|

Zeichenebene und Koordinatensystem

Zusammenfassung: Die Zeichenebene ist eine gedankliche Idealisierung, ein "ideales Blatt Papier". Wir benützen Koordinaten, um uns auf ihr zurechtzufinden. Deren wichtigste Aufgabe ist es, die Position von Punkten mathematisch exakt zu beschreiben. Mehrere Abschnitte gehen ein bißchen tiefer als zu Beginn nötig; die entsprechenden Stellen können von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Darauf wird jeweils eigens hingewiesen. Stichworte: Die Zeichenebene und was auf ihr lebt | Koordinaten zur Orientierung | (Koordinaten-)Achsen | Abszisse | Ordinate | Ursprung | negative Koordinatenwerte | y-Koordinate als "Seehöhe" | Koordinaten und Schatzsuche | Koordinaten einzeichnen | Rechts, links, oben, unten | Orientierung der Achsen | positive x-Achse, negative x-Achse, positive y-Achse, negative y-Achse | Die vier Quadranten | kartesisches (rechtwinkeliges) Koordinatensystem | andere Symbole als x und y | mathematische Schreibweise | Zahlenpaar | Strecken und Schnittpunkte | Die Zeichenebene als R 2 | kartesisches Produkt | (ebene) Polarkoordinaten | Polarwinkel | schiefwinkelige Koordinaten | Koordinaten, ganz allgemein | Koordinatenlinien | Koordinaten-Raster | geradlinige Koordinaten | krummlinige Koordinaten | Koordinatentransformation | Bezugssystem

|  | Die Zeichenebene und was auf ihr lebt |  |  |  |  |
|  | Die Bedeutung zweidimensionaler Betrachtungen in der Mathematik rührt zunächst daher, daß ihre Anfänge mit Problemen der Landvermessung verbunden waren. Weiters hat die Ebene gegenüber dem Raum einen Vorteil: In ihr kommen "ideale" mathematische Objekte unseren Handlungsmöglichkeiten sehr nahe: Wir können Punke, Strecken, Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren zeichnen, anhand von Skizzen und Zeichnungen Längenverhältnisse studieren, Zusammenhänge entdecken (zum Beispiel den Satz von Pythagoras oder die Tatsache, daß die Winkelsumme im Dreieck 180° ist), mit einem Wort: Mathematik betreiben. |  |  |  | Satz von Pythagoras Winkelsumme im Dreieck |
|  | Die mathematische Ebene kann man sich als Idealbild eines Blatt Papiers vorstellen, so glatt, daß sich auf ihr kein Ort vom anderen unterscheidet, so eben, daß sich auf ihr keinerlei Berge oder Täler finden, unendlich ausgebreitet ohne Grenze nach allen Richtungen. Sie ist ohne Dicke, ohne Farbe und ohne Geruch. Sie besteht aus Punkten, die nicht einfach sehr klein sind, sondern überhaupt keine Ausdehnung haben. Und aus diesen Punkten wiederum bestehen die geometrischen Figuren, die seit einigen tausend Jahren die Menschen beschäftigt und begeistert haben. Wenn wir an eine solche Ebene denken, denken wir unwillkürlich ans Zeichnen, und daher nennen wir sie Zeichenebene. |  |  |  |  |
|  | Ebenso wie die Zeichenebene sind auch die Punkte, Geraden, Kreise und alle anderen geometrischen Figuren, die sie bevölkern, gedankliche Idealisierungen. So besteht zum Beispiel eine Kreislinie in der Zeichenebene aus allen Punkten, die von einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) denselben Abstand (Radius) haben. Eine solche Kreislinie hat keine Dicke. (Oft wird gesagt, sie ist "unendlich dünn"). Ihr Radius ist eine reelle Zahl und kann frei vorgegeben werden. Eine reelle Zahl kann - als Dezimalzahl angeschrieben - unendlich viele von Null verschiedene Ziffern hinter dem Komma besitzen. In ihr steckt also eine gewaltige Menge an Information (wohingegen der Radius eines realen Objekts wie einer Kreislinie, die Sie mit dem Zirkel zeichnen, aufgrund der Dicke des Strichs und aufgrund kleiner Unregelmäßigkeiten nur auf wenige Stellen genau bestimmt ist). |  |  |  | reelle Zahlen |
