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Das Pascalsche Dreieck

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|  | 1 |  | 6 |  | 15 |  | 20 |  | 15 |  | 6 |  | 1 |  |
| 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |
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Es wird durch folgende einfache Regel konstruiert:

Jede Zeile beginnt und endet mit 1. Der Wert jeder anderen Eintragung ist die Summe der beiden schräg über ihr stehenden.

Versuchen Sie, die fehlenden Eintragungen einzufügen!
Was das Pascalsche Dreieck so erstaunlich macht:
Die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)n auftreten, wobei mit n = 0 zu zählen begonnen wird:

Die nullte Zeile entspricht der Identität
(a + b)0 = 1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(a + b)1 = a + b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(a + b)2 = a 2 + 2 a b + b 2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
| usw. |

Erkennen Sie die im Dreieck auftretenden Zahlen wieder? Vielleicht fällt es Ihnen ein bißchen schwer, denn wenn ein Koeffizient gleich 1 ist, wird er nicht eigens angeschrieben, und daher sehen Sie keine Einser in dieser Aufstellung. Fügen wir die Einser aber ein (schreiben wir also z.B. a als 1 a, d.h. 1 × a), heben alle Koeffizienten hervor und rücken die Terme ein bißchen zurecht, so sieht die Aufstellung so aus:

Die nullte Zeile entspricht der Identität
(a + b)0 = 1
Die erste Zeile entspricht der Identität
(a + b)1 = 1 a + 1 b
Die zweite Zeile entspricht der Identität
(a + b)2 = 1 a 2 + 2 a b + 1 b 2
Die dritte Zeile entspricht der Identität
(a + b)3 = 1 a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + 1 b 3
| usw. |

Hier haben wir die Zahlen des Pascalschen Dreiecks!
Die Konstruktion kann beliebig weit fortgesetzt werden. Das Pascalsche Dreieck ist unendlich groß. Man kann beweisen - obwohl wir das hier nicht tun -, daß es immer die richtigen Koeffizienten liefert.