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Zur Bedeutung (anti)symmetrischer Funktionen:
Die Klassen der symmetrischen und antisymmetrischen Funktionen sind in einer gewissen Hinsicht elementar: Jede Funktion lässt sich aus ihnen konstruieren.
Satz: Jede Funktion f : R ® R kann in eindeutiger Weise als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion dargestellt werden.
Beweis 1. Teil: Wir betrachten eine Funktion f : R ® R und zeigen, dass sie als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion dargestellt werden kann. Dazu schreiben wir

f+(x) = | 1 2 | ( f (x) + f (-x) )
f-(x) = | 1 2 | ( f (x) - f (-x) )

und bemerken,

- dass f+ eine symmetrische und f- eine antisymmetrische Funktion ist
  (rechnen Sie selbst nach - es geht ganz einfach), und
- dass die Summe dieser beiden Funktionen f ist:
  f (x) = f+(x) + f-(x) .

Damit ist bewiesen, dass f die Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion ist.
Beweis 2. Teil: Es bleibt zu zeigen, dass diese Darstellung eindeutig ist. Dazu nehmen wir an, f wäre noch auf eine andere Weise als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion darzustellen: f (x) = g+(x) + g-(x) . Dann wäre
f+(x) + f-(x) = g+(x) + g-(x) ,
was wir zu
f+(x) - g+(x) = g-(x) - f-(x)
umformen. Die linke Seite stellt eine symmetrische, die rechte eine antisymmetrische Funktion dar. Nun ist aber eine Funktion, die gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch ist, identisch Null. Es folgt
f+(x) = g+(x)
f-(x) = g-(x)
für alle x Î R, d.h. die Summe ist tatsächlich eindeutig. Damit ist der Satz bewiesen.
Nachbemerkung: f+ wird als "symmetrischer" und f- als "antisymmetrischer" Anteil der Funktion f bezeichnet.