|  | Um ein anderes Beispiel zu nennen: Ist die Größe eines Quadrats durch die Angabe seiner Seitenlänge (d.h. einer reellen Zahl) eindeutig bestimmt, so ist auch die Länge seiner Diagonale eine ganz bestimmte reelle Zahl, die sich durch Vermessungen von realen quadratischen Objekten nie so genau bestimmen läßt wie durch eine mathematische Überlegung. All dies führt dazu, daß in der Mathematik ein sehr strenger Begriff von Genauigkeit (Exaktheit) möglich ist. Darüber werden wir in einem anderen Kapitel mehr sagen. |  |  |  | Exaktheit und Logik (in Vorbereitung) |
|  | Die Zeichenebene und ihre Objekte (genauer: ihre Teilmengen) sind also hochgradig idealisierte Angelegenheiten, Abstraktionen. Dennoch sind die Vorstellungen, die wir mit einem Blatt Papier, einem gut gespitzten Bleistift, einem Lineal und einem Zirkel verbinden, wertvoll, und sie werden uns nützliche Dienste erweisen. |  |  |  | Teilmenge |
|  | Koordinaten zur Orientierung |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Die Achsen Für viele Zwecke ist es notwendig, ein Orientierungssystem auf der Zeichenebene zur Verfügung zu haben. Dazu denken wir uns zwei aufeinander normal stehende Gerade gezeichnet. Wir betrachten die Ebene mit unserem geistigen Auge so, daß wir eine der beiden Geraden horizontal sehen, die andere vertikal. (Wir verwenden diese Begriffe in der Bedeutung, die sie haben, wenn über ein Blatt Papier gesprochen wird). Den beiden Geraden geben wir nun Namen: Die erste nennen wir x-Achse, die zweite y-Achse (wobei die Symbole x und y häufig verwendet werden, aber auch durch andere ersetzt werden können. Die erste Achse wird Abszisse, die zweite Ordinate genannt). Wir sprechen von Koordinatenachsen oder kurz Achsen. Zuletzt geben wir ihnen - gemäß folgender Skizze - je eine "Richtung", die durch einen Pfeil angedeutet ist: Damit ist gemeint, daß die Achsen ohne Begrenzung "bis ins Unendliche" laufen (obwohl wir natürlich nur einen endlich großen Ausschnitt der Ebene zeichnen können). Die beiden Achsen schneiden einander in einem Punkt, den wir Ursprung nennen. Diese Konstruktion versetzt uns in die Lage, die Position von Punkten in Form von Zahlen angeben zu können. Nehmen wir an, P sei ein Punkt auf der Zeichenebene. Dann zeichnen wir die Abstände zu den beiden Achsen wie in der folgenden Skizze ein (wobei wir den Achsen Markierungen im Abstand 1 geben, um Längen leichter ablesen zu können): Die beiden Abstände in diesem Beispiel sind 3 und 2. Die erste Zahl - also 3 - nennen wir die x-Koordinate, die zweite Zahl - also 2 - nennen wir die y-Koordinate des Punktes P. Diese beiden Zahlen bestimmen die Position des Punktes (in Bezug auf die Achsen) eindeutig. Genau genommen funktioniert dieses Methode der Positionsbestimmung nur, wenn der Punkt rechts von der y-Achse und oberhalb der x-Achse liegt. Im allgemeinen Fall müssen wir auch negative Koordinatenwerte zulassen: Liegt ein Punkt links von der y-Achse, so ist seine x-Koordinate das Negative des Abstands von der y-Achse. Liegt ein Punkt unterhalb der x-Achse, so ist seine y-Koordinate das Negative des Abstands von der x-Achse. Wir können uns die y-Koordinate als "Seehöhe" vorstellen, wenn die x-Achse das Niveau des Meeresspiegels darstellt. So gesehen ist es ganz natürlich, daß manche Punkte eine negative y-Koordinate haben. Und genauso legitim sind negative x-Koordinaten für Punkte links von der y-Achse. Hier vier Beispiele: Die eingezeichneten Punkte haben folgende Koordinaten: Punkt | x-Koordinate | y-Koordinate
P | 3 | 2
Q | 2 | -1
S | -2 | 1
R | -2.5 | -0.5
