Zweiter Bildungsweg
mathe online

Beispiele für die Weihnachtsferien
zusammengestellt von Silvia Huber und Markus Röthl

## Vorzeichenfehler vermeiden

#### Das Minuszeichen in den Binomischen Formeln

Versuche die folgenden 4 Terme auszumultiplizieren. Falls du Probleme damit hast, lese die unter den 4 Aufgaben gegebene Hilfe oder lese bei Mathematische Hintergründe (Variable,Terme, Formeln und Identitäten; Binomische Formeln) nach.

Betrachte die Ergebnisse von den Beispielen 1) - 4). Was erkennst du?

Ergebnis

Hilfe:

> ad 2) kannst du auch als schreiben. Nun kannst du die 1. Binomische Formel darauf anwenden.

> ad 4) kannst du umschreiben auf und darauf die 1. Binomische Formel anwenden.
> ODER
> du schreibst dir um auf und wendest die 2. Binomische Formel darauf an.

#### Das Vorzeichen-Minus vor einem Produkt

Zu diesem Thema findest du auch etwas bei Mathematische Hintergründe (Zahlen; 3 Rollen des Minuszeichens).

Eine Hilfestellung:

ad 1)

ad 3)

## Rechnen mit Bruchtermen

#### Wie bestimmt man den Hauptnenner?

Für das Hantieren mit Brüchen solltest du etwas Bescheid über Umformen von Bruchtermen, Kürzen und Faktorisieren (Linear-Faktor- Zerlegung) wissen. Zu diesen Themen findest du etwas unter Mathematische Hintergründe (Variable,Terme, Formeln und Identitäten; Umformen von Bruchtermen, kürzen) und unter Mathematische Hintergründe (Gleichungen; Vieta´scher Satz). Um deine Linearfaktor-Zerlegung zu kontrollieren, kannst du Mathematische Hintergründe (Variable,Terme, Formeln und Identitäten; Polynome faktorisieren mit Mathematica) verwenden.

Erklärung zum Zerlegen von Polynomen:

1) Bei Polynomen 1. Grades (lineare Terme) versuchst du einen gemeinsamen Faktor herauszuheben:

> a) 4x - 6 = 2 · ( )
> b) -12x - 9 = -3 · ( )
> c) -4ab + 48b = -4b · ( )
> d) 21e - 7 = 7 · ( )

2) Bei Polynomen höheren Grades gehst du folgendermaßen vor:

1. einen gemeinsamen Faktor herausheben

2. in Linearfaktoren aufspalten

Beispiele:

Spalte folgende Terme in Linearfaktoren auf.

a)

b)

c)

d)

#### Bruchterme auf gemeinsamen Nenner bringen

Mit dem nun erworbenen Wissen kannst du die folgenden Aufgaben lösen. Bringe die Bruchterme auf gemeinsamen Nenner:

a)

b)

c)

d)

## Funktionsgraphen. Was lässt sich aus ihnen ablesen?

Starte aus der Galerie von mathe online das Applet Funktionen und Funktionsgraph und mache dich ein wenig mit seinen Funktionen vertraut. Lese den Text hinter den Buttons Aufgaben, Lösungen und Didaktischer Hintergrund. Benütze den Schieberegler unter dem Funktionsgraphen und beobachte, wie sich der links oben angezeigte Funktionswert dabei ändert.

Löse nun folgende Aufgaben

1. An welchen Stellen ist der Funktionswert gerade 0.64 ?

2. Bestimme die Funktionswerte an den Stellen - 2.72, - 0.56 und 2.8 !

3. Bestimme die Nullstellen von f, d.h. jene x-Werte, für die f(x) = 0 ist!

4. An welchen Stellen (im dargestellten Bereich) hat die Funktion lokale Hochpunkte bzw. lokale Tiefpunkte?

5. In welchen Intervallen im dargestellten Bereich ist der Funktionswert positiv, d.h. f(x)>0, in welchen negativ, d.h. f(x)<0? (Die Zahlen lassen sich nur näherungsweise ablesen!) Erkennst du den Zusammenhang zwischen den Intervallgrenzen und den Nullstellen?

6. In welchen Intervallen im dargestellten Bereich nimmt der Funktionswert (von links nach rechts, d.h. mit zunehmendem x-Wert) zu, in welchen nimmt er ab? Welcher Zusammenhang besteht zwischen diesen Intervallen und den lokalen Hochpunkten bzw. lokalen Tiefpunkten der Funktion? (Diese Überlegungen werden wir später für Kurvendiskussionen in der Differentialrechnung benötigen).

