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Beweis, daß die Menge R überabzählbar ist:
Georg Cantor hat ein höchst einfaches Argument - das nach ihm benannte "Diagonalverfahren" - angegeben, das zeigt, daß jede Auflistung von reellen Zahlen unvollständig ist.

Beschränken wir uns auf die Zahlen zwischen 0 und 1. Denken Sie sich irgendeine Liste aus, in der Sie versuchen, die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 in ihrer Dezimaldarstellung untereinanderzuschreiben! So eine Liste könnte folgendermaßen aussehen:

1. Zahl: | 0 | . | 5 | 1 | 4 | 8 | 3 | 0 | 9 | 7 | 5 | 2 | 9 | 7 | 1 | . | . | .
2. Zahl: | 0 | . | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | . | . | .
3. Zahl: | 0 | . | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 | 5 | 4 | 0 | 3 | 0 | 8 | . | . | .
4. Zahl: | 0 | . | 9 | 8 | 1 | 9 | 0 | 2 | 5 | 7 | 3 | 6 | 6 | 2 | 6 | . | . | .
5. Zahl: | 0 | . | 6 | 3 | 9 | 2 | 3 | 4 | 7 | 5 | 4 | 3 | 7 | 4 | 2 | . | . | .
usw. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | .

Das Cantor'sche Verfahren besteht darin, eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 anzugeben, die nicht in der Liste enthalten ist. Und das geht verblüffend einfach: Wählen Sie einfach ein Zahl,

- deren erste Nachkommastelle (Zehntel-Stelle) mit der ersten Nachkommastelle der ersten Zahl (im obigen Beispiel: 5) nicht übereinstimmt,

- deren zweite Nachkommastelle (Hundertstel-Stelle) mit der zweiten Nachkommastelle der zweiten Zahl (im obigen Beispiel: 3) nicht übereinstimmt,

- deren dritte Nachkommastelle (Tausendstel-Stelle) mit der dritten Nachkommastelle der dritten Zahl (im obigen Beispiel: 1) nicht übereinstimmt, usw.

So eine Zahl ist von allen bereits in der Liste stehenden Zahlen verschieden. (Sie unterscheidet sich von der n-ten Zahl der Liste in der n-ten Nachkommastelle).

Wir haben die relevanten Stellen des obigen Beispiels eingefärbt und eine Zahl hinzugefügt, die sich von allen angegebenen Zahlen unterscheidet:

1. Zahl: | 0 | . | 5 | 1 | 4 | 8 | 3 | 0 | 9 | 7 | 5 | 2 | 9 | 7 | 1 | . | . | .
2. Zahl: | 0 | . | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | 3 | 5 | 4 | . | . | .
3. Zahl: | 0 | . | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 | 5 | 4 | 0 | 3 | 0 | 8 | . | . | .
4. Zahl: | 0 | . | 9 | 8 | 1 | 9 | 0 | 2 | 5 | 7 | 3 | 6 | 6 | 2 | 6 | . | . | .
5. Zahl: | 0 | . | 6 | 3 | 9 | 2 | 3 | 4 | 7 | 5 | 4 | 3 | 7 | 4 | 2 | . | . | .
usw. | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | .
neue Zahl: | 0 | . | 6 | 4 | 2 | 0 | 4 | . | . | . | . | . | . | . | . | . | . | .

Sie können dieses Verfahren immer anwenden, ganz gleich, welche Liste von Zahlen zunächst hingeschrieben wurde. (Aufgrund der Bedeutung, die die auf der "Diagonale" des obigen Schemas stehenden Ziffern haben, wurde es "Diagonalverfahren" genannt).

Das Argument zeigt, daß so eine Liste nie alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 umfassen kann (und daher auch nicht die ganze Menge R). Womit bewiesen ist:

Die Menge R ist überabzählbar.