Spezialfälle: Beide Koordinaten des Ursprungs sind Null. Für einen Punkt auf der x-Achse ist die y-Koordinate Null. (Gemäß dem oben gemachten Vergleich könnte man sagen, seine "Seehöhe" ist Null, also liegt er "auf Meeresniveau"). Für einen Punkt auf der y-Achse ist die x-Koordinate Null. Beachten Sie die vertauschten Rollen von x und y in den letzen beiden Aussagen! Bisher haben wir Koordinaten (bis auf ihr Vorzeichen) als Abstände von den Achsen betrachtet. Es gibt aber noch eine andere nützliche Art, sich Koordinaten vorzustellen. Koordinaten und Schatzsuche Wir können die Koordinaten eines Punktes als Anweisung betrachten, wie man vom Ursprung ausgehend zu ihm gelangt, genauso wie bei einer Schatzsuche: Man gehe vom Ursprung aus (in Gedanken) soweit entlang der x-Achse, wie die x-Koordinate angibt, und zwar nach rechts, wenn die x-Koordinate positiv ist, und nach links, wenn die x-Koordinate negativ ist. Ist die x-Koordinate Null, so mache man gar nichts. Von dort gehe man soweit parallel zur y-Achse, wie die y-Koordinate angibt, und zwar nach oben, wenn die y-Koordinate positiv ist, und nach unten, wenn die y-Koordinate negativ ist. Ist die y-Koordinate Null, so mache man gar nichts. Wir können auch den Spieß umdrehen und vom Ursprung aus zuerst nach oben oder unten und dann nach rechts oder links gehen, um zum selben Punkt zu gelangen. Der Grund dafür liegt darin, daß sich in den Skizzen, die bisher gezeigt wurden, Rechtecke verbergen. Hier ein Beispiel: Die Geschichte mit der Schatzsuche kann dazu benützt werden, um auf einem Blatt Papier einen Punkt, dessen Koordinaten gegeben sind, einzuzeichnen: Üblicherweise wird zunächst ein Punkt auf der x-Achse markiert, der gerade soweit vom Ursprung entfernt ist, wie die x-Koordinate angibt (ob rechts oder links vom Ursprung, bestimmt deren Vorzeichen), und dann wird eine Strecke von der Länge der y-Koordinate vertikal aufgetragen (ob nach oben oder nach unten, bestimmt deren Vorzeichen). Rechts, links, oben, unten Die Pfeile geben jeder Achse eine "Orientierung". Sie zeigen jene Richtungen an, in die die Koordinaten anwachsen: Wird ein Punkt nach oben verschoben (d.h. "in die positive y-Richtung"), so wächst seine y-Koordinate, wird er nach rechts verschoben, (d.h. "in die positive x-Richtung") so wächst seine x-Koordinate. Genau genommen hatte die Zeichenebene zunächst kein "rechts", "links", "oben" und "unten". Erst nachdem wir die zwei Achsen eingeführt haben, machen diese Orientierungs-Begriffe (in bezug auf die Achsen und ihre Pfeile) einen Sinn (wenngleich nur einen symbolischen, der von der Art und Weise herrührt, wie wir uns auf einem Blatt Papier orientieren). Sie stellen einfach bequeme Redeweisen dar, und anstelle von "rechts", "links", "oben" und "unten" könnte man genauso gut "Osten", "Westen", "Norden" und "Süden" sagen. So gesehen ist der Sinn unserer Konstruktion, die Zeichenebene mit einem "Mittelpunkt" (dem Ursprung) und einem "Kompaß" (den Achsen und ihren Orientierungen) zu versehen. Die Illustration der Bedeutung von Koordinaten anhand einer Schatzsuche (siehe oben) wird dann sogar noch um eine Spur realistischer. Die Orientierung der Achsen bringt eine besondere Sprechweise mit sich: Jene "Hälfte" der x-Achse, die vom Ursprung aus in die positive Richtung (d.h.in Richtung des Pfeils) verläuft, wird (etwas schlampig) positive x-Achse genannt, und entsprechend spricht man von der negativen x-Achse, der positiven y-Achse und der negativen y-Achse. Die vier Quadranten Um die Vorzeichenkombinationen der Koordinaten von Punkten bequem angeben zu können, werden vier Quadranten ("Viertelebenen") unterschieden, wobei im Gegenuhrzeigersinn von 1 (erster Quadrant) bis 4 (vierter Quadrant) gezählt wird: Quadrant Nummer | x-Koordinate | y-Koordinate
1 | positiv | positiv
2 | negativ | positiv
3 | negativ | negativ
4 | positiv | negativ
