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  Variable Der Begriff der Variablen hat mehrere Schattierungen, deren einfachste sich so formulieren lässt: Eine Variable ist ein abstraktes Symbol (üblicherweise ein Buchstabe), an Stelle dessen konkrete Zahlen (oder sonstige mathematische Objekte) eingesetzt werden können. Daher wird sie auch Platzhalter genannt. Der Name kommt daher, daß man sich nicht auf eine konkrete Zahl festgelegt hat, also die eingesetzte Zahl "variabel" hält. Variable sind jene Größen, aus denen Terme aufgebaut sind. Sie treten in Gleichungen als "Unbekannte" und in Funktionen in der Gestalt von "unabhängigen Variablen" auf. Variablensubstitution oder Variablentransformation in Integralen: Siehe Substitutionsmethode. Varianz einer diskreten Zufallsvariablen Die Varianz (auch das Schwankungsquadrat) einer Zufallsvariable a in einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ist gegeben durch s2 = (a1 - <a>)2 p1 + (a2 - <a>)2 p2 + ..., wobei die pk die Wahrscheinlichkeiten der Verteilung, die ak die Werte der Zufallsvariablen a für die einzelnen Versuchsausgänge sind und < a> den Erwartungswert von a bezeichnet. Die Varianz kann auch in der Form s2 = < (a - <a>)2 > = < a2 > - <a>2 definiert (und berechnet) werden. Andere Schreibweisen für diese Ausdrücke sind E((a - E(a))2) und E(a2) - E(a)2. Die Varianz ist die für eine gegen unendlich strebende Zahl von Versuchdurchführungen vorausgesagte empirische Varianz (siehe auch Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit). Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung. Variation mit Wiederholung Eines der Resultate der Kombinatorik lautet: Es gibt nk Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt mehrmals gewählt werden darf. Variation ohne Wiederholung Eines der Resultate der Kombinatorik lautet: Es gibt n!/(n - k)! Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt nur einmal gewählt werden darf (siehe Faktorielle). Vektor genauer reeller Vektor, ist eine Liste reeller Zahlen, den Komponenten, angeschrieben in Zeilen- oder Spaltenform, beispielsweise a = (3, -2, 4). Wir kennzeichnen Vektoren durch Fettdruck. Ein Vektor a kann geometrisch durch Pfeile dargestellt (repräsentiert) werden. Man unterscheidet verschiedene Deutungen: Als Verbindungsvektor wird er durch einen Pfeil dargestellt, der zwei gegebene Punkte verbindet. Als Verschiebungsvektor definiert er eine Verschiebung (Translation) aller Punkte des Raumes entlang des Pfeiles, der ihn darstellt. Als Ortsvektor bestimmt er den Ort eines Punktes, indem (Vektor-)Komponenten mit (Punkt-)Koordinaten identifiziert werden. Ist P ein Punkt, so schreiben wir seinen Ortsvektor als P. Er kann als Verbindungsvektor vom Ursprung nach P interpretiert werden. Zwei- und dreikomponentige (zwei- und dreidimensionale) Vektoren heißen auch ebene und räumliche Vektoren. Für manche Zwecke werden Vektoren mit mehr als drei Komponenten betrachtet. Vektoren werden manchmal "gerichtete Größen" genannt, im Gegensatz zu Skalaren (Zahlen) als "ungerichteten Größen". Ein besonderer Vektor ist der Nullvektor 0, dessen Komponenten alle gleich 0 sind. Die breite Anwendbarkeit der Vektorrechnung verdankt sich dem Zusammenspiel geometrischer Sachverhalte mit einer Reihe einfach zu handhabender Rechenoperationen: Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (d.h. das Bilden des Vielfachen) wird komponentenweise berechnet. Geometrisch entspricht das dem "Aufblasen" ("Schrumpfen") des ihn darstellenden Pfeiles. Die Addition zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet. Geometrisch entspricht die Summe zweier Vektoren einem Pfeil, der durch das Hintereinanderhängen (Schaft an Spitze) der entsprechenden Pfeile der Summanden zustande kommt. (Siehe auch Parallelogrammregel). Die Differenz zweier Vektoren wird komponentenweise berechnet. Ihre geometrische Bedeutung wird durch die Spitze-minus-Schaft-Regel ausgedrückt. Der Betrag eines Vektors ist die Länge des ihn repräsentierenden Pfeiles. (Siehe auch Einheitsvektor und Normierung). Das Skalarprodukt macht aus zwei Vektoren einen Skalar und erlaubt es, Winkelbeziehungen zwischen Vektoren zu analysieren. Das Vektorprodukt macht aus zwei räumlichen Vektoren einen dritten und hängt mit dem Volumen sowie mit den Begriffen "links" und "rechts" zusammen. Die Rechenoperationen der Multiplikation mit einem Skalar und der Vektoraddition erlauben die Bildung beliebiger Linearkombinationen. Mit Hilfe dieses Begriffs wird definiert, wann eine Menge von Vektoren linear abhängig ist und was das Wort Dimension eigentlich bedeutet. Vektoraddition Siehe Vektor. Vektorprodukt Sind a und b zwei dreikomponentige (räumliche) Vektoren, so ist aÙb (ausgesprochen "a keil b") jener Vektor, der auf a und b normal steht, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ist und der die Rechtsschraubenregel (Rechte-Hand-Regel) erfüllt: Drehen wir a auf kürzestem Weg in b und denken uns diese beiden Vektoren mit einer Schraube verbunden, so zeigt aÙb in die Bewegungsrichtung der Schraube. Das Vektorprodukt kann mit Hilfe der Formel
