Das Argument Vielleicht haben Sie bemerkt, dass der Unordnungsparameter (sofern die Anordnung aus der Ausgangsposition hervorgeht) immer dann wenn leere Feld in der ersten oder dritten Zeile steht, eine ungerade Zahl ist, und wenn das leere Feld in der zweiten oder vierten Zeile steht, eine gerade Zahl ist. Für die 14-15-vertauschte Anordnung ist er 1, also eine ungerade Zahl, und in ihr steht das leere Feld in der vierten Zeile. Wenn wir die obigen Aussagen 1 und 2 allgemein beweisen können, sind wir fertig: Dann ist es unmöglich, die 14-15-vertauschte Position aus der Ausgangsstellung zu erzielen, da dies den Regeln 1 und 2 widerspräche. Wie können wir die Aussagen 1 und 2 beweisen? Das ist gar nicht so schwer: Falls das leere Feld seinen Platz mit einem danebenstehenden Zahlenfeld tauscht, ändert sich an der Reihenfolge der Zahlen nichts, also auch nicht der Ordnungsparameter. Falls das leere Feld seinen Platz mit dem über oder unter ihm stehenden Zahlenfeld tauscht, bedeutet das, dass das nach unten bzw. oben springende Feld drei vor ihm stehende Felder "überholt" bzw. um drei Felder "zurückfällt". Je nach den Werten der beteiligten Zahlen ändert sich der Ordnungsparameter: Die springende Zahl bildet mit jeder übersprungenen Zahl entweder vor dem Zug ein richtig geordnetes und danach ein falsch geordnetes Paar oder umgekehrt, was in einer Zu- oder Abnahme der falsch geordneten Paare um 1 resultiert. Da drei Zahlen übersprungen werden, ändert sich die Zahl der falsch geordneten Paare insgesamt um (plus oder minus) 1 oder (plus oder minus) 3. Daraus folgt, dass der Ordnungsparameter (der in der Anfangsstellung mit 0 beginnt) für eine Anordnung, in der das leere Feld in der ersten oder dritten Zeile steht, ungerade, und für eine Anordnung, in der das leere Feld in der zweiten oder vierten Zeile steht, gerade ist. Damit ist alles bewiesen. Unser Resultat lautet: Satz: Es ist nicht möglich, die 14-15-vertauschte Anordnung aus der regulären Anfangsstellung zu erhalten. Noch eine kurze Nachbemerkung über die Methode, der wir diesen schönen Beweis verdanken: Wir haben hier eine in der Mathematik sehr wichtige Struktur vor uns - eine Invariante. Um noch deutlicher zu sehen, was das bedeutet, ersetzen wir den Ordnungsparameter durch 1, wenn er gerade ist, und durch -1, wenn er ungerade ist, und multiplizieren diese Zahl mit -1, falls das leere Feld in der ersten oder dritten Zeile steht, und mit 1, falls das leere Feld in der zweiten oder vierten Zeile steht. Auf diese Weise erhalten wir für jede erdenkliche Anordnung der Felder eine Zahl, die durch keinen Zug verändert wird (d.h. die während jeder Abfolge von Zügen stets gleich bleibt; mathematisch ausgedrückt: die "invariant" ist). Für alle Anordnungen, die aus der Ausgangsstellung hervorgehen, ist sie 1. Für die 14-15-vertauschte Anordnung (und für alle weiteren Anordnungen, die aus dieser hervorgehen) ist sie -1. Sie bildet ein Unterscheidungsmerkmal zwischen diesen zwei Arten von Anordnungen: Wenn sie für irgendeine gegebene Anordnung -1 ist, wissen wir sofort, dass diese nicht aus der regulären Ausgangsstellung hervorgehen kann. Das mag illustrieren, wie mächtig Invarianten beim mathematischen Argumentieren sind. ¬ Der Unordnungsparameter | Zur Geschichte ®