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Genauere Begründung von (10):
Die Aussage

A'(x) = f(x) | (10)

wird im Haupttext dieses Kapitels mit Hilfe der Näherungsformel

A(x + e) - A(x) » e f(x) | (8)

hergeleitet, die umso genauer gilt, je kleiner e ist (siehe die nebenstehende Abbildung). Indem beide Seiten durch e dividiert und der Grenzwert für e ® 0 durchgeführt wird, entsteht (10), wobei die vorhandene Ungenauigkeit in (8) durch den Grenzübergang e ® 0 verschwunden ist.
Diese Argumentation ist ein bisschen schlampig, und wir wollen die Gültigkeit von (10) hier besser untermauern. Dazu führen wir zwei mögliche Argumentationen vor, eine leichtere und eine schwierigere: In der ersten schätzen wir den in (8) gemachten Fehler für differenzierbares f ab und zeigen, dass eine Verbesserung dieser Formel zum gleichen Resultat (10) führt. Der formale Beweis von (10) für den Fall, dass f stetig ist, ist ein bisschen abstrakter, und wir wenden uns ihm danach zu.

- Genauere Begründung von (9) für den Fall, dass f differenzierbar ist:
  Wie groß ist der Fehler, den wir in (8) machen? Sehen wir uns die nebenstehende Skizze an: Wir haben den Inhalt des kleinen gelbe Flächenstücks nicht berücksichtigt. Wenn f differenzierbar ist, können wir dessen Größenordnung auf bequeme Weise abschätzen: Dann können wir nämlich, für genügend kleines e, das Stück des Graphen zwischen x und x + e durch ein Geradenstück mit dem Anstieg k annähern (wobei k » f '(x) sein wird). Der gelbe Flächeninhalt ist dann mit guter Genauigkeit durch ke2/2 gegeben. (Die gelbe Fläche ist ungefähr ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten e und ke!) Das zeigt, dass die gelbe Fläche "um eine Ordnung in e" kleiner ist als die des grauen Rechtecks, und eine verbesserte Version von (8) lautet
  A(x + e) - A(x) = e f(x) + ke2/2 + ...
  wobei die Punkte für noch kleinere Korrekturen stehen, die von der Abweichung des Graphen von der Geradenform herrühren. Wird jetzt durch e dividiert und der Grenzwert für e ® 0 gebildet, so erhalten wir

  |  | A(x + e) - A(x) e | = f(x) + |  |  | k e 2 | + ...
  lim | lim
  e ® 0 | e ® 0

  Klarerweise ist der zweite Term auf der rechten Seite 0, und auch die noch kleineren Korrekturen tragen zum Grenzwert nichts bei. Damit ist gezeigt, dass die Näherung (8) tatsächlich ausreicht, um das Resultat (10) zu erhalten.
  Nachbemerkung: Auch diese Argumentation hat ihre Schwächen, da wir uns auf Näherungen (und die Formulierung "noch kleinere Korrekturen" verlassen haben). Wenn Sie mit ihr unzufrieden sind und sich eine Begründung wünschen, in der keine derartigen Näherungen vorkommen, sehen Sie sich den nun folgenden formalen Beweis an.
- Beweis von (9) für den Fall, dass f stetig ist:
  Die folgende Argumentation hat nicht nur den Vorteil, dass sie keine Näherungen benutzt - sie gilt auch für eine größere Klasse von Funktionen als die vorige (denn jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar).
  Achtung: Im Folgenden hat das Symbol e eine andere Bedeutung als oben.
  Wie im Kapitel über die Stetigkeit von Funktionen (in Vorbereitung) besprochen, kann die Stetigkeit einer Funktion auf folgende Weise charakterisiert werden:
  Eine Funktion f ist an der Stelle x stetig, wenn es zu jedem (noch so kleinen) e > 0 ein d > 0 gibt, so dass
  |f(x' ) - f(x)| < e für alle x' mit |x' - x| < d.
  Diese Eigenschaft lässt sich direkt für das Problem der Flächenbestimmung ausnützen. Sehen wir uns folgende Skizze an:
  Die Stelle x denken wir uns als fix vorgegeben. Geometrisch ausgedrückt, haben wir folgende Situation vor uns: Für jedes e > 0 gibt es einen zur x-Achse parallelen Streifen mit Mittellinie bei y = f(x), wobei y die vertikale Koordinate der Zeichenebene ist, und Breite 2e (grau dargestellt), so dass für alle x', die nahe genug bei x liegen (näher als d entfernt) der Punkt (x', f(x')) innerhalb des grauen Streifens liegt. Ein solcher Punkt ist in hellblau eingezeichnet.
  Nun nehmen wir an, dass x' - x > 0 ist und betrachten die Differenz A(x') - A(x). Sie stellt den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f zwischen den Punkten x und x' dar. Da das gesamte Graphenstück innerhalb des grauen Streifens liegt, muss dieser Flächeninhalt
  - größer sein als jener des grün hervorgehobenen Rechtecks, d.h. (x' - x) (f(x) - e), und er muss
  - kleiner sein als jener des grünen und des blauen Rechtecks zusammen, d.h. (x' - x) (f(x) + e) .
  Damit erhalten wir die Ungleichung
  (x' - x) (f(x) - e) < A(x') - A(x) < (x' - x) (f(x) + e)
  oder, nach Division durch x' - x,

  f(x) - e < | A(x') - A(x) x'- x | < f(x) + e .

  Diese Ungleichung kann auch in der Form

  | | A(x' ) - A(x) x' - x | - f(x) | | | < e

  geschrieben werden, und eine ganz analoge Argumentation zeigt, dass sie auch gilt, wenn x' - x < 0 ist. Fassen wir nun die gesamte Aussage zusammen:

  Für jedes (noch so kleine) e > 0 gibt es ein d > 0, so dass
  | | A(x' ) - A(x) x' - x | - f(x) | | | < e für alle x' mit x' ¹ x und |x' - x| < d.

  Das ist aber, wie im Kapitel Differenzieren 2 (siehe Button "alternative Definition") besprochen, genau die Aussage

  Die Funktion A ist an der Stelle x differenzierbar, und A'(x) = f(x).

  Damit ist (10) für den Fall, dass f stetig ist, bewiesen.
  Nachbemerkung: Der Beziehung (10) lässt sich für noch größere Klassen von Funktionen ein Sinn geben. So gibt es differenzierbare Funktionen, deren Ableitungen nicht stetig sind (siehe das Kapitel Differenzieren 2 für ein Beispiel). Eine solche Funktion ist die Stammfunktion ihrer (unstetigen) Ableitung. Soll eine Beziehung wie (10) für noch mehr Funktionen gelten, so muss allerdings das Konzept der Differenzierbarkeit geändert werden (so dass beispielsweise eine isolierte Stelle, an der der Graph der Funktion A einen Knick besitzt, beim Differenzieren ignoriert wird). Darauf wollen wir hier aber nicht eingehen.