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Potenzen

Zusammenfassung: Eine Potenz ist zunächst das mehrfache Produkt einer Zahl mit sich selbst: a3 = a × a × a. Die moderne Mathematik verallgemeinert diesen Begriff auf natürliche Weise: So steht a-2 für 1/a2 und a3/5 für die fünfte Wurzel aus a3. Stichworte: Potenzen mit natürlichen Exponenten | Das Multiplizieren | Das Potenzieren | Potenz | Basis | Exponent (Hochzahl) | Die zentrale Rechenregel | Potenz-Rechner | Ganzzahlige Exponenten | a0 | a-1 | a-m | Rationale Exponenten | a1/2 | a1/q | ap/q | a-p/q | Weitere Rechenregeln | Rechnen mit Potenzen | Vereinfachte Schreibweise (Potenzschreibweise) | Umformen von Termen | Übungsmöglichkeiten | Nenner rational machen | Potenzen und die Ordnung der reellen Zahlen | Der Computer hilft | Zusammenfassung | Ausblicke

|  | Potenzen mit natürlichen Exponenten |  |  |  |  |
|  | Wir sind Potenzen bereits früher begegnet und haben gelegentlich Schreibweisen wie a-1 für 1/a und a1/2 für Ö a verwendet. In diesem Kapitel werden wir besprechen, was es damit auf sich hat. Zu Beginn sehen wir uns an, wo der Begriff der Potenz herkommt. Der Ursprung des Multiplizierens aus dem Geist der Addition Wir können die Zahl 5 drei mal "zu sich selbst addieren", d.h. wir können die Summe 5 + 5 + 5 bilden und schreiben sie als 3 × 5. Wir können das mit jeder (reellen) Zahl machen und verwenden dann abstrakte Symbole (Buchstaben): Steht a für eine Zahl, so ist mit 3 a (oder 3 × a) nichts anderes als a + a + a gemeint, und wenn wir uns auf die Zahl der Summanden nicht festlegen, schreiben wir n a, wobei n für eine beliebige natürliche Zahl (n = 1, 2, 3,...) steht. Auf diese Weise entsteht die Idee des Multiplizierens aus der Idee des Addierens. Um das Handhaben solcher Ausdrücke zu erleichtern, können wir eine Rechenregel (Identität) aufstellen: (m + n) a = m a + n a | (1) In ihr steht a für eine beliebige reelle Zahl. m und n dürfen - zunächst - beliebige natürliche Zahlen (m, n = 1, 2, 3,...) sein. Wir können diese Idee der Multiplikation aber verallgemeinern, indem wir für m und n auch reelle Zahlen zulassen. Damit gelangen wir zur Multiplikation als Rechenoperation in der Menge der reelle Zahlen, einer für die Mathematik grundlegenden Struktur. Der Ursprung des Potenzierens aus dem Geist der Multiplikation Die Idee des "Potenzierens" besteht zunächst einfach darin, den gerade dargestellten Gedankengang für den Fall zu wiederholen, dass von der Multiplikation (statt, wie oben, von der Addition) ausgegangen wird: Wir können die Zahl 5 drei mal "mit sich selbst multiplizieren", d.h. das Produkt 5 × 5 × 5 bilden und schreiben es als 53. Wir können das mit jeder (reellen) Zahl machen und verwenden dann abstrakte Symbole (Buchstaben): Steht a für eine Zahl, so ist mit a3 nichts anderes als a × a × a gemeint, und wenn wir uns auf die Zahl der Faktoren nicht festlegen, schreiben wir an (ausgesprochen "a hoch n"), wobei n für eine beliebige natürliche Zahl (n = 1, 2, 3,...) steht. Auf diese Weise entsteht die Idee des Potenzierens aus der Idee des Multiplizierens. Wir nennen an eine Potenz (die "n-te Potenz von a"; manchmal wird gesagt: "a wird zur n-ten Potenz erhoben"), a die Basis und n den Exponenten (oder die Hochzahl). |  |  |  | negative Hochzahlen und Hochzahl 1/2 reelle und natürliche Zahlen |
