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Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
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Lagebeziehungen von Ebenen Zwei Ebenen können eine von drei möglichen Lagebeziehungen einnehmen: (i) Sie sind identisch, (ii) sie sind parallel (d.h. ihre Normalvektoren sind parallel) und nicht identisch, haben daher keinen Punkt gemeinsam, und (iii) sie sind nicht parallel, schneiden einander daher in einer Geraden (der Schnittgeraden). Sind beide Ebenen durch eine Ebenengleichung (oder Normalvektorform) gegeben, so wird dieses Schnittproblem durch ein System von zwei Gleichungen in drei Variablen beschrieben. Dementsprechend können drei Ebenen eine von zahlreichen Lagebeziehungen einnehmen. Die Schnittmenge ist in jedem Fall entweder leer, ein Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. Sind alle drei Ebenen durch eine Ebenengleichung (oder Normalvektorform) gegeben, so wird dieses Schnittproblem durch ein System von drei Gleichungen in drei Variablen beschrieben. Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden Eine Gerade im Raum kann zu einer Ebene eine von drei möglichen Lagebeziehungen einnehmen: (i) Sie liegt in der Ebene, (ii) sie verläuft außerhalb, ohne sie zu schneiden, und (iii) sie schneidet die Ebene in genau einem Punkt (dem Durchstoßpunkt). In der Regel ist die Gerade in einer Parameterdarstellung gegeben, die Ebene durch eine Ebenengleichung (oder Normalvektorform). Dieses Schnittproblem wird durch eine lineare Gleichung für den Parameter beschrieben. Lagebeziehungen von Geraden im Raum Zwei Geraden im Raum können eine von vier möglichen Lagebeziehungen einnehmen: (i) Sie sind identisch, (ii) sie sind parallel und nicht identisch, schneiden einander daher nicht, (iii) sie sind nicht parallel und schneiden einander nicht (sie heißen dann windschief), und (iv) sie sind nicht parallel und schneiden einander in genau einem Punkt. Sind beide Geraden in Parameterdarstellung gegeben, so wird dieses Schnittproblem durch ein System von drei Gleichungen in zwei Variablen (den Parametern) beschrieben. Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene Zwei Geraden in der Zeichenebene können zueinander eine von drei möglichen Lagebeziehungen einnehmen: (i) Sie sind identisch, (ii) sie sind parallel und nicht identisch, schneiden einander daher nicht, und (iii) sie sind nicht parallel, schneiden einander daher in genau einem Punkt. Sind beide Geraden durch eine Geradengleichungen (oder Normalvektorform) oder in Parameterdarstellung gegeben, so wird dieses Schnittproblem durch ein System von zwei Gleichungen in zwei Variablen beschrieben. Ist eine Gerade durch eine Gleichung, die andere in Parameterdarstellung gegeben, so reduziert es sich auf eine lineare Gleichung für den Parameter. Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, dessen Versuchsausgänge alle gleich wahrscheinlich sind. Daher können die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse eines Laplace-Experiments mit der bequemen Formel "Zahl der günstigen Fälle/Zahl der möglichen Fälle" berechnet werden, wobei die "Zahl der günstigen Fälle" die Anzahl der zum Ereignis gehörenden Versuchsausgänge, die "Zahl der möglichen Fälle" die Gesamtzahl der möglichen Versuchsausgänge (die Zahl der Elemente des Ereignisraums) ist. Bei der Anwendung dieser Formel ist es oft nötig, die Abzählverfahren der Kombinatorik anzuwenden. Leere Menge ist jene Menge, die kein einziges Element enthält. Sie wird als { } bezeichnet. Manchmal wird statt dessen dafür der Buchstabe f verwendet, symbolisch für eine durchgestrichene 0. Jedoch