Lösungen

Arithmetisch: an = 5 - n2. Geometrisch: an = 1.2n, an = 4 · 0.7n und an = 10 · 2-n. Die zehnte Wurzel aus 10 ist größer als die zwanzigste Wurzel aus 20. Die einmillionste Wurzel aus einer Million liegt knapp über 1. Nach oben beschränkt: alle außer an = n - 5, an = 1.2n und an = n2/(n + 3). Nach unten beschränkt: alle außer an = 5 - n2. Monoton wachsend: an = n - 5, an = 1.2n und an = n2/(n + 3). Monoton fallend: an = 5/n, an = 5 - n2, an = 4 · 0.7n, an = 5/n2 und an = 10 · 2-n. Falsche Diagnose aufgrund der ersten 5 Glieder im Fall der Folgen an = 50n/(n2 + 50) und an = (n2 + 3n)/(n2 + 5). Konvergent sind: an = 5/n (Grenzwert: 0) an = 1 + (-1)n/n (Grenzwert: 1) an = (n + 1)/(2n - 5) (Grenzwert: 1/2) an = 4 · 0.7n (Grenzwert: 0) an = 50n/(n2 + 50) (Grenzwert: 0) an = 5/n2 (Grenzwert: 0) an = (n2 + 3n)/(n2 + 5) (Grenzwert: 1) an = 10 · 2-n (Grenzwert: 0) an = (sin n)/n (Grenzwert: 0) an = n1/n ( = n-te Wurzel aus n) (Grenzwert: 1) Die geometrischen unter den konvergenten Folgen nähern sich ihrem Grenzwert am schnellsten. Eine Mittelstellung nimmt die Folge an = 5/n2 ein, alle andere konvergieren langsamer. Um ein Gefühl für diese unterschiedlichen Konvergenzverhalten zu bekommen, setzen Sie eine große Zahl für n (z.B. 1 Million) in die verschiedenen Terme ein und vergleichen Sie deren Werte! Führen Sie keine komplizierten Berechnungen durch, sondern benutzen Sie ganz elementare Abschätzungen wie beispielsweise: Ist n sehr groß, so unterscheidet sich n2 + 50 anteilsmäßig kaum von n2. Daher kann bei einer Abschätzung des Verhaltens für große n der Term 50n/(n2 + 50) durch 50n/n2 = 50/n ersetzt werden. 2-1000000 ist sehr viel kleiner als 1/1000000. an = 5/n Ab n = 26 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.2. Ab n = 51 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.1. an = 50n/(n2 + 50) Ab n = 49 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 1. Ab n = 100 ist der Abstand von an zum Grenzwert (0) kleiner als 0.5. an = 1 + (-1)n/n Ab n = 11 ist der Abstand von an zum Grenzwert (1) kleiner als 0.1. Ab n = 21 ist der Abstand von an zum Grenzwert (1) kleiner als 0.05.