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Mächtigkeit ist ein Begriff, mit dem die ''Größe'' einer Menge (insbesondere einer unendlichen Menge) in den Griff bekommen werden soll. Siehe gleichmächtig. mathe online Funktions-Plotter Ein nützliches Werkzeug für den täglichen Gebrauch, um Graphen von Funktionen darzustellen und zu analysieren, sowie Gleichungen numerisch zu lösen. Maximum, globales Ist f : A ® R eine Funktion in die reellen Zahlen (A ihr Definitionsbereich) und x0 eine Stelle mit der Eigenschaft f(x0) ³ f(x) für alle x Î A, so heißt x0 globale Maximumstelle von f. Beachten Sie, dass eine Funktion ihr globales Maximum an verschiedenen Stellen annehmen kann, und dass nicht jede Funktion ein globales Maximum besitzt. Siehe auch globales Minimum. Maximum, lokales Ist die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f º f(x) innerhalb eines Intervalls für x < x0 positiv und für x > x0 negativ, und gilt f '(x0) = 0, so heißt x0 lokale Maximumstelle (oder kurz lokales Maximum). Der entsprechende Punkt (x0, f(x0) am Graphen heißt Hochpunkt. Kandidaten für diese Art lokale Maxima einer gegebenen Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f '(x0) = 0. Beispiel: Die Funktion x ® -x2 hat bei x0 = 0 ein lokales Maximum. Siehe auch Charakterisierung lokaler Extrema und Extremwertaufgabe. Ist eine Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert, so können lokale Maxima auch an den Randstellen ihres Definitionsbereichs auftreten. Mehrstellige Funktionen bedeutet dasselbe wie Funktionen in mehreren Variablen. Mediane Die erste Mediane in einem kartesischen xy-Koordinatensystem ist die 45°-Gerade durch den Ursprung, d.h. jene Gerade, auf der y = x gilt. Manchmal wird die dazu orthogonale Gerade durch den Ursprung (auf der y = -x gilt) als zweite Mediane bezeichnet. Siehe auch Geradengleichungen. Menge Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohldefinierter Objekte, die Elemente genannt werden. Das Studium der sich aus dieser einfachen Idee ergebenden Strukturen und Probleme ist der Inhalt der Mengenlehre. Die elementaren Begriffe, die zum praktischen Hantieren mit Mengen benötigt werden, sind Teilmenge (Untermenge), Obermenge, Durchschnittsmenge, disjunkt, Vereinigungsmenge, Komplementärmenge und leere Menge. Für die beim Umgang mit Mengen häufig verwendeten Begriffe ''für die gilt'', ''es existiert ein'' und ''für alle'' werden spezielle Symbole verwendet. Siehe auch die Zusammenstellung der Symbole Î, |, Ç, È, Í, Ê, \, $ und ". Ein allzu naiver Mengenbegriff, der die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen erlaubt, führt auf unerwartete Probleme der Mengenlehre, die zu den grundlegendsten der modernen Mathematik gehören. Merkwürdige Punkte im Dreieck In einem Dreieck werden der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt, der Inkreismittelpunkt und der Schwerpunkt als "merkwürdige Punkte" bezeichnet. Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt liegen auf der Eulersche Geraden. Minimum, globales Ist f : A ® R eine Funktion in die reellen Zahlen (A ihr Definitionsbereich) und x0 eine Stelle mit der Eigenschaft f(x0) £ f(x) für alle x Î A, so heißt x0 globale Minimumstelle von f. Beachten Sie, dass eine Funktion ihr globales Minimum an verschiedenen Stellen annehmen kann, und dass nicht jede Funktion ein globales Minimum besitzt. Siehe auch globales Maximum. Minimum, lokales Ist die Ableitung einer differenzierbaren Funktion f º f(x) innerhalb eines Intervalls für x < x0 negativ und für x > x0 positiv, und gilt f '(x0) = 0, so heißt x0 lokale Minimumstelle (oder kurz lokales Minimum). Der entsprechende Punkt (x0, f(x0) am Graphen heißt Tiefpunkt. Kandidaten für diese Art lokale Minima einer