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Beweis von (14) bzw. (14'):

( f(g(x)) ) ' = f '(g(x)) g'(x) | (14)

bzw., in der Leibnizschen Formulierung,

df d x | = | df d g |  | dg d x
| ( 14' )

In der Version (14' ) ist die Kettenregel, wie im Text dieses Kapitels argumentiert, intuituiv eineuchtend. Wir wollen aber dennoch ein bisschen genauer sein und schreiben den Differenzenquotienten der Funktion x ® f(g(x)) in der Form

f(g(x + e)) - f(g(x)) e | = | f(g(x + e)) - f(g(x)) g(x + e) - g(x) |  | g(x + e) - g(x) e

an. Die rechte Seite ist das Produkt zweier Brüche. Der zweite Bruch ist der Differenzenquotient der Funktion g. Um zu zeigen, das auch der erste ein Differenzenquotient ist, führen wir die Abkürzung
m = g(x + e) - g(x)
ein. m bezeichnet eine kleine Änderung des Funktionswertes von g, wenn sich das Argument von x auf x + e ändert. Strebt e gegen 0, so tut dies auch m . Damit nimmt der Differenzenquotienten der Funktion x ® f(g(x)) die Form

f(g(x) + m) - f(g(x)) m |  | g(x + e) - g(x) e

an. Der erste Faktor ist nichts anderes als der Differenzenquotient der Funktion f an der Stelle g(x) unter einer Änderung des Arguments um m . Im Grenzübergang e ® 0 (der also auch m ® 0 impliziert) strebt der erste Faktor gegen f '(g(x)), der zweite gegen g'(x). Damit ist die Kettenregel (14) bewiesen.