Beschreibung

Stellen Sie sich vor einen Spiegel, nehmen Sie einen Lippenstift zur Hand und markieren Sie die Ober- und Untergrenze Ihres Kopfes, so wie Sie ihn im Spiegel sehen, durch zwei waagrechte Striche! Frage: Welchen Abstand haben die beiden Striche? Hängt dieser Abstand davon ab, wie weit entfernt Sie vom Spiegel stehen? Wie hängt er mit der Größe Ihres Kopfes zusammen? Denken Sie erst ein bisschen über dieses Problem nach! Danach klicken Sie auf den Link "Weiter"! Das GeoGebra-Applet, das nun erscheint, zeigt die geschilderte Situation schematisch, von der Seite betrachtet, wobei links der Kopf der Person, die sich im Spiegel betrachtet und rechts dessen "Bild im Spiegel" dargestellt ist. Lichtstrahlen, die an der Spiegeloberfläche reflektiert werden und schließlich ins Auge des Betrachters fallen, sind blau, die scheinbaren Richtungen, aus der die Lichtstrahlen "aus dem Spiegel" kommen, sind blau strichliert eingezeichnet. Die Höhe des Kopfes ist mit H bezeichnet, der Abstand der Striche auf dem Spiegel mit h. Der Abstand des Kopfes vom Spiegel kann mit Hilfe des Schiebereglers links oben verändert werden. Wenn Sie die Köpfe ausblenden, so sehen Sie deutlicher, dass es sich um ein mathematisches (genauer: ein geometrisches) Problem handelt: Die Aufgabe besteht darin, herauszufinden, wie h mit der Entfernung des Kopfes vom Spiegel und mit der Höhe H des Kopfes zusammenhängt. Im Applet können Sie die Entfernung des Kopfes vom Spiegel mit dem Schieberegler links oben verändern. Fällt Ihnen etwas auf? Offenbar hängt der Abstand h der Striche auf dem Spiegel gar nicht von der Entfernung der betreffenden Person vom Spiegel ab! Eine erstaunliche Entdeckung! Aber zumindest von der Größe des Kopfes wird der Abstand der Striche abhängen! Können Sie herausfinden, wie? Wie hängen h und H zusammen? Im Applet können Sie zwei Hilfestellungen einblenden: Lösungstipp: Ein paar Hilfslinien werden eingezeichnet, die die Rechts-Links-Symmetrie des Problems verdeutlichen. "Sehen" Sie die Lösung schon? Auflösung: Jetzt werden zwei Rechtecksflächen farblich hervorgehoben. "Sehen" Sie die Lösung nun? Die Auflösung des Problems benötigt keine komplizierte Berechnung, sondern einfach den richtigen "Blick" auf die dargestellten Hilfslinien und Flächen: Da der Schnittpunkt der Diagonalen eines Rechtecks genau in dessen Mitte liegt, werden die beiden Strecken AB und BC jeweils von den schrägen Hilfslinien, die sie schneiden, halbiert! Der Abstand h setzt sich aus zwei dieser halbierten Strecken zusammen – folglich ist er genau halb so groß wie die Höhe H des Kopfes! Das ist also die Lösung des Problems: Der Abstand der Striche auf dem Spiegel ist immer halb so groß wie die Höhe des Kopfes! Beim Smalltalk mag es nützlich sein, diese erstaunliche Tatsache zu kennen, aber noch viel nützlicher ist es, über die Art und Weise nachzudenken, wie wir sie herausgefunden haben: Durch die eingeblendeten Hilfslinien und hervorgehobenen Rechtecksflächen wurde eine Struktur sichtbar gemacht, die auf irgendeine Weise bereits in der Fragestellung enthalten ist, sich dem "Alltagsverstand" aber nicht ohne Weiteres offenbart. Damit ist eine der Hauptaufgaben der Mathematik illustriert: Problemstellungen so zu formulieren, dass das Wesentliche (hier: die Ansicht der geschilderten Situation von der Seite und die Lichtstrahlen) erfasst, das Überflüssige (die beiden Köpfe) beiseite gelassen und eine in der Problemstellung steckende Struktur (Hilfslinien und die beiden "verborgenen" Rechtecke) erkennbar wird, die den Weg zur Lösung weist. Die Begriffe und Rechentechniken der Mathematik, die vielen Menschen so unsympathisch sind, und die beim Lernen oft so große Schwierigkeiten machen, sind selbst voller derartiger "verborgener" Strukturen – je besser diese verstanden werden, umso leichter fällt es, mathematische Problemstellungen zu lösen!