|  | Diese Schreibweise ist für uns nicht neu. Um das Handhaben solcher Ausdrücke zu erleichtern, können wir eine Rechenregel (Identität) aufstellen, die in der Folge von zentraler Bedeutung sein wird: am + n = am a n | (2) In ihr steht a für eine beliebige reelle Zahl. m und n dürfen - zunächst - beliebige natürliche Zahlen (m, n = 1, 2, 3,...) sein. Um sie zu beweisen, muss man eigentlich fast nichts tun, denn sie drückt einfach das Abzählen von Faktoren aus: So ist beispielsweise das Produkt von 53 (also 5 × 5 × 5) mit 54 (also 5 × 5 × 5 × 5) das 7-fache Produkt von 5 mit sich selbst, also 57, d.h. 53 + 4. Auf elegante Weise verbindet diese Regel das Produkt (von Potenzen) mit der Summe (der Hochzahlen). Trotz ihrer Einfachheit zieht sie - wie wir in diesem Kapitel noch sehen werden - zahlreiche interessante Konsequenzen nach sich. Um die numerischen Werte von Potenzen schnell berechnen zu können, stellen wir hier einen Potenz-Rechner zur Verfügung: |  |
Für zwei gegebene Zahlen a und m berechnet er am. Um 53 zu berechnen, geben Sie 5 in das erste und 3 in das zweite (hochgestellte) Textfeld ein und klicken auf das Gleichheitszeichen! (Jeder andere elektronische Rechner oder ein Taschenrechner kann das natürlich auch). |  |  |  | Potenzschreibweise |
|  | Wir sind aber noch nicht fertig! Erinnern wir uns, wie wir oben bei der Motivierung der Idee des Multiplizierens vorgegangen sind: Zu Beginn war nur das Produkt einer reellen Zahl (a) mit einer natürlichen Zahl (n) definiert. Dementsprechend waren in der Rechenregel (1) für m und n zunächst nur natürliche Zahlen zugelassen. Der nächste Schritt, für m und n beliebige reelle Zahlen zuzulassen, ist eine echte mathematische Verallgemeinerung, die sich nicht auf das Zählen von Summanden reduzieren lässt! Erst durch sie wird das Multiplizieren zu einer allgemeinen Rechenoperation innerhalb der Menge der reellen Zahlen. Analog dazu haben wir als Exponenten in Potenzen bisher nur natürliche Zahlen zugelassen. Konsequenterweise stehen m und n in der Rechenregel (2) für natürliche Zahlen. In den nächsten zwei Abschnitten wollen wir überlegen, ob wir den Bereich der zulässigen Exponenten vergrößern, dabei aber die Regel (2) beibehalten können. Wir werden einen Teil dieser Frage hier und einen Teil in späteren Kapiteln beantworten und dabei auf interessante mathematische Strukturen und nützliche Anwendungsmöglichkeiten stoßen. Wer sich nur für die fertigen Kochrezepte, nicht aber für deren Begründung interessiert, kann die nächsten zwei Abschnitte auslassen, springt zum letzten Abschnitt, nimmt die Zusammenfassung zur Kenntnis und liest dann bei Bedarf den vorletzten Abschnitt, in dem Beispiele besprochen und Tipps fürs praktische Rechnen gegeben werden. |  |  |  | reelle Exponenten komplexe Potenzen (in Vorbereitung) |
|  | Potenzen mit ganzzahligen Exponenten |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Macht es einen Sinn, eine reelle Zahl a "-1 mal mit sich selbst zu multiplizieren"? Auf den ersten Blick mag das abwegig erscheinen. Aber andererseits könnte man auch die Idee der negativen Zahlen mit dem Argument ablehnen, "Zahlen" kämen vom "Zählen", und es gäbe keine negative Anzahl von Dingen - ein Argument, das mit dem schlichten Hinweis auf die "roten Zahlen" in einer Bilanz oder die "negativen Temperaturen" im Winter quittiert würde. Versuchen wir also, gegenüber der Einführung neuer mathematischer Strukturen nicht voreingenommen zu sein und betrachten die Regel (2): Wenn wir versuchsweise m = 1 und n = -1 setzen, erhalten wir die Aussage a0 = a1 a-1. Was aber könnte a0 sein? Um das zu klären, setzen wir in Regel (2) m = 1 und n = 0 ein und erhalten a1 = a1 a0. Wir wissen aber, dass a1 = a ist. Wenn also a0, mit a multipliziert, wieder a ergibt, so muss
a0 = 1 | (3)
sein! Wir können uns vorstellen, dass hier a "Null mal mit sich selbst multipliziert wird". Wenn also a0 irgendeinen Sinn macht, dann diesen! Lediglich über den Fall a = 0 ließe sich noch streiten. Wird (3) auch in diesem Fall ernst genommen, so gilt 00 = 1, so seltsam Ihnen das vielleicht erscheinen mag. Nun nehmen wir uns die Aussage a0 = a1 a-1 noch einmal vor. Mit (3) heißt sie a1 a-1 = 1. Folglich muss, sofern negative Potenzen irgendeinen Sinn machen, a-1 der Kehrwert von a sein:
a-1 = | 1 a | .
