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Beweis der Regel von de l'Hospital:
Seien f und g reelle Funktionen, die beide in einer Umgebung der Stelle x0, d.h. in einem Intervall (x0 - a, x0 + a), stetig differenzierbar sind und beide an der Stelle x0 verschwinden, d.h. f(x0) = g(x0) = 0 erfüllen. Dann gilt:

|  | f(x) g(x) | = |  |  | f '(x) g'(x) | ,
lim | lim
x ® x0 | x ® x0
| (10)

wobei vorausgesetzt ist, dass der Grenzwert auf der rechten Seite existiert.
Beweis:

- Intuitive Argumentation für den Fall g'(x0) ¹ 0:
  Falls die Ableitung g'(x0) von Null verschieden ist, ist die Regel intuitiv sehr einfach zu verstehen. In diesem Fall ist die rechte Seite von (10) durch f '(x0)/g'(x0) gegeben. Wir ziehen diesen Fall daher vor und argumentieren anhand einer Skizze:
  In einer kleinen Umgebung von x0 können f und g durch lineare Funktionen approximiert werden, deren Graphen die Anstiege f '(x0) und g'(x0) haben:

  f(x) » f '(x0) (x - x0)
  g(x) » g'(x0) (x - x0) .

  Durch Division dieser beiden Näherungsausdrücke ergibt sich unmittelbar, dass

  f(x) g(x) | » | f '(x0) g'(x0) | .

  Lassen wir x gegen x0 streben, so wird diese Beziehung immer genauer, woraus sich

  |  | f(x) g(x) | = | f '(x0) g'(x0) |
  lim
  x ® x0

  ergibt. Das ist aber genau die Regel (10) für den betrachteten Spezialfall.
- Beweis für den allgemeinen Fall:
  Wir setzen voraus, dass der Grenzwert auf der rechten Seite von (10) existiert. Damit das möglich ist, muss g' an allen Stellen eines Intervalls (x0 - b, x0 + b), ausgenommen möglicherweise an der Stelle x0, ungleich 0 sein. Bezeichnen wir den Grenzwert mit c, so muss gelten: Für jede Folge reeller Zahlen (x1, x2, x3, ...), deren Glieder in diesem Intervall liegen und ¹ 0 sind, und die gegen x0 konvergiert, ist

  |  | f '(xn) g'(xn) | = c | .
  lim
  n ® ¥

  Für jedes Glied xn (n ³ 1) jeder solchen Folge gilt xn ¹ x0. Daher können die Funktionen f und g und ihre Ableitungen im Intervall zwischen x0 und xn betrachtet werden. Wir benötigen nun eine spezielle Eigenschaft dieser beiden Funktionen, die wir uns wie folgt beschaffen:

  Einschub ("Verallgemeinerter Mittelwertsatz"): Sei h die durch h(x) = ( f(xn) - f(x0)) g(x) - (g(xn) - g(x0)) f(x)
  - f(xn) g(x0) + f(x0) g(xn)
  definierte Funktion. Beachten Sie, dass sie von der einfachen Struktur k1g(x) + k2 f(x) + k3 ist und daher wie ihre Bestandteile auf dem Intervall zwischen x0 und xn stetig differenzierbar ist. Durch Einsetzen rechnet man leicht nach, dass h(x0) = h(xn) = 0 gilt, d.h. dass sie an den Rändern dieses Intervalls verschwindet. Jede stetig differenzierbare Funktion, für die das gilt, muss an irgendender Stelle zwischen den Rändern x0 und xn ein lokales Extremum besitzen. Demnach gibt es eine Zahl un zwischen x0 und xn, für die h'(un) = 0 gilt. Unter Verwendung der obigen Definition von h ergibt sich unmittelbar, dass die Aussage h'(un) = 0 die Form
  f(xn) - f(x0) g(xn) - g(x0) | = | f '(un) g'(un)
  annimmt. Zusammengefasst: Es existiert eine Zahl un zwischen x0 und xn, für die diese Beziehung gilt. Diese Aussage wird auch als "verallgemeinerter Mittelwertsatz" bezeichnet. Sie gilt ganz allgemein für jedes Paar von stetig differenzierbaren Funktionen. Wegen f(x0) = g(x0) = 0 nimmt sie in unserem Fall die einfachere Form
  f(xn) g(xn) | = | f '(un) g'(un)
  an.

  Der Rest des Beweises ist im Grunde genommen recht einfach: Wählen wir eine beliebige Folge (xn), so konvergiert auch die aus den oben konstruierten Zahlen un bestehende Folge, deren Elemente ja zwischen x0 und xn liegen, gegen x0. Folglich konvergiert die aus den Zahlen f '(un)/g'(un) bestehende Folge ebenfalls gegen c. Da aber f '(un)/g'(un) = f(xn)/g(xn) ist, folgt daraus

  |  | f(xn) g(xn) | = c | .
  lim
  n ® ¥

  Das gilt für jede unserer Folgen (xn), was genau die Aussage darstellt, dass die linke Seite von (10) gegen c konvergiert. Damit ist Formel (10) bewiesen.

Bemerkungen:

- Falls der Grenzwert auf der rechten Seite von (10) nicht existiert, so ist ein möglicher Grund der, dass der inverse Quotient
  g'(x)/f '(x)
  für x ® x0 gegen 0 konvergiert. In diesem Fall existiert auch der Grenzwert auf der linken Seite nicht. Dies kann dazu benutzt werden, um in gewissen Fällen die Nichtexistenz eines Grenzwerts zu beweisen.
  Beispiel: f(x) = x, g(x) = 1 - cos x. Es ergibt sich f '(x)/g'(x) = 1/sin x, was für x ® 0 keinen Grenzwert besitzt. Daher existiert der Grenzwert
  limx ® 0 x/(1 - cos x)
  nicht. Der Grund dafür ist die einfache Tatsache, dass
  limx ® 0 (1 - cos x)/x = 0
  ist.
- Regel (10) gilt auch dann, wenn die Bedingungen f(x0) = g(x0) = 0 durch
  limx ® x0 | f(x)| = limx ® x0 |g(x)| = ¥
  ersetzt werden. Damit können Grenzwerte "unbestimmter Formen ¥/¥" berechnet werden.
  Beispiel: f(x) = ln |x|, g(x) = 1/x, deren Beträge für x ® 0 gegen ¥ streben. Mit f '(x) = 1/x und g'(x) = -1/x2 berechnen wir
  limx ® 0 x ln |x| = limx ® 0 (-x) = 0.
  Dabei haben wir 1/(1/x) = x verwendet. x ln |x| kann natürlich auch als "unbestimmte Form 0 × ¥" interpretiert werden.
- Die Regel von de l'Hospital gilt in sinngemäßer Abwandlung auch dann, wenn x0 durch ¥ oder -¥ ersetzt wird.
  Beispiel: f(x) = x, g(x) = ex, womit sich
  limx ® ¥ x e-x = limx ® ¥ e-x = 0
  ergibt.
- In der Literatur findet man oft eine Version der Regel von de l'Hospital, die sich auf eine Umgebung rechts (oder links) von x0 beschränkt. Ableitungen und Grenzwerte sind dann durch rechtsseitige (bzw. linksseitige) Ableitungen und Grenzwerte zu ersetzen. Der Beweis für diese Fälle ist ganz analog zum oben geführten, mit dem einzigen Unterschied, dass die Folgen (xn) von rechts (links) gegen x0 konvergieren.