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Auflösen von Dreiecken:

Vermessungsaufgaben laufen meistens auf das "Auflösen von Dreiecken" hinaus. Folgende Überlegungen können Ihnen dabei das Leben erleichtern: Die wichtigsten Bestimmungsstücke eines Dreieck sind die Seitenlängen und die Winkel. Von diesen sechs Größen reichen (bis auf Mehrdeutigkeiten, die weiter unten besprochen werden) drei aus, um ein Dreieck festzulegen. Die dazu geeigneten Methoden sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst, wobei in den Skizzen die gegebenen Größen rot (für Längen) und gelb (für Winkel), die gesuchten Größen grau dargestellt sind. Die angegebenen Methoden verstehen sich als Vorschläge, da manchmal (insbesondere, wenn bereits alle Bestimmungsstücke bis auf eines ermittelt wurden) sowohl der Sinussatz als auch der Cosinussatz zum Ziel führen. In diesen Fällen wurde generell der Sinussatz angeführt.
Gegeben sind... | Methode | zur Berechnung der... | Bemerkung
eine Seite und zwei Winkel (Seite-Winkel-Winkel, SWW) | 2 × Sinussatz | fehlenden Seiten | Da zwei Winkel gegeben sind, folgt der dritte automatisch aus der Tatsache, dass die Winkelsumme 180° ist!
zwei Seiten und ein nicht von ihnen eingeschlossener Winkel ( Seite-Seite-Winkel, SSW) | 2 × Sinussatz | fehlenden Seite und fehlenden Winkel | Nachdem ein zweiter Winkel ermittelt ist, folgt der dritte automatisch, da die Winkelsumme 180° ist!
zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel (Seite-Winkel-Seite, SWS) | Cosinussatz | fehlenden Seite |
Sinussatz | fehlenden Winkel | Nachdem ein zweiter Winkel ermittelt ist, folgt der dritte automatisch, da die Winkelsumme 180° ist!
alle drei Seiten ( Seite-Seite-Seite, SSS) | 1 × Cosinussatz und 1 × Sinussatz | fehlenden Winkel | Nachdem zwei Winkel ermittelt sind, folgt der dritte automatisch, da die Winkelsumme 180° ist!
Bedenken Sie bei der Suche nach der geeigneten Methode, dass der Sinussatz von Paaren vom Typ "Seite und gegenüberliegender Winkel" handelt, während der Cosinussatz zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel mit der dritten Seite in Beziehung setzt. Nachbemerkungen: Manchmal kommt es bei der Berechnung fehlender Bestimmungsstücke zu Mehrdeutigkeiten. Rechnerisch äußern sich diese darin, dass bei der Anwendung der Arcus-Sinus-Funktion zur Berechnung eines Winkels die Wahl zwischen einem spitzen und einem stumpfen Winkel bleibt. Beispielsweise führt die Angabe a = 60°, a = 10, b = 9 zu zwei Dreiecken, denn bei der Bestimmung von b durch den Sinussatz kommt es zu der erwähnten Zweideutigkeit. (Führen Sie zur Übung die Rechnung aus und zeichnen Sie beide Dreiecke!) Als Warnung sei noch hinzugefügt: Nicht jede Angabe von drei Bestimmungsstücken führt auf ein Dreieck! Beispielsweise führt die Angabe a = 1, b = 2, c = 4 auf keinerlei Dreieck. (Versuchen Sie, ein solches Dreieck zu zeichnen, dann sehen Sie den Grund dafür sofort!)