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Check von Rechenregel (2):
Die Rechenregel

am + n = am a n | (2)

war ursprünglich für den Fall gedacht, dass die Exponenten (Hochzahlen) m und n natürliche Zahlen sind. Nun dehnen die Definitionen (3) und (5) den Begriff der Potenz für beliebige ganzzahlige Exponenten aus. Um zu beweisen, dass Regel (2) auch dann gilt, wenn m und n ganze Zahlen sind, muss nicht mehr viel getan werden. Betrachten wir systematisch alle Vorzeichenkombinationen der Exponenten, die auftreten können:

1. m = 0 und/oder n = 0:
   Wegen a0 = 1 ist Regel (2) trivial erfüllt.
2. m und n sind positiv:
   Das ist der Fall natürlicher Exponenten, den wir hier als bereits bewiesen betrachten.
3. m und n sind negativ:
   Mit m = -p und n = -q (und p, q > 0) lautet (2):

   a-(p + q) = a-p a- q .

   Nach Bilden des Kehrwerts von linker und rechter Seite und Anwendung von (5) wird dieser Fall auf jenen mit natürlichen Exponenten, der bereits bewiesen ist, reduziert.
4. m und n haben verschiedenes Vorzeichen:
   Das ist der einzige Fall, bei dem es überhaupt etwas zu beweisen gibt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass m > 0 und n < 0 ist. Mit n = -q (für q > 0) wird Regel (2) zur Aussage

   am - q = am a- q .

   Nun können zwei Fälle auftreten:
   - m ³ q:
     Mit (5) reduziert sich diese Aussage auf am/aq = am - q, was auch in der Form am = am - q aq geschrieben werden kann. Da nun keine negativen Exponenten mehr auftreten, haben wir dieser Fall auf einen der obigen (bereits bewiesenen) Fälle zurückgeführt.
   - m < q:
     In diesem Fall ist m - q negativ (daher q - m positiv). Durch zweimalige Anwendung von (5) bringen wir die obige Aussage zunächst in die Form 1/aq - m = am/aq, woraus am aq - m = aq folgt. Wieder treten keine negativen Potenzen auf, womit auch dieser Fall auf einen bereits bewiesenen zurückgeführt ist.
   Damit ist Rechenregel (2) für ganzzahlige Exponenten m, n bewiesen.