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Beweis von (12):

( f(x) g(x)) ' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x)
| (12)

Zum Beweis der Produktregel schreiben wir zunächst den Differenzenquotienten der Funktion x ® f(x) g(x) an. Er hat die Form

f(x + e) g(x + e) - f(x) g(x) e | .

Nun kommt ein kleiner Trick: Wir subtrahieren einen Term und geben ihn wieder dazu, sodass der Differenzenquotient die Form

f(x + e) g(x + e) - f(x) g(x + e) e | + | f(x) g(x + e) - f(x) g(x) e

annimmt. Zuletzt heben wir in jedem der beiden Summanden einen gemeinsamen Faktor heraus:

f(x + e) - f(x) e | g(x + e) | + | f(x) | g(x + e) - g(x) e | .

Für e ® 0 streben die beiden Brüche gegen f '(x) und g'(x), und das verbleibende g(x + e) strebt gegen g(x). Damit erhalten wir genau die Produktregel (12).