gegebenen Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f '(x0) = 0. Beispiel: Die Funktion x ® x2 hat bei x0 = 0 ein lokales Minimum. Siehe auch Charakterisierung lokaler Extrema und Extremwertaufgabe. Ist eine Funktion nicht für alle reellen Zahlen definiert, so können lokale Minima auch an den Randstellen ihres Definitionsbereichs auftreten. Monom ist ein Polynom, das nur aus einer einzigen Potenz und einem Koeffizienten besteht, wie zum Beispiel 3x5. Monotonie einer Funktion bezeichnet die Eigenschaft einer reellen Funktion, mit wachsendem Argument größere oder kleinere Funktionswerte anzunehmen. Siehe monoton fallend, monoton wachsend, streng monoton fallend und streng monoton wachsend. Monotonie und Ableitung Falls die Ableitung einer reellen Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Die intuitive Begründung dafür lautet, dass die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt). Monoton fallend heißt eine reelle Funktion, wenn der Funktionswert mit größer werdendem Argument nicht größer wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) ³ f (x2) ist. Der Graph einer solchen Funktion "fällt" mit wachsendem x "nach unten" ab oder bleibt gleich "hoch". Monoton steigend bedeutet dasselbe wie monoton wachsend. Monoton wachsend heißt eine reelle Funktion, wenn der Funktionswert mit größer werdendem Argument nicht kleiner wird, d.h. wenn aus x1 < x2 folgt, daß f (x1) £ f (x2) ist. Der Graph einer solchen Funktion "steigt" mit wachsendem x "nach oben" an oder bleibt gleich "hoch". Mooresches Gesetz ist die in den Siebziger Jahren von Gordon Moore gemachte Beobachtung, dass sich die Speicherkapazität von Computern (genauer: von Silizium-Mikroprozessoren) seit 1970 alle 18 Monate verdoppelt, also einen exponentiellen Wachstumsprozess darstellt. 1970 betrug sie 10-6 Gigabit/cm2 (siehe Information). Für t Jahre nach 1970 wird demnach eine Speicherkapazität von 10-6 × 2t/1.5 Gigabit/cm2 vorausgesagt (was bisher erstaunlich gut eingetroffen ist: Für t = 30 ergibt sich eine Speicherkapazität von einem Gigabit/cm2, was ziemlich genau dem Stand der Technologie des Jahres 2000 entspricht). Multiplikation Zwei Zahlen x und y können miteinander multipliziert werden, und das Produkt x × y, auch als x · y oder kurz x y angeschrieben, ist wieder eine reelle Zahl. x und y heißen Faktoren. Für zwei Zahlen gilt x y = y x, was als Kommutativgesetz der Multiplikation bezeichnet wird. Werden mehrere Zahlen miteinander multipliziert, so gilt (x y) z = x (y z), das Assoziativgesetz der Multiplikation. Von der Multiplikation leitet sich die Division her. Mir der Addition ist die Multiplikation durch das Distributivgesetz verbunden. Die Multiplikation kann ganz innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen, wie die der komplexen Zahlen oder der Restklassen, besitzen eine Operation, die als ''Multiplikation'' bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt. Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse Sind die Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments voneinander statistisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten von A und B. Durch eine Formel ausgedrückt: p(A und B) º p(A Ç B) º p(A Ù B) = p(A) p(B). Sie lässt sich insbesondere auf Verbundereignisse anwenden. Umgekehrt sind zwei Ereignisse, die diese Beziehung erfüllen, voneinander statistisch unabhängig. Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten Sie lautet: Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments, so gilt p(A und B) º p(A Ç B) = p(A|B) p(B), wobei p(A|B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung B ist. Unter anderem dient diese Formel dazu, bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

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