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Beweis des Cosinussatzes mit Vektoren:
Ein Dreieck sei wie in der nebenstehenden Skizze durch zwei Vektoren a und b definiert. Als Seitenlängen bezeichnen wir

- a = |a|
- b = |b|
- c = |a - b|

Um c durch a, b und den Winkel g auszudrücken, erinnern wir uns (siehe Kapitel Vektoren 2), dass das Quadrat des Betrages eines Vektors u durch
|u|2 = u2 º uu
(Skalarprodukt mit sich selbst) gegeben ist und berechnen
c2 = (a - b)2 = a2 + b2 - 2a b =
= a2 + b2 - 2a b.
Nun ist das Skalarprodukt der Vektoren a und b, wie im Kapitel Vektoren 2 besprochen, durch
a b = |a| |b| cosg = abcosg
gegeben (g ist der Winkel, den sie einschließen), womit sich unmittelbar der Cosinussatz
c2 = a2 + b2 - 2abcosg
ergibt.

Nachbemerkung: Der Beweis zeigt die enge Verwandtschaft zwischen dem Skalarprodukt für Vektoren und dem Cosinussatz. Er beruht auf den beiden Beziehungen
a b = |a| |b| cosg
und

a b | = | 1 2 | ( |a|2 + |b|2 - |a - b|2 ) .

Die erste verbindet das Skalarprodukt mit dem von zwei Vektoren eingeschlossenen Winkel, die zweite illustriert, dass das Skalarprodukt auf Beträge (d.h. Längen) von Vektoren zurückgeführt werden kann. Gemeinsam führen sie unmittelbar auf den Cosinussatz.