|  | Zusammenfassung und Bezeichnungen Jeder Punkt der Zeichenebene hat zwei Koordinaten, und umgekehrt legt die Angabe zweier reeller Zahlen als Koordinaten die Position eines Punktes fest. Koordinaten der Art, wie wir sie hier beschrieben haben, heißen kartesische Koordinaten (nach René Descartes, 1596 - 1650, der die Bedeutung der Koordinatensysteme für die moderne Mathematik erkannte und seinen Namen nach einer Mode seiner Zeit in die lateinische Form Cartesius abänderte) oder rechtwinkelige Koordinaten (da die beiden Achsen im rechten Winkel zueinander stehen). Die beiden Achsen, zusammen mit ihren Orientierungen (den Pfeilen) bilden ein (kartesisches oder rechtwinkeliges) Koordinatensystem. Sein Sinn ist es also, uns eine Vorschrift in die Hand zu geben, wie die Position eines Punktes durch zwei Zahlen (den Koordinaten) ausgedrückt werden kann. Dadurch werden viele geometrische Probleme einer rechnerischen Behandlung zugänglich gemacht. Achtung: Die Bezeichungen x und y werden zwar häufig verwendet (man spricht dann von einem x y-Koordinatensystem), sind aber nicht obligatorisch. Man könnte an ihrer Stelle irgendwelche anderen Symbole verwenden. Heißen die Koordinaten beispielsweise r und s, so sprechen wir von einer r-Achse und einer s-Achse (die erste wieder Abszisse, die zweite Ordinate genannt) bzw. von einem r s-Koordinatensystem, und davon abgesehen wäre alles genauso wie hier beschrieben. |  |  |  |  |
|  | Im nebenstehenden Applet können Sie einen Punkt auf der Zeichenebene bewegen und seine Koordinaten ablesen. Es kann Ihnen dabei helfen, zu verstehen, was Koordinaten sind. Der interaktive Test Koordinaten ablesen gibt Ihnen zusätzliche Übungsmöglichkeiten. |  |  |  | Applet Kartesische Koordinaten |
|  | Mathematische Schreibweise |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Die Position jedes Punktes in der Zeichenebene kann durch die Angabe zweier reeller Zahlen (seiner Koordinaten) beschrieben werden. Nehmen wir beispielsweise an, die x-Koordinate eines Punktes P sei 3, seine y-Koordinate sei 2. Diese beiden Zahlen werden üblicherweise zu einem Zahlenpaar zusammenfaßt, das in der Form (3, 2) angeschrieben wird. |  |  |  | Zahlenpaar |
|  | Um auszudrücken, daß der Punkt P die Koordinaten (3, 2) hat, schreibt man
P (3, 2) oder P (3 / 2).
| (1)
Die beiden Koordinaten werden oft mit denselben Symbolen wie die Achsen bezeichnet. Sind dies x und y, sind die Koordinaten unseres Punktes P durch
x = 3, y = 2
| (2)
gegeben. Um Punkten Namen zu geben, werden meistens Großbuchstaben verwendet. So sagt etwa die Angabe Q (2, -1) aus, daß der Punkt Q die Koordinaten x = 2 und y = -1 hat. |  |  |  |  |
|  | Strecken und Schnittpunkte |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Ausgehend von einzelnen Punkten, können beliebige geometrische Figuren in einer Sprache charakterisiert und beschrieben werden, die nur Zahlen benützt. Wir beschränken uns hier auf die einfachsten Dinge. Sind etwa die Punkte P und Q durch ihre Koordinaten eindeutig festgelegt, so ist auch die Strecke zwischen ihnen ein eindeutiges (exakt festgelegtes) geometrisches Objekt. Sie wird üblicherweise als P Q bezeichnet. Wir können nun die beiden Punkte und die Strecke, die sie verbindet, in eine Skizze einzeichen. Obwohl jede reale Zeichnung von Ungenauigkeiten (wie zum Beispiel der Strichdicke) gekennzeichnet ist, meinen wir damit "ideale" (also mathematische) Objekte. Genau diese mathematischen Objekte werden durch die Angabe der Koordinaten der Punkte P und Q in exakter Weise charakterisiert. Um einen Geschmack davon zu bekommen, wie die Angabe von Koordinaten mit mathematischen Fragestellungen zusammenhängt, nehmen wir an, wir legen zwei Strecken durch