raum gedeutet. Ganz allgemein wird die Menge aller reellen n-Tupel als Rn bezeichnet und stellt einen n-dimensionalen Raum dar. Mathematisch gesehen, eröffnen diese Objekte die Möglichkeit, Räume beliebiger Dimension zu definieren. Eine ''Vorstellung'' im bildlichen Sinn ist dazu gar nicht notwendig! Siehe auch kartesisches Produkt. Zähler Siehe Bruch. Zehner-Logarithmus auch dekadischer Logarithmus genannt, ist der Logarithmus zur Basis 10 und wird meist mit dem Symbol lg bezeichnet. Grob gesprochen, drückt er die "Anzahl der Dezimalstellen" aus. So gilt beispielsweise die Beziehung 10log 1500 = 3.17609... deshalb, weil die Zahl 1500 als "Zehnerpotenz" 103.17609... darstellbar ist. Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Zeichenebene wird eine mathematische Ebene genannt, wenn wir sie uns behelfsmäßig als Blatt Papier vorstellen wollen. Wenn auf ihr ein kartesisches Koordinatensystem gewählt wird, ist die Position eines Punktes durch zwei reelle Zahlen x und y (die Koordinaten) eindeutig festgelegt. Dadurch lassen sich Punkte mit Zahlenpaaren identifizieren. Jedem Punkt der Ebene entspricht genau ein Zahlenpaar, und jedem Zahlenpaar entspricht genau ein Punkt der Ebene: P « (x, y) Die Zeichenebene kann daher als die Menge aller reellen Zahlenpaare angesehen werden. Diese ist aber nichts anderes als das kartesische Produkt der Menge R der reellen Zahlen mit sich selbst und wird mit R 2 bezeichnet: R2 = R × R. Die beiden Kopien von R kann man den beiden Koordinaten-Achsen zuordnen: Jedes Element der Menge R2 ist ein Paar (x, y). Die beiden darin vorkommenden Zahlen sind genau die Koordinaten des Punktes, der dem Zahlenpaar entspricht. Jede der beiden Achsen kann übrigens als Zahlengerade aufgefaßt werden, wodurch die Ebene als das (kartesische) Produkt der Zahlengerade mit sich selbst interpretiert werden kann. Auf diese Weise ist man von einem eindimensionalen Raum (der Menge R = der Zahlengeraden = einer Linie) zu einem zweidimensionalen Raum (der Ebene) gelangt. Man kann das durchaus als Definition der Ebene betrachten: Ausgehend von der Menge der reellen Zahlen wird die Ebene als eine rein mathematische Konstruktion aus dieser gewonnen! Wenn man die Dinge so sieht, ist die geometrische Vorstellung "nur" mehr nützlich, aber nicht mehr notwendig. Auf analoge Weise lässt sich zu höherdimensionalen Räumen weiterschreiten. Auf der Zeichenebene können auch andere Koordinatensysteme nützliche Dienste leisten. Aufgrund der oben beschriebenen Konstruktion hat aber das kartesische Koordinatensystem, das im größten Teil der Schulmathematik verwendet wird, eine bevorzugte ("natürliche") Stellung. Zeigerdiagramme sind bequeme Hilfsmittel, um Eigenschaften der Winkelfunktionen (insbesondere deren Vorzeichen für Winkel, die kleiner als 0° oder größer als 90°) und ihre Beziehungen untereinander geometrisch darzustellen. Zentriwinkel Siehe Peripheriewinkelsatz. Zerfallskonstante Siehe exponentielle Abnahme. Zerfall(sprozess), exponentieller Siehe exponentielle Abnahme. Zerfallsrate Siehe exponentielle Abnahme. Zielfunktion Siehe Extremwertaufgabe. Zufall Phänomene, die dem Zufall unterliegen, werden mathematisch durch Zufallsexperimente beschrieben. Wichtige Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung sind jene der Wahrscheinlichkeit und des Ereignisses. Durch Beobachtungen ermittelte ("empirische") Häufigkeitsverteilungen werden durch diskrete oder kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert. Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist das mathematische Modell eines dem Zufall unterliegenden Vorgangs. Es besitzt eine wohldefinierte Menge möglicher Versuchsausgänge (Elementarereignisse). Ist die Menge aller Versuchsausgänge (der Ereignisraum) endlich oder abzählbar (diskret), so wird jedem Versuchsausgang eine Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten zugeordnet. Darüber hinaus kann dann der Begriff der Wahrscheinlichkeit auf beliebige Ereignisse ausgedehnt werden. (Im kontinuierlichen Fall ist das nur für gewisse Teilmengen des Ereignisraums möglich). Zufallsexperimente, die die Begriffe der Wahrscheinlichkeirsrechnung verdeutlichen, sind der logischen Klarheit zuliebe oft Glücksspielen nachgebildet. Siehe auch Laplace-Experiment und Bernoulli-Experiment. Jedes Zufallsexperiment mit endlich oder abzählbar vielen Versuchsausgängen definiert eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zufallsvariable, diskrete .Siehe diskrete Zufallsvariable. Zufallsversuch bedeutet dasselbe wie Zufallsexperiment. Zunahme, exponentielle Siehe exponentielles Wachstum. Zuordnung Siehe Funktion. Zusammenstellung der wichtigsten Symbole der Mengenlehre: Î ist Element von | für die gilt Ç Durchschnittsmenge È Vereinigungsmenge Í ist Teilmenge von Ê ist Obermenge von \ Komplementärmenge $ es existiert ein " für alle, für jedes Zweidimensionaler Raum Siehe Zeichenebene. Zweier-Logarithmus auch dyadischer Logarithmus genannt, ist der Logarithmus zur Basis 2 und wird manchmal mit dem Symbol ld (logarithmus dualis) bezeichnet. Seine Verwendung ist vor allem dann angebracht, wenn es um den Begriff der Information geht. Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Zweite Ableitung Die zweite Ableitung einer reellen Funktion f ist die Ableitung der Ableitung von f und wird mit dem Symbol f '' bezeichnet. Siehe auch höhere Ableitungen. Zweite Mediane Siehe Mediane.

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