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Verstehen spart Arbeit!
Aufgabe: Gegeben sei die Funktion

f(x) | = | 1 ___________ __________ Ö 1 - 3x - x2 | .

Ihr Definitionsbereich sei die Menge aller x, für die der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Bestimmen Sie ihre lokalen Extrema!

Lösungsvariante 1 | Lösungsvariante 2
Die gegebene Funktion ist gemäß ihrer Konstruktion in ihrem Definitionsbereich positiv. Sie ist genau dort maximal (minimal), wo ihr Quadrat maximal (minimal) ist. Daher können wir uns die Wurzel schenken! Was übrigbleibt, ist genau dort maximal (minimal), wo sein Kehrwert minimal (maximal) ist - beachten Sie die Umkehrung an dieser Stelle! Wir können uns daher auch den Bruch schenken und statt f die Funktion g(x) = 1 - 3x - x2 auf lokale Extremstellen untersuchen. Sie stellt genau den Ausdruck dar, der im Funktionsterm von f unter der Wurzel steht. Wir differenzieren: g'(x) = - 3 - 2x. Die Gleichung g'(x) = 0 hat daher als (einzige) Lösung x = -3/2. Der Graph von g ist eine nach unten offene Parabel, daher ist die Stelle x = -3/2 die x-Koordinate ihres Scheitels. Hier hat die Funktion g ein lokales (sogar globales) Maximum. Da g(-3/2) = 13/4 eine positive Zahl ist, liegt diese Stelle im Definitionsbereich von f und stellt ein lokales (sogar globales) Minimum dieser Funktion dar. Nahe den Rändern des Definitionsbereichs strebt g gegen 0, f daher gegen +¥. Aus diesem Grund besitzt die Funktion f kein lokales (auch kein globales) Maximum. Nachbemerkung: Eine Argumentation, die den Bezug auf die Parabel vermeidet, ergibt sich durch den Vergleich der Funktionswerte g(-2) = 3 g(-3/2) = 13/4 = 3.25 g(0) = 1. Da die Stelle x = -3/2 der einzige Kandidat für ein lokales (sogar globales) Extremum der Funktion g ist, handelt es sich um eine Maximumstelle dieser Funktion, daher um eine Minimumstelle von f. | Zuerst müssen wir die Funktion differenzieren, was unter Ausnutzung der Ableitungsregeln (Kettenregel und Ableitung von x-1/2) auf
f '(x) | = | 3 + 2 x 2(1 - 3x - x2)3/2 |
führt. Die Gleichung f '(x) = 0 lautet 2x + 3 = 0. Sie hat als (einzige) Lösung x = -3/2. Da 1 - 3x - x2 an dieser Stelle gleich 13/4, also positiv ist, liegt sie im Definitionsbereich der Funktion f. Um festzustellen, ob es sich dabei um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt, wird die zweite Ableitung berechnet. Nach viel Arbeit (probieren sie es aus!) ergibt sich
f ''(x) | = | 31 + 24 x + 8 x2 4(1 - 3x - x2)5/2 | .
Um festzustellen, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an der Stelle x = -3/2 besitzt, wird eingesetzt:
f ''(-3/2) | = | 8 133/2 | .
Diese Zahl ist positiv, daher ist die Stelle x = -3/2 ein lokales Minimum von f. Nun bleiben die Ränder des Definitionsintervalls zu untersuchen: Sie sind gegeben durch die Lösungen der Gleichung 1 - 3x - x2 = 0, die sich als x = (1/2) × (-3 ± 131/2) herausstellen. Einsetzen in f(x) ergibt (mit einiger Mühe) in beiden Fällen einen Quotienten, dessen Nenner 0 ist, also einen undefinierten Ausdruck. Daher kann die Funktion f hier kein lokales Extremum haben.

Beide Varianten sind mathematisch korrekt. Entscheiden Sie selbst, welche ihnen sympathischer ist! Sehen Sie sich die Graphen der Funktionen f und g (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!
Weiterführende Übungsaufgabe: Variante 1 fördert über die bloße Erfüllung der Aufgabenstellung hinaus mehr Einsichten über die gegebene Funktion f zu Tage als Variante 2. Können Sie formulieren, welche?