die Koordinaten ihrer Endpunkte fest. Nehmen wir weiters an, daß diese beiden Strecken "einander schneiden", d.h. einen gemeinsamen Punkt besitzen. Er wird Schnittpunkt genannt, und es läßt sich nun fragen, wo er liegt. Beispiel: Gegeben seien die vier Punkte P(3, 2), Q(2, -1), A(2, 1) und B(5, -2). Frage: Wo liegt der Schnittpunkt der beiden Strecken P Q und A B ? Die Angabe reicht aus, um auf einem Blatt Papier eine Skizze der Situation zu machen. Der Schnittpunkt der beiden Strecken ist zeichnerisch leicht ermittelt. Um aber exakt anzugeben, wo er liegt, ist es am einfachsten, seine Koordinaten zu ermitteln. Um die Koordinaten ungefähr zu ermitteln, reicht es, sie in der Skizze abzulesen. Tun Sie es! Sie werden - wenn Sie einigermaßen genau gezeichnet haben - das Resultat x = 2.5 und y = 0.5 finden. Ist dies ein exaktes oder nur ein ungefähres Ergebnis? Diese Frage kann durch pures Ablesen nicht beantwortet werden - sie bedarf einer mathematischen Argumentation ! Betrachten Sie folgende Skizze und die in ihr enthaltenen zusätzlichen Hilfslinien, um sie zu beantworten! |  |  |  |  |
|  | Mit Hilfe des nebenstehenden Applets können Sie das Einzeichnen von Punkten und das Ablesen von Koordinaten (insbesondere der Koordinaten von Schnittpunkten) üben. |  |  |  | Applet Zeichenebene und Koordinatensystem |
|  | Wir werden später Methoden kennenlernen, mit deren Hilfe solche Problemstellungen rechnerisch gelöst werden können. |  |  |  | Analytische Geometrie 1 |
|  | Die Zeichenebene als R2 |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Die Idee der Koordinaten ist nicht nur nützlich, um die Position von Punkten in Zahlen zu fassen. Sie erlaubt uns, einen genaueren Begriff der Zeichenebene zu entwickeln. Wir haben die Zeicheneben oben als "Idealbild" eines Blatt Papiers bezeichnet, eben und unendlich ausgebreitet, ohne Dicke, ohne Farbe und Geruch usw. Das ist natürlich keine besonders mathematische Charakterisierung - sie ist eher philosophischer Natur. Die Koordinaten erlauben uns nun einen Blick aufs Wesentliche: Die Zeichenebene ist die Menge aller in ihr liegenden Punkte. Ist nun ein (kartesisches) Koordinatensystem festgelegt, so kann jeder Punkt durch ein Zahlenpaar (das aus seinen Koordinaten besteht) dargestellt werden. Und außer der Tatsache, daß er irgendwo in der Zahlenebene liegt, hat ein (mathematischer) Punkt eigentlich keine weiteren Eigenschaften! Ein Zahlenpaar (x, y) stellt daher genau die mathematisch relevante Information über einen Punkt P dar. Symbolisch können wir das als P « (x, y) ausdrücken: Punkte werden mit den Zahlenpaaren, die ihre Koordinaten enthalten, identifiziert. Jeder Punkt entspricht genau einem Zahlenpaar, und jedes Zahlenpaar entspricht genau einem Punkt. Wir könnten noch zugespitzter sagen: Ein Punkt der Zeichenebene ist ein Paar reeller Zahlen. Damit sind all die Eigenschaften, die "kleine Objekte" der realen Welt besitzen können, abgestreift. Wenn wir uns auf die Sprachregelung einigen, daß ein Punkt einfach ein Zahlenpaar ist, brauchen wir keine zusätzlichen philosophischen Anstrengungen zu unternehmen wie "hat keinerlei Ausdehnung" und auch "sonst keine weitere Eigenschaft". Diese Reduktion auf das vom mathematischen Standpunkt Wesentliche ist eine gedankliche Abstraktion, aber nun ist es eine, mit der wir auf formale und präzise Weise umgehen können. Von diesem Standpunkt aus betrachtet, stellt sich die Zeichenebene - die Menge aller in ihr liegenden Punkte - als Menge aller reellen Zahlenpaare heraus. Die Menge der reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare von reellen Zahlen als R2 (ausgesprochen als "R zwei"). Wir sind dieser Menge bereits in einem früheren Kapitel begegnet. In der mathematischen Formelsprache ist sie durch
