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Es gibt nicht immer eine kleinste Periode:
Interessanterweise besitzt nicht jede periodische Funktion eine kleinste Periode. Betrachten wir ein Beispiel: Wir definieren

f (x) = { |
1 wenn x Î Q
0 wenn x Ï Q

wobei Q die Menge der rationalen Zahlen ist. (Sie wurde im Kapitel Zahlen besprochen).
Für diese Funktion ist jede positive rationale Zahl p eine Periode!
Überprüfen wir das: Sei p eine positive rationale Zahl. Ist x ebenfalls rational, so auch die Summe x + p. Ist hingegen x eine irrrationale Zahl, so auch die Summe x + p. Für jedes reelle x gilt daher
f (x + p) = f (x),
womit bewiesen ist, dass p eine Periode der Funktion f ist.
Da es keine kleinste positive rationale Zahl gibt (für jeden Kandidaten wäre die Hälfte noch kleiner), besitzt f keine kleinste Periode.
Wir können aber beruhigenderweise anmerken, dass praktisch alle periodischen Funktionen, die in Anwendungen der Mathematik eine Rolle spielen (allen voran die im gleichnamigen Kapitel besprochenen Winkelfunktionen) sehr wohl eine kleinste Periode besitzen.