Vorsicht: Die leere Menge { } ist etwas ganz anderes als die Zahl 0, und diese beiden sind wiederum von der Menge {0} (die die Zahl 0 als einziges Element enthält) zu unterscheiden. l'Hospital Siehe Regel von de l'Hospital. Linear abhängig wird eine endliche Menge von Vektoren genannt, wenn es möglich ist, zumindest einen von ihnen als Linearkombination der anderen auszudrücken. Ist das nicht möglich, so heißen sie linear unabhängig. Beispiele für lineare Abhängigkeit liegen vor, wenn Vektoren parallel (kollinear) oder koplanar sind. Lineare Funktion Als lineare Funktionen werden oft Funktionen der Form x ® k x + d bezeichnet (weil ihre Graphen Geraden sind). Nach dieser Bezeichnungsweise fallen konstante Funktionen (für die k = 0 ist) und Funktionen erster Ordnung (für die k ¹ 0 ist) darunter. Nach einer anderen Bezeichnungsweise wird eine Funktion nur dann als linear bezeichnet, wenn sie von der Form x ® k x ist (was der obigen Form mit d = 0 entspricht). Auf eine genauere Bezeichnungsweise ist allerdings Verlaß: Eine Funktion der Form x ® k x + d heißt linear-homogen, wenn d = 0 ist und linear-inhomogen, wenn d ¹ 0 ist. Lineare Gleichung Gleichung, deren beide Seiten lineare Terme sind (bzw. die durch Äquivalenzumformungen auf eine solche Form gebracht werden kann). Dabei wird unter einem linearen (genauer: linear-inhomogenen) Term ein Ausdruck von der Form A x + B verstanden. Lineare Gleichungen werden auch Gleichungen erster Ordnung genannt. Eine lineare Gleichung kann immer auf die Normalform a x + b = 0 gebracht werden. Lösungen: Falls a und b beide Null sind, ist die Lösungsmenge gleich der Grundmenge. Ist a = 0 und b ¹ 0, ist die Lösungsmenge leer. Ist a ¹ 0, so ist x = - b/a (falls diese Zahl Element der angegebenen Grundmenge ist) die (einzige) Lösung. Linear-homogene Funktion Siehe lineare Funktion. Linear-inhomogene Funktion Siehe lineare Funktion. Linearkombination ist eine Summe von Vielfachen von Vektoren. Für Beispiele siehe Halbierungspunkt einer Strecke, Streckenteilung und Schwerpunkt. Mit Hilfe dieses Begriffs wird definiert, wann eine Menge von Vektoren linear abhängig ist und was das Wort Dimension eigentlich bedeutet. Linear unabhängig heißen Vektoren, wenn sie nicht linear abhängig sind. Linksgekrümmt Eine differenzierbare Funktion f heißt in einem Intervall linksgekrümmt, wenn ihre Ableitung f ' in ihm streng monoton wachsend ist. (Siehe auch rechtsgekrümmt). Damit ergibt sich ein einfaches Kriterium zur praktischen Berechnung: Ist für alle x in einem Intervall f ''(x) > 0, so ist f in diesem Intervall linksgekrümmt. (Siehe auch Monotonie und Ableitung). Eine linksgekrümmte Funktion ist konvex (nach oben offen). Zeigt eine Funktion in zwei aneinander grenzenden Intervallen verschiedenes Krümmungsverhalten, so liegt zwischen diesen Intervallen eine Wendestelle. linkshändig Siehe Linkssystem. Linksseitige Ableitung einer reellen Funktion f an der Stelle x ist der Grenzwert des Differenzenquotienten, wobei die Annäherung an die Stelle x von "links" (d.h. von "unten") her erfolgt. Ist x eine Randstelle des Definitionsbereichs, so kann nicht von der Ableitung im strengen Sinn, sondern nur von der rechts- oder linksseitigen Ableitung gesprochen werden. Für eine differenzierbare Funktion stimmen rechts- und linksseitige Ableitung überein. Linkssystem oder linkshändiges System ist ein System aus drei dreikomponentigen (räumlichen) Vektoren a, b und c (in dieser Reihenfolge) mit der Eigenschaft, dass aÙb und c einen stumpfen Winkel bilden. Das ist genau dann der Fall, wenn das Spatprodukt des Systems negativ ist. Siehe auch Händigkeit. Logarithmentafel Siehe