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Beweis von (20) - Flächeninhalt des Parallelogramms:

A = (a2 b2 - (ab)2)1/2 |
| (20)

Für den Flächeninhalt des Parallelogramms verwenden wir die Formel
A = Länge der Grundlinie × Höhe
und machen folgende Skizze:
Die Länge der Grundlinie ist |a|. Das Quadrat der Höhe ergibt sich aus dem pythagoräischen Lehrsatz zu h2 = |b|2 - b'2. Diese Beziehung gilt auch dann, wenn a und b einen stumpfen Winkel einschließen. (In diesem Fall ist b' < 0, sein Quadrat aber positiv). Das Quadrat der Parallelogrammfläche ist daher

A2 = |a|2 (|b|2 - b'2) |

= |a|2 |b|2 - (b' |a|)2 |

= a2 b2 - (ab)2 | ,

wobei wir im letzten Schritt die geometrische Definition des Skalarprodukts benutzt haben. Durch Wurzelziehen folgt (20).