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Alternative Formulierung der Differenzierbarkeit:
Im Haupttext dieses Kapitels haben wir die Differenzierbarkeit einer Funktion f an einer Stelle x durch das Verhalten gewisser Folgen in einer Umgebung von x charakterisiert. Es gibt aber noch andere (gleichwertige) Formulierungen, von denen wir uns eine hier ansehen wollen
Dazu halten wir x fest und definieren zunächst den Differenzenquotienten bezüglich der Stellen x und x':

|  | f(x' ) - f(x) x' - x | .
F(x' ) =

Diese Funktion ist auf der Menge J, d.h. einer Umgebung (x - a, x + a) von x, aus der x herausgenommen wurde, wohldefiniert. Wir wollen f als differenzierbar an der Stelle x bezeichnen, wenn der Grenzwert dieser Funktion für x' ® x existiert, d.h. wenn sie zu einer stetigen Funktion auf der gesamten Umgebung (x - a, x + a) erweitert werden kann. Das ist der Fall, wenn es eine Zahl c gibt, so dass die mittels der Zusatzdefinition
F(x) = c
nun auf dem gesamten Intervall (x - a, x + a) erklärte Funktion an der Stelle x stetig ist.
Nun müssen wir uns nur mehr erinnern, was das bedeutet: Wie im Kapitel über die Stetigkeit von Funktionen (in Vorbereitung) besprochen, kann die Stetigkeit einer Funktion durch das Verhalten gewisser Folgen charakterisiert werden. Das führt auf die im Haupttext dieses Kapitel gegebene Definition. Es gibt aber auch eine andere Formulierung:
Eine Funktion F ist an der Stelle x stetig, wenn es zu jedem (noch so kleinen) e > 0 ein d > 0 gibt, so dass
|F(x' ) - F(x)| < e für alle x' mit |x' - x| < d.
Setzen wir nun F(x) = c und für F(x' ) den obigen Differenzenquotienten ein, so erhalten wir folgende Charakterisierung, die wir auch als Definition der Differenzierbarkeit verwenden können:

f ist an der Stelle x differenzierbar, wenn es eine reelle Zahl c mit folgender Eigenschaft gibt: Für jedes (noch so kleine) e > 0 gibt es ein d > 0, so dass
| | f(x' ) - f(x) x' - x | - c | | | < e für alle x' mit x' ¹ x und |x' - x| < d.
Wir nennen dann c die Ableitung von f an der Stelle x und bezeichnen sie mit f '(x).

Obwohl die Logik dieser Formulierung ein bischen komplizierter ist als unsere ursprüngliche ("Für jedes e ... gibt es ein d ... so dass ... für alle x'..."), hat sie den Vorteil, dass in ihr nicht mehr auf die Begriffe der Folge und der Konvergenz zurückgegriffen wird. Eigentlich kommen in ihr nur recht elementare mathematische Strukturen wie der Betrag der Differenz zweier Zahlen (zu lesen als "Abstand" zwischen ihnen) vor. Der Zusatz "x' ¹ x" ist nötig, da der Differenzenquotient an der Stelle x' = x nicht definiert ist. Die Größe d grenzt jene x', für die die Ungleichung |...| < e gelten muss, auf eine Umgebung in der Nähe von x ein.
Es gibt noch eine Reihe anderer (ebenfalls gleichwertiger) Formulierungen der Differenzierbarkeit, die aber zumeist Varianten der beiden uns jetzt bekannten darstellen. Beispielsweise kann die obige Ungleichung mit |x' - x| multipliziert werden, wodurch sich ergibt:

f ist an der Stelle x differenzierbar, wenn es eine reelle Zahl c mit folgender Eigenschaft gibt: Für jedes (noch so kleine) e > 0 gibt es ein d > 0, so dass
| | f(x' ) - f(x) | - c (x' - x) | | | < e |x' - x| für alle x' mit |x' - x| < d.
Wir nennen dann c die Ableitung von f an der Stelle x und bezeichnen sie mit f '(x).

Diese Formulierung eignet sich besonders für die Verallgemeinerung des Differenzierbarkeitsbegriffs auf Funktionen in mehreren Variablen. Weiters legt sie eine sehr nützliche Vorstellung habe: Eine Funktion ist an der Stelle x differenzierbar, wenn sie sich in der Nähe von x genügend gut durch eine lineare Funktion, d.h. eine Funktion der Form
flin(x' ) = f(x) + c (x' - x),
approximieren lässt. Wie gut sich f durch flin approximieren lassen muss, drücken die Details dieser Formulierung aus: Der Betrag der Differenz f(x' ) - flin(x' ) muss nicht nur kleiner als e sein (das würde lediglich die Stetigkeit von f ausdrücken), sondern kleiner als e |x' - x|. Im mathematischen Jargon ausgedrückt: f und flin müssen "zu einer höheren Ordnung" übereinstimmen. Durch die geometrische Anschauung ausgedrückt: Der Graph von flin muss tangential zu jenem von f sein. Damit schließt sich der Kreis, und wir sind wieder zur ursprünglichen Idee zurückgekehrt, dass die Differenzierbarkeit mit der Existenz einer wohldefinierten Tangente an den Graphen, deren Anstieg endlich ist, zusammenfällt.