Aufgaben

Machen Sie sich zunächst mit dieser Lernhilfe vertraut! Betrachten Sie (auch beim Lösen der folgenden Aufgaben) sowohl die Position der Folgenglieder auf der Zahlengeraden als auch ihre rechts oben eingeblendeten numerischen Werte! Wählen Sie zum Einstieg die Folge an = n - 5 und rechnen Sie die angezeigten Werte nach! Sagen Sie die ersten drei Glieder der Folge an = 5 - n2 und ihre Positionen auf der Zahlengeraden voraus, bevor Sie klicken! Falls Sie mit der Funktion "sin" (Sinus) nicht vertraut sind, ignorieren Sie in den folgenden Aufgaben die beiden Folgen, die sie enthalten! Welche der angegebenen Termdarstellungen beschreiben arithmetische, welche beschreiben geometrische Folgen? Was ist größer - die zehnte Wurzel aus 10 oder die zwanzigste Wurzel aus 20? Benutzen Sie die letzte der angegebenen Folgen, um diese Frage zu beantworten! Wie groß wird die einmillionste Wurzel aus einer Million ungefähr sein? Wenn es eine Zahl gibt, die größer (kleiner) als alle Glieder einer Folge ist, heißt die Folge nach oben (unten) beschränkt. Welche der angegebenen Folgen würden Sie als nach oben (unten) beschränkt einstufen? (Zusatzaufgabe: Versuchen Sie durch Analyse der entsprechenden Terme, ihre Vermutungen exakt zu beweisen!) Wenn jedes (ab dem zweiten) Folgenglied größer-gleich (kleiner-gleich) dem vorhergehenden ist, heißt die Folge monoton wachsend (fallend). Sehen Sie sich die erste 30 Glieder aller angegebenen Folgen an! Welche der Folgen würden Sie aufgrund des Verhaltens dieser Werte als monoton wachsend, welche als monoton fallend einstufen? Beachten Sie, dass sich die ersten paar Folgenglieder nicht unbedingt so verhalten müssen wie der Rest der Folge. Bei welchen Folgen könnten die ersten 5 Glieder zu einer falschen Diagose der Monotonie führen? (Zusatzaufgabe: Versuchen Sie durch Analyse der entsprechenden Terme, ihre Vermutungen exakt zu beweisen!) Wenn sich der angezeigte Wert nach oftmaligem Klicken nicht mehr nennenswert ändert, so ist das ein Indiz (kein Beweis!) dafür, dass die Folge konvergent ist. Welche der angegebenen Folgen würden Sie nach diesem Kriterium als konvergent einstufen? Versuchen Sie in diesen Fällen, den Grenzwert abzulesen! (Zusatzaufgabe: Versuchen Sie durch Analyse der entsprechenden Terme, die Konvergenz exakt zu beweisen und die Grenzwerte rechnerisch zu ermitteln!) Wie oft müssen bei den konvergenten Folgen klicken, um in die Nähe des Grenzwerts zu kommen? Beachten Sie, dass das für verschiedene Folgen ganz unterschiedlich sein kann! Für welche geht es am schnellsten? Warum? Zur formalen Definition des Grenzwerts: Betrachten Sie die Folge an = 5/n. Ab welchem Wert von n ist der Abstand von an zum Grenzwert kleiner als 0.2 ? Ab welchem Wert von n ist er kleiner als 0.1 ? Betrachten Sie die Folge an = 50n/(n2 + 50). Ab welchem Wert von n ist der Abstand von an zum Grenzwert kleiner als 1 ? Ab welchem Wert von n ist er kleiner als 0.5 ? Betrachten Sie die Folge an = 1 + (-1)n/n. Ab welchem Wert von n ist der Abstand von an zum Grenzwert kleiner als 0.1 ? Ab welchem Wert von n ist er kleiner als 0.05 ? Betrachten Sie beim Lösen dieser Aufgaben die rechts oben eingeblendeten numerischen Werte der Folgenglieder! (Zusatzaufgabe: Versuchen Sie, diese n-Werte durch Analyse der entsprechenden Terme zu berechnen!) Anmerkungen zu dieser Aufgabe: Diese Übungen sollen verdeutlichen: Ist eine Folge konvergent, dann gibt es für jede (noch so kleine) Zahl e einen Wert von n, ab dem der Abstand von an zum Grenzwert kleiner als e ist. Beachten Sie aber: Mit dem unscheinbaren Wort "ab" ist hier eine sehr starke Aussage gemacht: Alle (unendlich vielen) Glieder, die später auftreten, müssen die Bedingung | an - Grenzwert | < e ebenfalls erfüllen! Eine solche Aussage folgt nicht aus dem Wert von endlich vielen Folgengliedern, sondern sie muss (durch mathematische Argumentation) bewiesen werden. Ob das leicht oder schwierig ist, hängt von der konkreten Folge ab, um die es geht.