R2 = { (x, y) | x, y Î R }
| (3)
definiert. Diese Aussage kann gelesen werden als "die Menge aller Paare (x, y), für die gilt: x und y sind Elemente der Menge R". |  |  |  | der Menge R2 Mengen- schreibweise |
|  | Wir identifizieren also die Zeichenebene mit der Menge R2. Wir könnten noch zugespitzter sagen: Die Zeichenebene ist die Menge R2. Von diesem Standpunkt aus betrachtet ist es nicht mehr notwendig, die Zeichenebene als "ohne Dicke" und "unendlich ausgebreitet" zu beschreiben, denn das alles erhalten wir nun gratis mitgeliefert: Mit der Menge R2 ist weder eine Dicke verbunden, noch hat sie eine Grenze, noch eine Farbe oder einen Geruch. Und - es läßt sich über sie auf präzise Weise sprechen. Genau das wünschen wir uns in der Mathematik. Wir sollten die Sache mit dem Blatt Papier (die "Vorlage" der Abstraktion, an der wir nun angelangt sind) dennoch nicht zur Gänze vergessen, denn sie ist nach wie vor nützlich, um sich unter der Zeichenebene etwas vorzustellen. Fassen wir zusammen: Die Zeichenebene kann mit der Menge R2 identifiziert werden. Hier ist allerdings noch eine kleine Anmerkung zu machen: Die Zeichenebene "als solche" ist nicht mit einem Koordinatensystem ausgestattet. Wir haben ein solches konstruiert, indem wir uns (in Gedanken) zwei aufeinander normal stehende Achsen ausgedacht haben und ihnen Richtungen (Pfeile) gegeben haben (siehe oben). Dementsprechend haben wir der Ebene einen "Mittelpunkt" gegeben: den Ursprung, der jetzt - als Element von R2 - einfach das Zahlenpaar (0, 0) ist. Die Zeichenebene "als solche" hat natürlich weder einen derartigen Mittelpunkt, noch irgendeine ausgezeichnete Richtung. Es ist gar nicht leicht, die ursprüngliche Idee einer glatten Fläche (ohne jegliche ausgezeichnete Struktur wie Koordinatenachsen) als mathematisches Objekt zu definieren. Wir werden in einem späteren Kapitel ein bißchen dazu sagen. |  |  |  | Mathematische Strukturen und Räume (in Vorbereitung) |
|  | Für praktisch alle Zwecke der Schulmathematik spielt dies jedoch glücklicherweise keine Rolle. Wir können uns vorstellen, ein Koordinatensystem sei fix gewählt, und in Bezug auf dieses wird die Zeichenebene mit dem R2 identifiziert. |  |  |  |  |
|  | In einem früheren Kapitel wurde übrigens bereits die Idee des Koordinatensystems verwendet, ohne daß sie so benannt wurde: Die Zahlengerade besteht in der Vorstellung, die Position von Punkten auf einer Linie (einem "eindimensionalen" Gebilde) durch reelle Zahlen zu beschreiben. Über die ("zweidimensionales") Ebene sprechen wir hier. Analog dazu kann die Position von Punkten im ("dreidimensionalen") Raum mit Hilfe von drei Zahlen beschrieben werden, wodurch dieser mit der Menge R3 aller reellen Zahlentripel identifiziert wird. Dadurch gewinnen wir einen Zugang zu höherdimensionalen Räumen, wie beispielsweise dem "vierdimensionalen" R4 als Menge aller reellen "Zahlen-4-Tupel". Der läßt sich nicht mehr so gut vorstellen wie Linien, Ebenen und der uns umgebende physikalische Raum, aber als mathematisches Objekt ist er eine direkte Verallgemeinerung der Dinge, die wir hier besprechen. Die Menge aller reellen Zahlenpaare ist das kartesische Produkt der Menge R mit sich selbst: R2 = R × R. Der erste Faktor kann als die x-Achse, der zweite als die y-Achse aufgefaßt werden. Insofern kann man die Ebene als das "Produkt" zweier Geraden (der beiden Achsen) ansehen, und insofern ist das von uns bisher betrachtete kartesische Koordinatensystem ein besonders "natürliches". |  |  |  | Zahlengerade kartesisches Produkt |
