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  Deckungsgleich ist gleichbedeutend mit kongruent. Definitionsbereich Ist f : A ® B eine Funktion, d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge B, so heißt die Menge A ihr Definitionsbereich. Man sagt auch, dass f auf der Menge A definiert ist. Ist f durch einen Term in einer Variablen x gegeben (siehe Termdarstellung), so darf A nur solche x-Werte enthalten, für die der Term einen Sinn macht, d.h. wohldefiniert ist. So darf zum Beispiel der Definitionsbereich für die Funktion x ® 1/x die Zahl 0 nicht enthalten. Als ihr Definitionsbereich kann daher (im Rahmen der rellen Zahlen) die Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) gewählt werden. Definitionslücke Es kann geschehen, dass ein Term an einer bestimmten Stelle nicht wohldefiniert ist, aber durch eine nachträgliche Definition des fehlenden Funktionswerts zu einer stetigen Funktion gemacht werden kann. Wir sprechen dann von einer Definitionslücke, die "stetig geschlossen" werden kann, oder einer hebbaren Singularität. Beispiel: Die durch f(x) = (x2 + x)/x zunächst bestehende Lücke an der Stelle x = 0 kann durch Kürzen (wodurch sich der Term x + 1 ergibt) und die nachträgliche Definition f(0) = 1 stetig geschlossen werden. Das Schließen von Definitionslücken allgemeinerer Funktionen gelingt manchmal mit Hilfe der Regel von de l'Hospital, der die Differentialrechnung zugrunde liegt (siehe auch unbestimmte Form). Definitionsmenge Die Menge aller Elemente der zu einer Gleichung gegebenen Grundmenge, für die beide Seiten der Gleichung einen Sinn machen, d.h. mathematisch wohldefiniert sind. Wird üblicherweise mit D bezeichnet. So kann es beispielsweise bei Bruchgleichungen passieren, daß für manche Werte der Variablen eine Division durch Null auftritt. Bei Wurzelgleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen kann es passieren, daß für manche Werte der Variablen die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen ist. Werte, die derartige Probleme machen, sind aus der Grundmenge herauszunehmen, um D zu erhalten. Da jede Lösung einer Gleichung in der Definitionsmenge liegt (ansonsten könnte sie die Gleichung nicht zu einer wahren Aussage machen), ist beim weiteren Vorgehen nur mehr sie zu beachten. Sie tritt an die Stelle der ursprünglich gegebene Grundmenge (die nun getrost vergessen werden kann). Achtung: Manchmal ist mit dieser Bezeichnung der Definitionsbereich gemeint. Dekadischer Logarithmus ist ein anderer Name für den Zehner-Logarithmus. de l'Hospital, Regel von Siehe Regel von de l'Hospital. Dezimaldarstellung Darstellung einer reellen Zahl durch eine (möglicherweise nicht-abbrechende) Abfolge von Ziffern, einen Dezimalpunkt ("Komma") und ein Vorzeichen. Die Bedeutung der Ziffernfolge ist aus dem Beispiel 657.234... = 6 × 100 + 5 × 10 + 7 + 2/10 + 3/100 + 4/1000 + ... oder, in der modernen Potenzschreibweise, 657.234... = 6 × 102 + 5 × 101 + 7 × 10 0 + 2 × 10 -1 + 3 × 10 -2 + 4 × 10 -3 + ... ersichtlich. Die rationalen Zahlen (Zahlen, die als Brüche "ganze Zahl/ganze Zahl" geschrieben werden können) sind genau jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung entweder abbricht (d.h. ab irgendeiner Stelle nur aus Nullen besteht) oder periodisch ist (d.h. ab irgendeiner Stelle nur mehr eine sich wiederholende Ziffernfolge aufweist). Beispiele: 33/25 = 1.32 = 1.320000000... ist eine abbrechende, 12/7 = 1.7142857142857142... eine periodische Dezimalzahl. Reelle Zahlen, für die das nicht der Fall ist, heißen irrationale Zahlen (wie z.B. Ö2 = 1.414213562373095... oder p = 3.141592653589793...). Kleine Subtitität: Die Dezimaldarstellung ist nicht ganz eindeutig. So kann etwa die Zahl 1 auch als 0.9999999... geschrieben werden, die Zahl 0.43 als 0.42999999... Diese Mehrdeutigkeit betrifft aber nur den Fall, daß ab irgendeiner Stelle nur Neuner