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Beweise: Ableitungen der Hyperbelfunktionen:

Funktion | Ableitung
sinh x | cosh x
cosh x | sinh x
Funktion | Ableitung
tanh x |
1 cosh2x
coth x |
- | 1 sinh2x

Die Beweise benötigen die Definitionen der Hyperbelfunktionen, wie im Kapitel Funktionen 2 besprochen, und die ebenfalls dort erwähnte Beziehung

cosh2x - sinh2x = 1 für alle x Î R.

Wir führen die Rechnung für den Sinus Hyperbolicus vor:

sinh'(x) = | 1 2 | ( ex - e-x ) | ' | = | 1 2 | ( ex + e-x ) = cosh x.

Die Ableitung des Cosinus Hyperbolicus kann ganz analog berechnet werden. Die Behandlung des Tangens Hyperbolicus und des Cotangens Hyperbolicus erfordert die Anwendung der Quotientenregel (13) und funktioniert ganz ähnlich wie für die Tangens- und Cotangensfunktion. Führen Sie diese Rechnungen zur Übung selbst durch!