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Beispiel: Checkliste zur Untersuchung einer rationalen Funktion:
Wir illustrieren anhand eines Beispiels, wie eine rationale Funktion auf Definitionslücken, Nullstellen, Pole und Asymptoten untersucht wird. Dazu suchen wir uns den Term

| x3 - x 5x(x - 2) |
| (1)

aus.
1.) Definitionslücken: Um sie zu erkennen und zu entfernen, muss so lange gekürzt werden, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen mehr besitzen. Der Nenner unseres Terms verschwindet für x = 0 und x = 2. Der Zähler ist an der Stelle 2 von Null verschieden, verschwindet aber an der Stelle 0 ebenfalls - hier haben wir eine gemeinsame Nullstelle von Zähler und Nenner! Um kürzen zu können, heben wir im Zähler ein x heraus und erhalten

| x(x2 - 1) 5x(x - 2) | .
| (2)

Kürzen ergibt

| x2 - 1 5(x - 2) | ,
| (3)

womit sich die Stelle 0 als Definitionslücke erweist: Zähler und Nenner von (3) besitzen nun keine gemeinsamen Nullstellen mehr. Nach dieser Reparatur erhalten wir eine Funktion, die für alle reellen x ¹ 2 definiert ist.
2.) Nullstellen: Sie sind die Nullstellen des Zählers von (3), also -1 und 1.

> Um die Ordnungen der Nullstellen zu ermitteln, schreiben wir den Zähler als (x + 1)(x - 1). Jede Nullstelle entspricht nur einem Linearfaktor. Daher sind beide Nullstellen von erster Ordnung.

3.) Polstellen: Sie sind die Nullstellen des Nenners von (3). Es bleibt nur eine Nullstelle bei x = 2 übrig - hier liegt also ein Pol vor! (Die Stelle 0, an der der Nenner des ursprünglichen Terms (1) Null war, hat sich ja als Definitionslücke erwiesen und ist keine Polstelle).

> Um die Ordnung des Pols zu ermitteln, müssen wir uns den Nenner von (3) näher anschauen: Er besteht nur aus einem zur Stelle 2 gehörenden Linearfaktor, und daher ist unser Pol von erster Ordnung.

4.) Asymptoten: Eine Asymptote haben wir bereits im vorigen Punkt gefunden: Es ist die zu Polstelle gehörende, durch die Gleichung x = 2 beschriebene, zur x-Achse parallele Gerade.
Um das Verhalten im Unendlichen zu ermitteln, vernachlässigen wir in Zähler und Nenner von (3) alle Beiträge bis auf die jeweils höchsten Potenzen von x. Wir erhalten

| x2 5x | ,
| (4)

was sich zu x/5 vereinfacht. Im Unendlichen nähert sich (3) daher der linearen Funktion g(x) = x/5 an. Deren Graph (d.h. die durch die Gleichung y = x/5 beschriebene Gerade) ist die zweite Asymptote unserer Funktion.
Zu guter Letzt plotten Sie die durch (1) definierte Funktion und die Asymptote!