auftreten. Dezimalzahlen Siehe reelle Zahlen und Dezimaldarstellung. Diagonalverfahren heißt eine auf Georg Cantor zurückgehende Argumentation, die beweist, daß die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist: Wäre die Menge R abzählbar, so könnte man ihre Elemente aufzählen, d.h. als Liste x1, x2, x3, ... schreiben. Nun kann für jede Liste aus reellen Zahlen eine weitere reelle Zahl y konstruiert werden, die in der Liste nicht vorkommt: y muß sich nur von x1 in der ersten Nachkommastelle, von x2 in der zweiten Nachkommastelle, von x3 in der dritten Nachkommastelle ... unterscheiden. Damit ist gezeigt, daß sich die Menge der reellen Zahlen nicht als Liste schreiben lässt, also überabzählbar ist. Differential Dieses Wort wurde früher zur Bezeichnung infinitesimaler, d.h. als "unendlich klein" gedachter Änderungen von Größen verwendet. Mit ihrer Hilfe wurde die Ableitung einer Funktion f º f(x) als Differentialquotient (d.h. als Quotient df/dx der Differentiale df und dx) angesehen. Auch in der Schreibweise für Integrale lebt diese Vorstellung weiter. Differentialquotient oder Differenzialquotient, ist ein anderer Name für die Ableitung. Er rührt daher, dass früher die Ableitung einer Funktion f º f(x) als Quotient df/dx der Differentiale df und dx angesehen wurde. Heute wird die Ableitung statt dessen als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert. Der ältere Name und die Schreibweise df/dx für die Ableitung haben sich bis heute gehalten, sind aber nur mehr symbolisch gemeint. Differentialrechnung auch Differenzialrechnung ist jener Zweig der Mathematik, in dem es um die Ableitung reeller Funktionen, ihren Eigenschaften und den mit ihr verbundenen Methoden geht. Der Ausgangspunkt zu ihrer Entwicklung war das Tangentenproblem. Zusammen mit der Integralrechnung ist sie Teil der Analysis. Differenz Siehe Subtraktion. Differenzenquotient Ist f eine reelle Funktion, und sind x0 und x1 Zahlen, so dass f im gesamten Intervall [x0, x1] definiert ist, so heißt die Größe (f(x1) - f(x0))/(x1 - x0) Differenzenquotient. Geometrisch stellt er den Anstieg der Geraden (Sekante) durch die Punkte (x0, f(x0)) und (x1, f(x1)) des Graphen von f dar und kann als mittlere Änderungsrate von f im Intervall [x0, x1] interpretiert werden. Mit den Abkürzungen D x = x1 - x0 und D f = f(x1) - f(x0) schreibt er sich einfach als D f/D x, was seinen Charakter als "Quotient von Differenzen" unterstreicht. Zur Berechnung der Ableitung von f an der Stelle x wird der Differenzenquotient auch in der Form (f(x + e) - f(x))/e angeschrieben, wobei e positiv oder negativ sein kann. Der Grenzwert e ® 0 dieser Größe ist - wenn er existiert - die Ableitung f '(x). Differenzierbar an einer Stelle x0 heißt eine reelle Funktion f, wenn ihre Ableitung an der Stelle x0 existiert. Die Formulierung "f ist differenzierbar" (ohne weitere Angabe) soll in der Regel ausdrücken, dass die Ableitung an jeder Stelle des Definitionsbereichs existiert. Ist eine Funktion auf der gesamten Menge R definiert, und existiert die Ableitung an jeder Stelle, so nennt man sie auch "überall differenzierbar". Ist eine Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar, so besitzt ihr Graph im Punkt (x0, f(x0) eine eindeutig bestimmte Tangente, die nicht zur vertikalen Achse parallel ist (d.h. endlichen Anstieg hat). Beispiele: Die Funktion x ® x3 ist überall differenzierbar. Die Funktion x ® 1/x ist in ihrem gesamten Definitionsbereich R* ( = Menge der von 0 verschiedenen reellen Zahlen) differenzierbar. Die Funktion x ® |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar, an allen anderen Stellen schon. Siehe auch stetig differenzierbar und Differenzierbarkeit, exakte Formulierung. Differenzierbarkeit, exakte Formulierung Die exakte Definition der Differenzierbarkeit und der Ableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten berücksichtigt, dass Folgen auf ganz verschiedene Weise einer Stelle zustreben können, und dass die entsprechende Folge der Differenzenquotienten jedesmal denselben Grenzwert haben muss. Eine alternative Formulierung benutzt die exakte Sprache der Stetigkeit von Funktionen. Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Differenzieren Eine Funktion zu differenzieren heißt, ihre Ableitung zu bestimmen. Differenz zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet. Ihre geometrische Bedeutung in der Pfeildarstellung wird durch die Spitze-minus-Schaft-Regel ausgedrückt. Dimension ist die die maximale Zahl von Vektoren, die eine linear unabhängige Menge bilden können. Die Menge aller n-komponentigen Vektoren, zu identifizieren mit dem Rn, hat Dimension n (ist n-dimensional). Dimensionsbehaftete Größen Siehe Einheiten. Dimensionslose Größen Siehe Einheiten. Diophantische Gleichungen werden Gleichungen genannt, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden, d.h. als deren Grundmenge die Menge der ganzen Zahlen betrachtet wird. Ein bißchen schlampig werden auch Gleichungsysteme, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden, mit demselben Namen bezeichnet. Beispiel: Gibt es ganze Zahlen x, y, z, für die x2 + y2 = z2 ist? Außer dem trivialen Fall, daß eine der drei Zahlen Null ist, gibt es noch unendlich viele Lösungen, z.B. x = 3, y = 4, z = 5. Jede solche Lösung entspricht - gemäß dem Satz von Pythagoras - einem rechtwinkeligen Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, wird daher auch "Pythagoräisches Zahlentripel" genannt. Demgegenüber hat das Gleichungssystem xn + yn = zn, wobei n eine ganze Zahl > 2 ist, keine Lösung, für die x, y und z ganzzahlig und von Null verschieden wären. Das ist der Inhalt des berühmten "großen Fermat'schen Satzes", der von Pierre de Fermat im 17. Jahrhundert formuliert, aber erst vor wenigen Jahren bewiesen wurde. Disjunkt heißen zwei Mengen A und B, die keine gemeinsamen Elemente besitzen. Dies ist der Fall, wenn
  A Ç B = { },
  d.h. wenn ihre Durchschnittsmenge die leere Menge ist (kurz ausgedrückt: wenn ihr Durchschnitt leer ist). Disjunkte Ereignisse oder einander auschließende Ereignisse sind Ereignisse, deren (paarweise gebildete) Durchschnittsmengen leer sind, d.h. die nicht gleichzeitig eintreten können. Für sie gilt die Additionsregel für disjunkte Ereignisse. Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Jedes Zufallsexperiment mit endlich oder abzählbar vielen Versuchsausgängen definiert eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine solche besteht aus der (endlichen oder unendlichen) Liste p1, p2, p3..., wobei pk die Wahrscheinlichkeit des k-ten Ausgangs ist. Ist eine Zufallsvariable gegeben, so können deren Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung berechnet werden und geben einen gewissen Aufschluss über ihre statistischen Eigenschaften. Beispiele für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die oft in Anwendungen auftreten, sind die Binomialverteilung, die Poissonverteilung und die hypergeometrische Verteilung. Diskrete Zufallsvariable ist eine Variable, die für jeden Versuchsausgang des einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrundeliegenden Zufallsexperiments einen wohldefinierten reellen Wert annimmt. Die gebräuchlichsten statistischen Kennzahlen von Zufallsvariablen sind ihr Erwartungswert, ihre Varianz und ihre Standardabweichung. Distributivgesetz auch Klammern ausmultiplizieren oder Klammern auflösen genannt, ist die Rechenregel, die zeigt, wie die Addition und die Multiplikation miteinander verwoben sind. Für beliebige Zahlen x, y, z gilt: x ( y + z ) = x y + x z. Der Name kommt daher, daß sich die Multiplikation über die Summe ''verteilt''. Division ist in gewisser Hinsicht die ''Umkehrung'' der Multiplikation. Der Quotient x/y ( oder x/y) ist definiert als die Antwort auf die Frage ''y × wieviel = x?'' Diese Frage hat nur dann eine eindeutige Antwort, wenn y ¹ 0 ist. Jede Division stellt einen Bruch dar, und die Bedingung y ¹ 0 bedeutet, daß der Nenner von 0 verschieden sein muß (siehe Division durch 0). Die Division (mit Nenner ¹ 0) kann vollständig innerhalb der Mengen der reellen, rationalen, und komplexen Zahlen ausgeführt werden - welche Körper genannt werden -, führt jedoch aus den Mengen der ganzen und der natürlichen Zahlen heraus. Aufgrund der Identität