| (4)
An dieser Stelle müssen wir bedenken, dass das nur möglich ist, wenn a ¹ 0 ist. Wir sehen nun, dass wir der Aussage "a wird -1 mal mit sich selbst multipliziert" einen Sinn geben können: Null mal zu multiplizieren entspricht, wegen (3), der Zahl 1, und eine "negative" Anzahl von Faktoren entspricht offensichtlich dem Dividieren (ähnlich wie "a wird Null mal zu sich selbst addiert" als 0 und als "a wird -1 mal zu sich selbst addiert" als -a gedeutet werden kann). Schließlich schöpfen wir die Regel (2) noch ein weiteres Mal aus: Wir setzen n = -m, wobei m für eine beliebige natürliche Zahl stehen soll (n also negativ ist). Es ergibt sich a0 = am a-m, und mit (3) folgt unmittelbar, dass a-m der Kehrwert von am ist:
a-m = | 1 am |  | ,
| (5)
|  | was ebenfalls nur für a ¹ 0 möglich ist. Das ist das Hauptresultat dieses Abschnitts. Das zuvor erzielte Resultat (4) ist ein Spezialfall davon (für m = 1). Wenn wir nun - um ganz sicher zu gehen - die Regel (2) noch einmal überprüfen (siehe den nebenstehenden Button), finden wir, dass sie auch dann erfüllt ist, wenn für die Exponenten m und n beliebige ganze Zahlen zugelassen werden. Unser erster Versuch, den Bereich der zulässigen Exponenten zu vergrößern, war erfolgreich und hat sich als konsistent erwiesen. Wir führen daher offiziell eine mathematische Neuerung ein und erheben (3) und (5) zu Definitionen:
Gemäß (3) und (5) dürfen Potenzen mit beliebigen ganzzahligen Exponenten gebildet werden. Für eine Potenz mit negativem Exponenten muss die Basis ¹ 0 sein. (3) wird auch für den Fall ernst genommen, dass die Basis Null ist: 00 = 1. Die Rechenregel (2) ist nach wie vor gültig: In ihr stehen m und n nun für beliebige ganze Zahlen.
Unser obiger Potenz-Rechner kennt diese Definitionen auch. Probieren Sie es selbst aus: Berechnen Sie mit seiner Hilfe 2-3 (aber überlegen Sie zuvor, was herauskommen sollte)! |  |  |  | von Regel (2) |
|  | Potenzen mit rationalen Exponenten |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Nach diesem Erfolg gehen wir kühn einen Schritt weiter und fragen: macht es Sinn, auch rationale Zahlen als Potenzen zuzulassen? Wir erinnern uns: Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann (eine Bruchzahl). Macht es etwa einen Sinn, eine reelle Zahl a "1/2 mal mit sich selbst zu multiplizieren"? Wir wenden unsere bewährte Methode an, die Rechenregel (2) auszubeuten. Diesmal ist die für unsere Zwecke günstigste Wahl m = 1/2 und n = 1/2. Wir setzen dies in (2) ein und erhalten die Aussage a1 = a1/2 × a1/2 º (a1/2)2. (Wir verwenden das Symbol º, um verschiedene Schreibweisen für ein und denselben Term anzuzeigen). Da a1 = a ist, müßte, falls dieses Konzept irgendeinen Sinn macht, a1/2 die Quadratwurzel aus a sein:
a1/2 = |  | __ Ö a | .