|  | Andere Koordinatensysteme |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Wir haben oben die Zeichenebene mit einem kartesischen Koordinatensystem ausgestattet. Jeder Punkt ist durch ein Paar (x, y) von reellen Zahlen charakterisiert. Obwohl dieses Koordinatensystem seine Aufgabe, die Position von Punkten in Zahlen auzudrücken, erfüllt, ist es manchmal von Vorteil, auch andere Koordinatensysteme zu verwenden. Ebene Polarkoordinaten Anstelle der kartesischen Koordinaten x und y kann die Position eines Punktes auch charakterisiert werden durch seinen Abstand vom Ursprung (üblicherweise mit dem Buchstaben r bezeichnet) und die Richtung, in der er - vom Ursprung aus betrachtet - "gesehen" wird. Diese Richtung wird als Winkel zur positiven x-Achse (gemessen im Gegenuhrzeigersinn) festgelegt. Wir bezeichnen ihn mit dem griechischen Buchstaben f (phi), oft wird dafür auch j (andere Variante von phi) oder q (theta) verwendet. Er wird Polarwinkel genannt. Die Position jedes Punkt ist durch ein Paar (r, f) von Zahlen festgelegt. Dabei ist immer r ³ 0 und 0° £ f < 360°. (Beachten Sie: ein Winkel von 360° bedeutet dasselbe wie 0°). Lediglich am Ursprung passiert ein kleines Malheur: Für ihn gilt r = 0, aber der Winkel f ist völlig unbestimmt. Alle anderen Punkte besitzen eindeutig bestimmte Werte von r und f, und umgekehrt legt jedes Paar (r, f), für das r > 0 und 0° £ f < 360° gilt, genau einen Punkt fest. Diese Koordinaten heißen (ebene) Polarkoordinaten. Manche geometrischen Probleme lassen sich einfacher behandeln, wenn die Zeichenebene "durch die Brille der Polarkoordinaten" betrachtet wird. (Wenn Sie etwa für Ortsbestimmungen in der Arktis - von der Erdkrümmung einmal abgesehen - als Koordinaten den Abstand r vom Nordpol und die geographische Länge f verwenden, machen Sie nichts anderes). |  |  |  | Das Applet Ebene Polarkoordinaten veranschaulicht diese Definition. |
|  | Jeder Punkt (ausgenommen der Ursprung) besitzt eindeutige Werte r und f der Polarkoordinaten. Daneben besitzt er auch eindeutige Werte x und y der kartesischen Koordinaten. Da sowohl im Paar (r, f) als auch im Paar (x, y) genau die notwendige Information über seine Position steckt, können kartesische und Polarkoordinaten ineinander umgerechnet werden. Die vollständigen Berechnung erfordert Winkelfunktionen, wird daher auf ein späteres Kapitel verschoben. Wir wollen hier nur erwähnen, daß für jeden Punkt die Beziehung |  |  |  | Umrechnung kartesischer in Polarkoordinaten |
r2 = x2 + y2
| (4)
gilt. Sie drückt den Satz von Pythagoras für das in der folgenden Skizze hervorgehobene rechtwinkelige Dreieck aus: Spezialfälle für Werte von Polarkoordinaten sind: Für jeden Punkt am Einheitskreis (Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist) gilt r = 1. Für jeden Punkt auf der positiven x-Achse gilt f = 0°. Für jeden Punkt auf der positiven y-Achse gilt f = 90°. Für jeden Punkt auf der negativen x-Achse gilt f = 180°. Für jeden Punkt auf der negativen y-Achse gilt f = 270°. |  |  |  |  |
|  | Schiefwinkelige Koordinaten Um ein Beispiel für ein weiteres Koordinatensystem anzuführen, erwähnen wir schiefwinkelige Koordinaten. Sie sind eine Verallgemeinerung der kartesischen Koordinaten und beruhen wie diese auf der Wahl zweier Achsen, die aber nun nicht aufeinander normal stehen müssen (und auf denen die Einheiten beliebig gewählt werden können). Während das Ablesen der kartesischen Koordinaten eines Punktes auf ein Rechteck führt (siehe oben), ist bei der Bestimmung schiefwinkeliger Koordinaten ein Parallelogramm zu verwenden, dessen Seiten parallel zu den Achsen sind: |  |  |  | Parallelogramm |
|  | Die Koordinaten sind hier mit u und v bezeichnet. Der oben eingezeichnete Punkt P hat die Koordinaten u = 1.5 und v = 2. |  |  |  | Das Applet Schiefwinkelige Koordinaten hilft, diese Definition besser zu verstehen. |