Logarithmus. Logarithmische Gleichung Siehe Exponential- und logarithmische Gleichungen. Logarithmischer Maßstab Siehe Logarithmus. Logarithmische Skala Siehe Logarithmus. Logarithmus Logarithmen sind die inversen Funktionen der Exponentialfunktionen. Ist eine positive Basis a ¹ 1 fixiert, und ist eine positive Zahl b gegeben, so gibt es genau eine reelle Zahl x, für die ax = b gilt. Diese Zahl x wird als Logarithmus von b zur Basis a bezeichnet und als alog b oder alog(b) geschrieben. Andere Bezeichnungen sind alog b oder loga b. Kurz zusammengefasst: Aus ax = b folgt x = alog b. Das Bilden des Logarithmus wird auch "logarithmieren" genannt. Es ist nichts anderes als die Bestimmung des Exponenten, mit welchem b als Potenz von a dargestellt werden kann ("a hoch wieviel ist b?"). Die Zuordnung b ® alog b heißt Logarithmusfunktion. Sie ist eine transzendente Funktion, d.h. ihre Berechnung für beliebige b geht über die elementaren Rechenmethoden hinaus. In der Praxis werden einige wenige Basen bevorzugt verwendet: siehe Zehner-Logarithmus, natürlicher Logarithmus und Zweier-Logarithmus. Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert: er ist eine Funktion R+ ® R. (Den Logarithmus einer negativen Zahl gibt es im Rahmen der reellen Zahlen ebenso wenig wie die Wurzel aus einer negativen Zahl). Der Logarithmus zu einer Basis a > 1 stellt eine streng monoton wachsende, jener zu einer Basis a < 1 eine streng monoton fallende (in beiden Fällen also injektive, d.h. umkehrbare) Funktion dar. Die Logarithmusfunktion besitzt eine einzige Nullstelle bei b = 1. Die ergeben sich aus jenen für Potenzen. Die wichtigste lautet: alog (bc) = alog b + alog c oder, in Worten: der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen. Dadurch ergeben sich zahlreiche Anwendungen, von der logarithmischen Skala (dem logarithmischen Maßstab) - wichtig für die Darstellung funktionaler Abhängigkeiten - über das Logarithmenpapier und die legendären Logarithmentafeln bis zum fast schon vergessenen Rechenschieber (Rechenstab). Über diese Dinge informiert ein kleiner über die Nützlichkeit des Logarithmus. Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Logarithmen, Ableitungen Die Ableitungen der Logarithmusfunktionen entnehmen Sie Tabelle. Lokales Extremum Siehe Extremum, lokales. Lokales Maximum Siehe Maximum, lokales. Lokales Minimum Siehe Minimum, lokales. Lösung und Lösungsmenge Jene Werte der Variablen (Unbekannten) einer Gleichung, die in der angegebenen Grundmenge liegen und für die die durch die Gleichung dargestellte "Behauptung" eine wahre Aussage ist, heißen Lösungen. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge. Sie kann ein oder mehrere (auch unendlich viele) Elemente enthalten, sie kann gleich der Grundmenge oder auch leer sein. Falls die Gleichung für manche Werte der Variablen keine wohldefinierte Aussage darstellt (z.B. wenn durch 0 dividiert werden müßte), so fallen diese Werte von vornherein als Kandidaten für Lösungen aus. Folglich liegt jede Lösung in der Definitionsmenge. Gleichungen in mehreren Variablen werden benützt, um geometrische Sachverhalte zu beschreiben. So wird etwa eine ebene Kurve als Lösungsmenge einer Gleichung in zwei Variablen beschrieben. (Beispiele: Die Lösungsmenge der Gleichung 3 x + y = 1 kann als Gerade dargestellt werden. Jede einzelne Lösung entspricht einem Punkt auf dieser Geraden. In derselben Weise stellt die Lösungsmenge der Gleichung y = x2 eine Parabel dar). Siehe auch Gleichungssysteme. Lösungsformel, große Siehe große Lösungsformel. Lösungsformel, kleine Siehe kleine Lösungsformel.

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