| (6)
Das ist natürlich nur dann möglich, wenn a ³ 0 ist. Dieses Resultat kommt nun vielleicht nicht mehr ganz so unerwartet: Wenn a "1/2 mal zu sich selbst multipliziert wird" und dann noch ein "halbes" Mal dazu multipliziert wird, so ist es schon in Ordnung, dass sich insgesamt wieder a ergibt. (Um jetzt ganz genau zu sein: Wir könnten an dieser Stelle a1/2 auch als -Ö a deuten, dessen Quadrat ebenfalls a ist. Das würde aber die nächsten Schritte erheblich verkomplizieren, weshalb wir diese Möglichkeit nicht weiter betrachten. Die Entscheidung für die positive Wurzel kann auch so begründet werden: Wir wollen, dass die Eigenschaft "die Potenz einer positiven Zahl ist positiv" auch dann gilt, wenn rationale Zahlen als Exponenten zugelassen sind). Als nächstes wird versucht, a1/3 einen Sinn zu geben. Dazu bemerken wir zunächst, dass aus (2) eine allgemeinere Regel folgt: Nach Multiplikation beider Seiten von (2) mit ak, wobei k eine natürliche Zahl ist, und einer weiteren Anwendung von (2) wird
am + n + k = am a n ak . | (7)
Wenn wir nun m = n = k = 1/3 einsetzen, so erhalten wir die Aussage a1 = a1/3 × a1/3 × a1/3 º (a1/3)3, woraus folgt, dass a1/3 die dritte Wurzel aus a sein müsste, d.h. jene (positive) reelle Zahl, deren dritte Potenz a ist. Indem (7) in analoger Weise zu
am + n + ... + k = am a n ... ak | (8)
mit einer beliebigen Anzahl von Exponenten verallgemeinert wird, können wir unsere Argumentation auf beliebige Kehrwerte natürlicher Zahlen ausdehnen: Für jede natürliche Zahl q betrachten wir die Variante von (8) mit q Exponenten und setzen alle Exponenten gleich 1/q. Wir erhalten die Aussage a1 = a1/q × a1/q × ... × a1/q º (a1/q) q, woraus wir schließen, dass a1/q die q-te Wurzel von a sein müsste, d.h. jene (positive) reelle Zahl, deren q-te Potenz a ist:
a1/q = |  | __ qÖ a | .
| (9)
Das ist ebenfalls nur dann möglich, wenn a ³ 0 ist. |  |  |  | rationale Zahlen das Symbol º |
|  | Nun gehen wir noch den letzten Schritt, um beliebige rationale Zahlen als Exponenten zuzulassen. Wir behandelt zunächst den Fall positiver rationaler Zahlen (d.h. Zahlen, die sich als Quotienten p/q zweier natürlicher Zahlen schreiben lassen), betrachten die Variante von (8) mit p Exponenten und setzen alle diese Exponenten gleich 1/q. Es resultiert die Aussage a p/q = (a1/q) p, wobei p und q für beliebige natürliche Zahlen stehen und a1/q durch (9) definiert ist. a p/q ist daher die p-te Potenz der q-ten Wurzel aus a. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass das dasselbe wie die q-te Wurzel aus der p-ten Potenz von a ist, so dass wir zum Schluss
a p/q = (a1/q) p = (a p)1/q | (10)
gelangen. Wenn wir zuletzt verlangen, dass die Beziehung (5) auch für rationale m gelten soll, so ergibt sich der verbleibende Fall, dass der Exponent eine negative rationale Zahl ist:
a-p/q = | 1 a p/q |  | ,
| (11)
|  |  |  | , dass (a1/q) p = (a p)1/q |
|  | wobei der Nenner durch (10) gegeben ist. Damit haben wir unser Ziel erreicht. Ein abschließender Check (siehe den nebenstehenden Button) zeigt, dass die Rechenregeln (2) und (5) auch für rationale Exponenten erfüllt sind. Wir führen also unsere zweite Neuerung ein und erheben (9)-(11) zu Definitionen:
Gemäß (9)-(11) dürfen Potenzen mit beliebigen rationalen Exponenten gebildet werden. Für nicht-ganzzahlige positive Exponenten muss die Basis ³ 0 sein, für nicht-ganzzahlige negative Exponenten muss die Basis > 0 sein. Die Rechenregel (2) ist nach wie vor gültig: In ihr stehen m und n nun für beliebige rationale Zahlen, und ebenso gilt (5) für beliebige rationale m.
