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Bemerkungen zur Variablensubstitution:
Das Diagramm illustriert eine umkehrbare Entsprechung zwischen den Variablen x und u. Als Funktion u º u(x) aufgefasst, bildet sie das Intervall [x1, x2] bijektiv auf das Intervall [u1, u2] ab. Die dazu inverse Funktion x º x(u) bildet das Intervall [u1, u2] bijektiv auf das Intervall [x1, x2] ab.
Wir können die Ableitung u'(x) an irgendeiner Stelle x als d u/d x bzw. die Ableitung x'(u) der inversen Funktion an der entsprechenden u-Stelle als d x/d u schreiben. Wie wir von der Diskussion der Ableitung der inversen Funktion im Kapitel Differenzieren 1 wissen, sind diese beiden Ableitungen Kehrwerte voneinander: u'(x) = 1/x'(u), was sehr schön mit der Schreibweise als "Differentialquotienten" übereinstimmt: d u/d x = 1/(d x/d u).
Gestatten wir uns die Vorstellung, dass es sich bei den "Differentialen" dx und du um "kleine Änderungen" von x und u handelt, so können wir diese ineinander umrechnen:
du = u'(x) d x
dx = x'(u) d u.
Der obigen der Skizze können Sie die geometrische Bedeutung dieser Formeln entnehmen.
In der Hauptsache ist es diese Übersetzung, die wir bei der Variablensubstitution in Integralen durchführen.