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Begründung:
Dahinter steht folgende Idee: Ist für irgendein konkretes x Î G die ''Behauptung'' L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e eine wahre Aussage, so ist auch L i n k e S e i t e + 1 = R e c h t e S e i t e + 1 eine wahre Aussage. Ist hingegen für irgendein konkretes x Î G die ''Behauptung'' L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e eine falsche Aussage, so ist auch L i n k e S e i t e + 1 = R e c h t e S e i t e + 1 eine falsche Aussage.

Anstelle der Gleichung L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e kann also auch die Gleichung L i n k e S e i t e + 1 = R e c h t e S e i t e + 1 betrachtet werden: Beide sagen dasselbe aus, haben dieselbe Lösungsmenge. Sie sind zueinander äquivalent. Symbolisch kann das so ausgedrückt werden:

L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e Û L i n k e S e i t e + 1 = R e c h t e S e i t e + 1
| (1)

Von der ersten Version kommt man zur zweiten, indem zu beiden Seiten die Zahl 1 addiert wird. Umgekehrt kommt man von der zweiten zur ersten Version, indem von beiden Seiten die Zahl 1 subtrahiert wird. Beide Versionen beinhalten dieselbe Information. Wird eine Version gelöst, so ist damit automatisch auch die andere gelöst.

Diese Überlegung ist nicht auf Addition der Zahl 1 beschränkt, sondern gilt für beliebige Zahlen und sogar für Terme:

L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e Û L i n k e S e i t e + T e r m = R e c h t e S e i t e + T e r m
| (2)

wobei T e r m ein beliebiger Term ist, der von x abhängen darf (sofern er für alle x Î G wohldefiniert ist).

Eine andere wichtige Äquivalenztransformation besteht darin, beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl oder einem Term zu multiplizieren

L i n k e S e i t e = R e c h t e S e i t e Û L i n k e S e i t e ×T e r m = R e c h t e S e i t e ×T e r m
| (3)

wobei allerdings nun T e r m für alle x Î G wohldefiniert und von Null verschieden sein muß. (Nur dann kann durch Division aus der zweiten Version die erste zurückgewonnen werden).