Unser obiger Potenz-Rechner kennt diese Definitionen auch. Probieren Sie es selbst aus: Berechnen Sie mit seiner Hilfe 93/2 (aber überlegen Sie zuvor, was herauskommen sollte)! Der Exponent kann als 3/2 oder als 1.5 eingegeben werden. Es ist nicht schwer, einige weitere Regeln abzuleiten, die für das konkrete Rechnen praktisch sind. Wir erwähnen (ohne Beweis)
a(m - n) = | am an |
| (12)
(am)n = am n | (13)
sowie vier Identitäten, die Potenzen mit verschiedenen Basen zueinander in Beziehung setzen:
| æ ç è |  | 1 a |  | ö ÷ ø | m | = | 1 a m |
| (14) (a b) m = am bm | (15)
| æ ç è |  | a b |  | ö ÷ ø | m | = | a m b m |
| (16)
| æ ç è |  | a b |  | ö ÷ ø | -m | = | æ ç è |  | b a |  | ö ÷ ø | m | .
| (17)
In (12)-(17) stehen m und n für beliebige rationale Zahlen. Beispielsweise besagt (14) für m = 1/2, dass die Quadratwurzel aus 1/a gleich dem Kehrwert der Quadratwurzel aus a ist. |  |  |  | von (2) und (5) |
|  | Der logisch nächste Schritt, den Bereich der zulässigen Exponenten einer Potenz auf alle reellen Zahlen auszudehnen, ist einem späteren Kapitel vorbehalten. |  |  |  | reelle Exponenten |
|  | Rechnen mit Potenzen |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | Da Potenzen in zahlreichen Zusammenhängen auftreten, ist es nützlich, mit ihnen sicher umgehen zu können. Vereinfachte Schreibweise Unser neuer Potenzbegriff hat zunächst eine praktische Konsequenz: Er wird häufig dazu benutzt, beim Anschreiben von Termen Wurzelzeichen und Bruchstriche zu vermeiden. So lässt sich beispielsweise der Bruchterm
| 1
|  | _____ Ö1 - x2 |
| (18)
innerhalb des Textflusses bequemer als (1 - x2)-1/2 darstellen. Anstelle der nicht sehr schönen Form Ö2 für die Wurzel aus 2 kann 21/2, anstelle ihres Kehrwerts 1/Ö2 kann 2-1/2 geschrieben werden. Brüche und Wurzelzeichen sind auf Webseiten nur umständlich darzustellen, weshalb auch in mathe online öfters die Potenzschreibweise vorgezogen wird. Anfangs muss man sich vielleicht ein bisschen an sie gewöhnen, aber nach einiger Zeit kann sie durchaus als verständlicher und klarer als eine Schreibweise mit Wurzelzeichen und Bruchstrichen empfunden werden. Sie besitzt aber auch mathematische Vorteile, auf die wir jetzt zu sprechen kommen. Umformen von Termen Die Erkenntnisse, die wir in diesem Kapitel gewonnen haben, deuten darauf hin, dass Dinge, die scheinbar so verschieden sind wie das Quadrieren, das Bilden des Kehrwerts und das Wurzelziehen auf einer fundamentaleren Ebene etwas gemeinsam haben. Die bloße Verwendung der Potenzschreibweise erlaubt es, diese Operationen unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zu betrachen: als das Bilden von Potenzen. Sehen wir uns ein Beispiel an: Können Sie den Term
|  | __ Ö x | (1 + y)2
x |  | _____ Ö1 + y |
| (19)
vereinfachen? Hier zeigt sich der Vorteil der vereinheitlichenden Sichtweise: Wird der Term in der Form
| x1/2 (1 + y)2 x (1 + y)1/2 |
| (20)
angeschrieben, so braucht lediglich zwei mal die Rechenregel (12) - von rechts nach links gelesen - angewandt werden, um ihn zu
x-1/2 (1 + y)3/2 | (21)
zu vereinfachen. Er kann nun wieder als Bruchterm umgeschrieben werden, und auch eine Schreibweise, die die Potenz 3/2 wieder eliminiert, ist möglich (ganz allgemein gilt u3/2 = u Ö u ), doch das ist gar nicht nötig (und auch nicht sinnvoll, da es nicht zu mehr Klarheit führt). Da es im Zuge vieler mathematischer Anwendungen notwendig ist, Terme umzuformen und zu vereinfachen, macht es sich bezahlt, wenn Techniken dieser Art gut beherrscht werden. Sie sind keine Hexerei, sondern beruhen auf den elementaren Rechengesetzen der Addition und Multiplikation und auf dem in den beiden vorhergehenden Abschnitten entwickelten verallgemeinerten Potenzbegriff. Für viele Fälle reichen die beiden folgenden Prinzipien aus:
Werden Potenzen der gleichen Basis multipliziert (dividiert), so werden die Hochzahlen addiert (subtrahiert). Das ist die Aussage der Identitäten (2) und (12). Die Potenz eines Produkts (eines Quotienten) ist das Produkt (der Quotient) der Potenzen. Das ist die Aussage der Identitäten (15) und (16).