|  | Koordinaten, ganz allgemein |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Neben den hier besprochenen gibt es noch viele andere Koordinatensysteme. Der Sinn jedes Koordinatensystems ist es, die Position von Punkten durch Zahlen auszudrücken. Koordinatensysteme können ganz verschiedene Eigenschaften besitzen. So beruhen die kartesischen Koordinaten auf der Wahl zweier Achsen, wohingegen im Zusammenhang mit Polarkoordinaten weder von einer r-Achse noch von einer f-Achse die Rede war. Auch die Rolle des Ursprungs ist in beiden Systemen verschieden. Dennoch haben alle Kordinatensysteme etwas gemeinsam. Sie "überziehen" die Zeichenebene mit einem Muster aus Linien, den Koordinatenlinien. Eine Koordinatenlinie ist eine Linie (Kurve), entlang welcher sich der Wert einer der beiden Koordinaten nicht ändert. Wir wollen das aus diesen Linien gebildete Muster "Koordinaten-Raster" nennen. Es erinnert an die in einer Landkarte eingezeichneten Kurven, mit deren Hilfe die Längen- und Breitengrade eines Ortes abgelesen werden können. Ist in einer Skizze ein genügend feiner Raster dieser Linien eingezeichnet, so lassen sich die Koordinaten von Punkten bequem abzulesen. Nebenstehend finden Sie drei der Applets, auf die wir bereits oben verwiesen haben. Sie zeigen Ihnen die Koordinatenlinien dreier Koordinatensysteme auf Knopfdruck. Im Fall kartesischer (siehe oben) und schiefwinkeliger (siehe oben) Koordinaten sind alle Koordinatenlinien gerade. Der Koordinaten-Raster besteht aus zwei Scharen von zueinander parallelen Geraden. Diese Koordinaten werden daher geradlinig genannt. Sie besitzen Achsen (die jeweils selbst Koordinatenlinien sind, und zwar jene, entlang derer eine der beiden Koordinaten Null ist). Polarkoordinaten (siehe oben) sind ein Beispiel für krummlinige Koordinaten. Ihre Koordinatenlinien sind einerseits alle Strahlen ( = Halbgeraden) durch den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate f nicht ändert), andererseits alle Kreise um den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate r nicht ändert). Für diese Koordinaten macht der Begriff der Achsen überhaupt keinen Sinn! |  |  |  | Applet Kartesische Koordinaten Applet Schiefwinkelige Koordinaten Applet Ebene Polarkoordinaten |
|  | Jedes Koordinatensystem hat seinen charakteristischen Raster und ermöglicht einen ganz bestimmten "Blick" auf die Zeichenebene und hat ein ganz besonderes "Flair". So manches Problem läßt sich leichter behandeln, wenn ein ihm angepasstes Koordinatensystem verwendet wird. Der nebenstehende Button verbirgt eine Skizze, die anhand eines Beispiels verdeutlicht, wie Koordinatenlinien ganz allgemein aussehen können. Sie erinnern an ein deformiertes Netz. |  |  |  |  |
|  | Die Koordinaten eines Punktes in Bezug auf ein Koordinatensystem können in jene bezüglich eines anderen Koordinatensystems umgerechnet werden. Man spricht dann von einer Koordinatentransformation. Insbesondere in der Physik spielt die gleichzeitige Verwendung mehrerer (z. B. kartesischer, aber zueinander rotierter) Koordinatensysteme (oder Bezugssysteme, wie dort auch gesagt wird) eine wichtige Rolle. |  |  |  | Koordinaten- transformationen (in Vorbereitung) |

| Die in diesem Kapitel empfohlenen Web-Ressourcen: |  | Weitere Angebote von mathe online zum Thema:
| Zum Kapitel Zeichenebene und Koordinatensystem der Galerie Siehe auch die interaktiven Tests zum Thema.

Zum Seitenanfang Zum Lexikon Zur Galerie Zum Kapitel Zeichenebene und Koordinatensystem der Galerie Zum Inhaltsverzeichnis der Mathematischen Hintergründe Zu den interaktiven Tests Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen Zur Welcome Page