  | x y | = | 1 y | × x
  kann jeder Quotient auch als Produkt geschrieben werden, wobei der 1/y der Kehrwert von y ist. Division durch 0 Wird versucht, eine Zahl x durch 0 zu dividieren, also den Quotienten x/0 zu berechnen, so ist die Frage '' 0 × wieviel = x?'' zu beantworten. Falls x ¹ 0 ist, hat die Frage überhaupt keine Antwort. Falls x = 0 ist, ist jede Zahl eine mögliche Antwort. Dies zeigt, daß die Division durch 0 schlicht und einfach nicht definiert, also eine mathematisch sinnlose Sache ist. Auch die heuristische Frage ''Wie oft paßt 0 in x?'' führt hier nicht weiter (außer, daß sie zu der intuitiven Vorstellung führt, 1/0 habe etwas mit ''Unendlich'' oder ''minus Unendlich'' zu tun, und 0/0 sei völlig ''unbestimmt''). Dreieck genauer ebenes Dreieck, ist das zentrale Studienobjekt der Trigonometrie. Die besondere Rolle von Dreiecken in der Geometrie rührt daher, dass beliebige durch Strecken oder Geraden begrenzte ebene Figuren in Dreiecke zerlegt werden können. Für die elementaren geometrischen Eigenschaften von Dreiecken siehe Winkelsumme im Dreieck, Höhen im Dreieck, Umkreis eines Dreiecks, Inkreis eines Dreiecks, Schwerpunkt eines Dreiecks, Eulersche Gerade, Satz von Pythagoras, Satz von Thales und Flächeninhalt des Dreiecks. Die wichtigsten auf der Verwendung von Winkelfunktionen beruhenden Methoden zum Auflösen von Dreiecken (z.B. im Rahmen von Vermessungsaufgaben) sind der Sinussatz und der Cosinussatz. Für weitere Resultate der Dreiecksgeometrie siehe Kongruenzsätze der ebenen Trigonometrie, Ähnlichkeitssätze der ebenen Trigonometrie, Kathetensatz, Höhensatz, Peripheriewinkelsatz, Ungleichungen im Dreieck, Trigonometrischer Monotoniesatz und Tangenssatz. Die Bezeichnungen von Eckpunkten, Seiten, Winkeln und Höhen in Dreiecken folgen, sofern nichts anderes gesagt wird, einer allgemeinen Konvention (siehe Dreieck: Bezeichnungen). Eine Verallgemeinerung bildet der Begriff des sphärischen Dreiecks. Dreieck: Bezeichnungen Zur Bezeichnung von Eckpunkten, Seiten, Winkeln und Höhen im Dreieck hat sich eine nützliche Konvention herausgebildet, deren Gültigkeit angenommen werden kann, sofern nichts anderes gesagt wird: Die Seitennamen a, b und c werden im Gegenuhrzeigersinn vergeben, die Eckpunkte mit den entsprechenden Großbuchstaben A, B und C bezeichnet, wobei A der Seite a gegenüberliegt, usw. Die (Innen-)Winkel werden mit a, b und g bezeichnet, wobei a der Winkel beim Punkt A ist, usw. Die Höhe auf die Seite c wird meist mit hc bezeichnet, usw. Das gesamte Dreieck kann durch die Angabe der Eckpunkte mit dem Symbol D ABC bezeichnet, der Winkel a (dessen Scheitel der Punkt A ist) in der Form CAB geschrieben werden. Dreieck, rechtwinkeliges Siehe rechtwinkeliges Dreieck. Dritte Wurzel oder Kubikurzel: siehe höhere Wurzeln. Durchschnittsmenge Sind A und B zwei Mengen, so ist die Durchschnittsmenge (kurz: der Durchschnitt) A Ç B die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B liegen:
  A Ç B = { x | x Î A und x Î B }.
Sie ist die Zusammenfassung aller gemeinsamen Elemente von A und B. Durchstoßpunkt Falls eine Gerade im Raum mit einer Ebene genau einen gemeinsamen Punkt besitzt, so wird dieser Schnittpunkt Durchstoßpunkt genannt. Dyadischer Logarithmus ist ein anderer Name für den Zweier-Logarithmus.

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