Mit ihrer Hilfe kann das Vereinfachen von Termen mit Potenzen in gewissem Umfang "automatisiert" werden, ähnlich wie das Multiplizieren von Zahlen. Nach einiger Übung sollten Sie in der Lage sein, einem gegebenen Term schnell anzusehen, welche Umformungen möglich (und sinnvoll) sind und wie sie durchgeführt werden. Zahlreiche Übungsmöglichkeiten finden sie in der Aufgabensammlung Rechnen mit Potenzen, die die Universität Bayreuth im Rahmen des Projekts SMART zur Verfügung stellt. Insbesondere die Abschnitte "Termumformungen" ® "Exponenten ganzzahlig" und "Termumformungen" ® "Exponenten rational oder reell" entsprechen dem hier gebrachten Stoff. Die umzuformenden Terme sind zum Teil recht kompliziert, aber in allen Fällen sind die Lösungen angegeben. Unter den anderen Abschnitten finden Sie Übungsmöglichkeiten, die im weiteren Sinn zum Thema gehören. Nenner rational machen Obwohl (21) eine übersichtliche Form ist, einen Term anzuschreiben, ist es nicht immer sinnvoll, Produkte und Quotienten von Potenzen gleicher Basis auf eine einzige Potenz zu reduzieren. Das gilt insbesondere dann, wenn mit solchen Termen weitergerechnet werden soll. Stellen wir uns vor, aus irgendeinem Grund sei es nötig, die Rechnung
Ö2 - | 1 Ö2 |
| (22)
auszuführen. Läßt sich diese Summe überhaupt vereinfachen? Wenn Sie den Bruch mit Ö2 erweitern und im Nenner die Tatsache benutzen, dass das Quadrat von Ö2 gleich 2 ist, wird (22) zu
Ö2 - | 1 2 | Ö2 ,
| (23)
was sogleich das Resultat
| 1 2 | Ö2
| (24)
ergibt. Der Trick bestand darin, die Wurzel im Bruch durch geeignetes Erweitern vom Nenner in den Zähler zu bringen. Man nennt dieses Verfahren "den Nenner rational machen" (hier sollte es eigentlich heißen: "den Nenner ganzzahlig machen"). Mit seiner Hilfe erkennen wir, dass Ö2 gerade das Doppelte des Kehrwerts 1/Ö2 ist. Hätten wir das nicht bemerkt, so wären wir mit unserer Rechnung auf halbem Weg steckengeblieben und hätten nicht einmal gewusst, wie einfach das Endresultat (24) ist. In der Potenzschreibweise lautet (22): 21/2 - 2-1/2. Den Nenner rational machen heißt hier, die Rechenregel (2) anzuwenden und 2-1/2 als 2-1 × 21/2 zu schreiben, womit sich durch Herausheben 21/2 - 2-1 × 21/2 = (1 - 1/2) 21/2 = (1/2) × 21/2 = 2-1 + 1/2 = 2-1/2 ergibt, was dasselbe wie (24) ist. Obwohl diese Methode hier nicht die bequemste ist, stellt sie ein schöne Bestätigung der obigen Rechnung dar. Oft ist es sinnvoll, Brüche, die Quadratwurzeln im Nenner enthalten, auf diese Weise zu behandeln. Der Schlüssel dafür ist die Identität
| 1 Ö a | = | 1 a | Ö a ,
| (25)
die für jedes a > 0 gilt. Sie entsteht einfach durch Erweiterung des Bruchs mit Ö a. Dabei kann a auch für einen Term stehen, solange seine Werte nicht 0 oder negativ sind. Versuchen Sie, sich diese Identität und das Argument, das ihr zu Grunde liegt, zu merken! Potenzen und die Ordnung der reellen Zahlen |  |  |  |  |
|  | Intuitiv sind wir gewöhnt, dass das Potenzieren Zahlen, die größer als 1 sind, vergrößert. Beispiel: 22 º 4 > 2. Wenn rationale Exponenten zugelassen werden, ist das aber nicht immer der Fall. So ist beispielsweise 41/2 gleich 2, also kleiner als 4. Auch das Verhalten negativer Exponenten kann dem Gefühl für die Ordnung der Zahlen zuwider laufen: So ist (1/4)-1/2 = 2, also größer als 1/4. Hält man sich diese Gefahren vor Augen, so ergeben sich die Größenverhältnisse von Potenzen aus einfachen Regeln. Im Folgenden stehen