  aÙb = | æ | a2b3 - a3b2 | ö |
  ç | a3b1 - a1b3 | ÷
  è | a1b2 - a2b1 | ø
  aus den Komponenten der beiden Vektoren berechnet werden. Oft wird auch die Bezeichnung Kreuzprodukt (und die Schreibweise a×b) verwendet. Für Anwendungen siehe Spatprodukt und Händigkeit. Verbindungsvektor Ein Vektor, geometrisch dargestellt als Pfeil, kann als Verbindungspfeil oder Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten gedeutet werden. Der Verbindungsvektor von P nach Q ist durch die Differenz der Ortsvektoren Q - P gegeben. Der Abstand zweier Punkte ist der Betrag ihres Verbindungsvektors. Verbundereignis Sind A und B Ereignisse, die zu verschiedenen voneinander unabhängigen Zufallsexperimenten gehören, die gleichzeitig ausgeführt werden, so ist A Ç B ("A und B") ein Verbundereignis. Da A und B laut Voraussetzung voneinander statistisch unabhängig sind, kann die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse angewandt werden, um die Wahrscheinlichkeit eines Verbundereignisses zu berechnen. Verdoppelungszeit Siehe exponentielles Wachstum. Vereinigungsmenge Sind A und B zwei Mengen, so ist die Vereinigungsmenge (kurz: die Vereinigung) A È B die Menge aller Elemente, die entweder in A oder in B liegen:
  A È B = { x | x Î A oder x Î B }.
  Sie ist die Zusammenfassung aller Elemente von A und B. Verkettung von Funktionen (früher auch Verknüpfung genannt) ist das Hintereinander-Ausführen: Sind f und g zwei Funktionen, und ist der Wertebereich von g eine Teilmenge des Definitionsbereichs von f, so wird durch (f o g) (x) = f (g(x)) eine neue Funktion f o g definiert. Die "Verkettungsoperation" o ist assoziativ, denn es gilt immer f o (g o h) = (f o g) o h, aber im Unterschied zur Multiplikation von Zahlen nicht kommutativ, denn f o g ist nicht dasselbe wie g o f. Verknüpfung von Funktionen ist eine ältere Bezeichnung für die Verkettung von Funktionen. Vermessungsaufgaben Vermessungsaufgaben bestehen darin, gewisse Größen in geometrischen Figuren, die aus Dreiecken bestehen oder sich in Dreiecke zerlegen lassen, mit den Mitteln der Trigonometrie (vor allem Sinussatz und Cosinussatz) aus gewissen anderen numerisch bekannten Größen zu errechnen. Oft handelt es sich dabei um mehr oder weniger realistische Situationen aus der Landvermessung. Zum Lösen dieser Aufgaben ist manchmal eine Kombination von Argumenten nötig. Sie zu finden, ist nicht immer leicht. Hier eine ausführliche Liste von zur Bearbeitung von Vermessungsaufgaben. Siehe auch Auflösen von Dreiecken. Verschiebungen und Streckungen von Funktionsgraphen können direkt durch Verschiebungen und Streckungen von Argument und Funktionswert erzielt werden: . Verschiebungsvektor Ein Vektor, geometrisch dargestellt als Pfeil, kann als Verschiebung (Translation) gedeutet werden, die jeden Punkt in einen anderen überführt, indem sie ihn entlang des Pfeils "verschiebt". Die Vektoraddition bedeutet in dieser Interpretation das Hintereinander-Ausführen von Verschiebungen. Versuchsausgang kurz Ausgang: Ein Zufallsexperiment besitzt eine wohldefinierte Menge von Versuchsausgängen (Elementarereignissen). Die Menge aller Versuchsausgänge ist der Ereignisraum. Der Begriff des Versuchsausgangs ist von jenem des Ereignisses zu unterscheiden! Vielfaches Im Rahmen der natürlichen Zahlen sind die Vielfachen von m (neben m selbst) die Zahlen 2m, 3m, 4m usw., d.h. alle Zahlen der Form k m, wobei k Î N. Die Zahlen m und k sind dann Teiler des Produkts k m. Analog kann das Konzept auch auf die ganzen Zahlen ausgedehnt werden, wobei 0 m (also 0) und -m für manche Zwecke als triviale Vielfache angesehen werden müssen. Vietascher Satz Zwischen den Lösungen x1,2 einer quadratischen Gleichung (siehe kleine Lösungsformel) und den in der Normalform (p-q-Form) x2 + p x + q = 0 auftretenden Zahlen p und q besteht die Beziehung.
  x1 + x2
  =
  - p
  x1 x2
  =
  q .
Der tiefere Grund dafür ist die Identität x2 + p x + q = (x - x1)(x - x2). Dies kann dazu benützt werden, quadratische Terme als Produkte von Linearfaktoren zu schreiben. (Über den reellen Zahlen ist das nur möglich, wenn der quadratische Term für zumindest ein x Null ist. Über den komplexen Zahlen ist es immer möglich. Beispiele: x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) über R oder C, x2 + 1 = (x + i)(x - i) über C). Vorzeichenfunktion ist ein anderer Name für die Signumfunktion.

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