## Erkennen welcher Funktionsgraph zu welchem Funktionsterm gehört und umgekehrt

#### Graphen einfacher Potenzfunktionen

Mache dich als erstes mit dem Applet Graphen einfacher Potenzfunktionen (mathe online Galerie, Funktionen 1) vertraut! An welcher Stelle ist der Funktionswert Null? Welchen Wert haben die Funktionen an der Stelle Null (sind sie dort überhaupt definiert)? Sind die Funktionswerte für sehr große negative Zahlen und sehr große positive Zahlen positiv oder negativ? "Geht die Kurve am linken bzw. rechten Rand hinauf oder hinunter?"

#### Funktionsplotter

Mache dich als nächstes mit dem Applet Funktionen-Plotter (mathe online Galerie, Funktionen 1) vertraut! Überfliege den Text hinter dem Button Beschreibung! Beachte vor allem, wie man Hochzahlen eingibt! Mache dir klar, wie sich mehrere Funktionen hintereinander zeichnen und wieder löschen lassen! Durch Betätigen des Buttons Cursor werden links oben die Koordinaten des Maus-Pfeils angezeigt. Damit können Funktionswerte und Stellen abgelesen werden wie im vorigen Abschnitt, mit dem Unterschied, dass du jetzt selbst die Funktion vorgeben kannst.

Aufgabe: Versuche nun die Graphen der einfachen Potenzfunktionen von vorhin selbst mit dem Funktionen-Plotter nachzuzeichnen und vergleiche die Ergebnisse!

#### Polynome 0., 1., 2. und 3.Ordnung (Grades)

Dabei handelt es sich um Funktionen der Gestalt

> f(x) = a x3 + b x2 + c x + d ,

wobei die Koeffizienten a, b, c, d fixe reelle Zahlen sind und auch null sein können.

Starte das Applet Polynom höchstens dritter Ordnung (mathe online Galerie, Funktionen 1) und mache dich mit seiner Funktionsweise vertraut. Überfliege den Text hinter den Buttons. Du kannst die Koeffizienten a, b, c, d selbst vorgeben und siehst sofort, wie der Graph des Polynoms mit diesen Koeffizienten ausschaut. (Im Wesentlichen macht dieses Applet dasselbe wie der Funkionen-Plotter, nur dass man eben nicht soviel eingeben muss.) Mit dem Cursor lassen sich Funktionswerte (y-Wert) und Stellen (x-Wert) ablesen.

Fragen:

1. Überlege und prüfe nach welche Koeffizienten null sein müssen um eine lineare Funktion ( = Gerade) zu erhalten!
2. Wann ist eine Gerade ein Polynom von der Ordnung null (kein x im Funktionsterm)? Wie sieht der Funktionsgraph dazu aus?
3. Wann ist eine Gerade ein Polynom von der Ordnung eins?
4. Welche Koeffizienten müssen null sein, um eine homogene lineare Funktion zu erhalten? (homogen heißt hier, dass im Funktionsterm keine Zahl ohne x vorkommt.) Wie schaut die dazugehörige Gerade aus (mit dem Applet nachprüfen!)?
5. Welche Koeffizienten müssen null sein, damit es sich um ein Polynom zweiter Ordnung (quadratische Funktion) handelt? Wie sieht der dazugehörige Graph aus?
6. Für welche quadratische Funktionen liegt das Minimum der Parabel genau auf der y-Achse (ausprobieren und überlegen)?
7. Wie verändert sich die Lage der Parabel beim Verändern des Koeffizienten d ?
8. Welcher Koeffizient darf für ein Polynom 3.Ordnung nicht null sein?
9. Untersuche anhand der Beispiele

   f(x) = (x+1) (x-1) (x-2) | <=> | f(x) = x3 -2 x2 - x + 2
   f(x) = (x+1)2 (x-1) | <=> | f(x) =x3 + x2 - x -1
   f(x) = (x+1)3 | <=> | f(x) = x3 + 3 x2 + 3 x + 1

   wieviele Nullstellen ein Polynom dritter Ordnung haben kann! In der linken Spalte sind Funktionen in Linearfaktoren Zerlegt, rechts stehen die Funktionswerte in ausmultiplizierter (rechne nach!) Form, so dass sich sofort die Koeffizienten, die man für die Eingabe für das Applet benötigt, ablesen lassen. Lese die Nullstellen einerseits aus der Termdarstellung in Linearfaktorform ab und anderseits mit dem Cursor aus dem Funktionsgraphen! Wieviele Nullstellen kann also ein Polynom dritter Ordnung haben?

