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Beweis von (3) und (4):
Sei f zweimal stetig differenzierbar und x eine Lösung der Gleichung f '(x) = 0. Ist

f ''(x) < 0, | (3)

so ist x eine lokale Maximumstelle. Ist

f ''(x) > 0, | (4)

so ist x eine lokale Minimumstelle.
Beweis:
Wir beweisen zuerst (3). Da laut Voraussetzung f '' stetig ist, gilt (3) nicht nur an der Stelle x, sondern auch in einer Umgebung von x. Das bedeutet, dass f ' in dieser Umgebung streng monoton fallend ist. (Diesen Zusammenhang zwischen der Ableitung und den Monotonieeigenschaften haben wir im Kapitel Differenzieren 1 diskutiert). Wegen (3) ist f ' links von x positiv und rechts von x negativ. Gemäß unserer Definition der lokalen Extrema ist x eine lokale Maximumstelle.
Der Beweis von (4) ist fast wortwörtlich identisch mit jenem von (3). Formulieren Sie ihn als Übungsaufgabe!

Die Logik dieser Beweise kann zum besseren Verständnis graphisch dargestellt werden. Nehmen wir an, dass (4) gilt. Die folgenden Skizzen zeigen den typischen Verlauf der Graphen von f, f ' und f '' in der Nähe der Stelle x:
Wir können nun den Beweis von (4) von unten nach oben lesen:

- Ist f ''(x) > 0, so ist die Ableitung von f ' an der Stelle x positiv, d.h. der Graph von f ' steigt in einer Umgebung von x an.
- Daher ist f ' links von x negativ und rechts von x positiv.
- Das bedeutet, dass f links von x abfällt und rechts von x ansteigt. Die Stelle x muss daher eine lokale Minimumstelle sein.