10. Was kann man über den Funktionsgraphen eines Polynoms dritter Ordnung für sehr große und sehr kleine x-Werte im Allgemeinen sagen? Beachte dabei den Einfluss des Vorzeichens vom Koeffizienten a (ausprobieren) !

Antworten:

1. Die Koeffizienten a und b müssen null sein, um eine Gerade zu erhalten.
2. Wenn die Koeffizienten a, b, c null sind. Die Gerade ist dann parallel zur x-Achse und schneidet die y-Achse an der Stelle d.
3. Entsprechend wenn die Koeffizienten a, b null sind, aber nicht c.
4. Wenn die Koeffizienten a, b, d null sind. Die Gerade verläuft dann durch den Ursprung.
5. Der Koeffizient a muss null sein. Der Graph ist eine Parabel?
6. Für Polynome mit a=0 und c=0.
7. Beim Vergrößerung von d verschiebt sich die Parabel entlang der y-Achse nach oben, bei Verkleinerung von d entlang der y-Achse nach unten.
8. Der Koeffizient a darf nicht null sein, weil es sonst keinen x3-Term im Funktionsterm von f gibt.
9. Die Nullstellen sind einmal -1,+1,+2, dann -1,+1 und schließlich nur -1. Ein Polynom dritter Ordnung kann also 3, 2 oder eine Nullstelle haben. -1 ist im ersten Fall eine einfache, im zweiten Fall eine doppelte oder zweifache Nullstelle und im dritten Fall eine dreifache Nullstelle (in Übereinstimmung mit der Hochzahl des Linearfaktors (x+1) im Funktionsterm).
10. Sind die Funktionswerte für sehr kleine x-Werte negativ, so sind sie für sehr große positiv und umgekehrt. Salopp: "Geht der linke Ast hinauf, so der rechte hinunter bzw. umgekehrt, je nach Vorzeichen des Koeffizienten a)

#### Puzzles

Löse nun die Puzzles Funktionen erkenne 1 und Graphen erkennen 1 (mathe online Galerie). Du kannst dazu natürlich den Funktionsplotter benützen. Ziel ist es aber allein durch Überlegen (lineare Funktion, quadratische Funktion, Funktionswert an der Stelle Null usw.) dahinter zukommen, welcher Graph zu welchem Funktionsterm gehört und umgekehrt.

Weitere Beispiele findest Du im Applet großes Graphenpuzzle (mathe online Interaktive Tests), das immer wieder neue Aufgaben erzeugt und eine Punkteauswertung angibt.

## Gleichungen näherungsweise mit Hilfe des Funktionsgraphen lösen

Löse die Aufgaben, die sich hinter dem Button Aufgaben des Applets Polynome höchstens dritter Ordnung verbergen. Die Lösungen findest du hinter dem Button Lösungen.

Hinweis: Beispielsweise lässt sich die Gleichung

> u³ = 3 u² - 2 u

graphisch näherungsweise dadurch lösen, indem man durch Äquivalenzumformung (ändert die Lösungsmenge nicht) auf der rechten Seite eine Null erzeugt,

> u³ - 3 u² + 2 u = 0

und anschließend mit Hilfe des Applets Funktionen-Plotter oder hier mittels des Applets Polynome höchstens dritter Ordnung die Nullstellen der Funktion

> f(u)= u³ - 3 u² + 2 u

mit dem Cursor abliest.

## Zusatz

Falls ihr noch Lust habt, könnt ihr noch die eine oder andere Aufgabe, die sich hinter dem Button Beispiele des Applets Funktionen-Plotter verbirgt, lösen.

## Fragen

Versucht zusammenzuarbeiten. Habt ihr Fragen, so fragt erst einmal eure Kollegen/Kolleginnen. Sind die Antworten unbefriedigend, so schreibt uns ein Email oder ruft uns an:

Silvia Huber | Pippi@gmx.at |
Markus Röthl | markus.roethl@gmx.net | Tel.: 96 825 74

Ein gutes neues Jahr wünschen euch Silvia und Markus.

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