m und m' für rationale Zahlen: Ist die Basis a > 1, so gilt: Aus m < m' folgt am < am'. Ist die Basis a < 1, so gilt: Aus m < m' folgt am > am'. Indem m oder m' als 0 oder 1 gewählt werden, folgen die meisten in der Praxis benötigten Eigenschaften: Beispiel 1: Ist a > 1 und m < 1, so ist am < a. (Beweis: In die erste Regel m' = 1 einsetzen). Beispiel 2: Ist a > 1 und m > 0, so ist am > 1. (Beweis: In die erste Regel m = 0 einsetzen und dann m' in m umbenennen). Wir können also sicher sein, dass 1.010.7 größer als 1 ist, ohne diese Zahl berechnen zu müssen. Hilfreich ist es auch, bei derartigen Fragen die Rechenregeln für Potenzen einzusetzen: Beispiel 3: Ist 0.20.7 größer oder kleiner als 1? Da 0.2 = 1/5 ist, kann diese Potenz als (1/5)0.7 = 1/(50.7) geschrieben werden. Da (aufgrund der in Beispiel 2 gefundenen Regel) 50.7 > 1 ist, ist dessen Kehrwert kleiner als 1. Beispiel 4: Ist 0.2-0.7 größer oder kleiner als 1? Wegen 0.2-0.7 = 1/(0.20.7) ist das genau der Kehrwert der in Beispiel 3 betrachteten Potenz, und daher ist ohne weitere Überlegung klar, dass die Antwort "größer als 1" lautet. Werden Potenzen mit gleichen Exponenten, aber mit verschiedenen Basen verglichen, so kann man sich an die folgenden Regeln (die sich übrigens auch aus den obigen ableiten lassen) halten: Für 0 < a < b gilt: Ist m > 0, so folgt am < bm; ist m < 0, so folgt am > bm. Der Computer hilft Alle wissenschaftlichen Taschenrechner und viele Rechenprogramme am Computer können Potenzen berechnen, als deren Exponenten beliebige Dezimalzahlen eingegeben werden können. Am Taschenrechner stehen für das Quadrieren und das Bilden der dritten Potenz oft eigene Tasten zur Verfügung. Die für die Berechnung einer allgemeinen Potenz x y zuständigen Tastenbezeichnungen und -kombinationen sind nicht einheitlich geregelt. Falls Sie ein Rechenprogramm am Computer verwenden, sollten Sie sich vorher über die Anweisungen zur Berechnung von Potenzen informieren - sie hängen manchmal von der dem Werkzeug zu Grunde liegenden Programmiersprache ab. Der mathe online Mini-Rechner und JavaCalc wurden eigens so programmiert, dass sie die bequeme Schreibweise mit dem Symbol ^ akzeptieren: Um 20.4 zu berechnen, geben Sie 2^0.4 ein. Für die Quadratwurzel steht die JavaScript-Funktion sqrt zur Verfügung. Beispiel: sqrt(2) für die Wurzel aus 2. Allgemeine Potenzen können auch mit Hilfe der JavaScript-Funktion pow berechnet werden. Beispiel: pow(2,0.4) für 20.4. Auch manche andere elektronische Werkzeuge (wie beispielsweise der mathe online Funktions-Plotter) gestatten das Symbol ^ als gültige Benutzer-Eingabe zur Berechnung einer Potenz. Aber Achtung: In Computerwerkzeugen, die nicht eigens für diese Zwecke gestaltet wurden, kann dieses Symbol auch andere Bedeutungen haben (z.B. das "bitweise XOR" in JavaScript). Das Symbol ^ wird auch oft im Textfluss von elektronischen Dokumenten als Schreibweise für Potenzen verwendet (sozusagen als Abkürzung für das Wort "hoch": x^y steht für "x hoch y"), insbesondere dann, wenn keine Möglichkeit besteht, Symbole hochzustellen. |  |  |  | Ordnung der reellen Zahlen |
|  | Zusammenfassung und Ausblicke |  |  |  | Zum Seitenanfang |
|  | In diesem letzten Abschnitt fassen wir die Definitionen, die die Bedeutung von Potenzen mit rationalen Exponenten festlegen, zusammen und geben ein paar Ausblicke auf die Themen späterer Kapitel. Zusammenfassung Im zweiten und dritten Abschnitt dieses Kapitels wurden Potenzen ax für den Fall definiert, dass der Exponent x eine beliebige rationale Zahl ist (d.h. eine reelle Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann). Zusammengefasst lauten unsere Definitionen:
Der Exponent ist eine natürliche Zahl: Für jede natürliche Zahl m (m =1, 2, 3,...) ist am das m-fache Produkt von a mit sich selbst (kurz: die m-te Potenz von a): a × a × ... × a. Der Exponent ist Null: In diesem Fall wird a0 = 1 definiert. Siehe (3) oben. Der Exponent eine negative ganze Zahl: Für jede natürliche Zahl m ist a-m = 1/am. Siehe (5) oben. Der Exponent ist Kehrwert einer natürlichen Zahl: Für jede natürliche Zahl q ist a1/q die q-te Wurzel aus a, d.h. jene positive Zahl, deren q-te Potenz a ist. Siehe (9) oben. Der Exponent ist eine positive rationale Zahl: Für zwei natürliche Zahlen p und q ist a p/q = (a p)1/q, d.h. die q-te Wurzel aus a p. Das ist dasselbe wie (a1/q) p, d.h. die p-te Potenz von a1/q, wobei a1/q gemäß Punkt 4 definiert ist. Siehe (10) oben. Der Exponent ist eine negative rationale Zahl: Für jede positive rationale Zahl x ist a-x = 1/ax, wobei ax gemäß Punkt 5 definiert ist. Das ist die Aussage von (11), wenn x = p/q gesetzt wird.
|  |  |  | zu Punkt 3 |
|  | Dabei steht a für eine reelle Zahl (die Basis): In allen Fällen, in denen eine Wurzel gezogen wird, muss a ³ 0 sein. Tritt ein Kehrwert auf, muss a ¹ 0 sein. Damit ist die Potenz ax für jedes rationale x definiert. Die Definitionen wurden so gewählt, dass die Rechenregel (2), die für natürliche Exponenten eine ziemlich triviale Aussage ist, weiterhin gilt. Sie bildet gewissermaßen die Kernstruktur dieses Kapitels. Wir hätten es unter das Motto "Wohin man kommt, wenn Regel (2) auch für rationale Exponenten ernst genommen wird" stellen können. Als Folge der obigen Definitionen gelten die Identitäten (12)-(17). Ausblicke Wir haben Potenzen bereits früher kennengelernt, haben diesen Begriff hier exakt gefasst und stark verallgemeinert und werden ihn und die mit ihm verbundenen Strukturen in späteren Kapiteln noch weiterentwickeln und genauer analysieren: Wird der Exponent festgehalten und die Abhängigkeit einer Potenz von der Basis, d.h. die Zuordnungsvorschrift x ® xm für fixes m betrachtet, so sprechen wir von einer Potenzfunktion. Eigenschaften und Graphen solcher Funktionen für ganzzahlige Exponenten m haben wir bereits im ersten Funktionenkapitel studiert. Die Definition der Potenz kann für beliebige reelle Exponenten ausgedehnt werden. Das wird in einem späteren Kapitel nachgeholt werden. Dort wird auch ein weiteres wichtiges Konzept eingeführt: Wird die Basis festgehalten und die Abhängigkeit einer Potenz vom Exponenten, d.h. die Zuordnungsvorschrift x ® ax für fixes a > 0 betrachtet, so sprechen wir von einer Exponentialfunktion. Solche Funktionen werden zur Beschreibung von Wachstums- und Zerfallsprozessen verwendet und geben den Anlass zur Definition des Logarithmus. Graphen und weitere Eigenschaften von Potenzfunktionen werden im zweiten Funktionenkapitel besprochen. Schließlich können Potenzen mit komplexen Zahlen als Basis und Exponent definiert werden. Der Motor für all diese Entwicklungen wird - wie es auch schon in diesem Kapitel der Fall war - die simple Rechenregel (2) sein. |  |  |  | Graphen einfacher Potenzfunktionen Exponentialfunktion und Logarithmus Funktionen 2 Komplexe Zahlen (in Vorbereitung) |

| Die in diesem Kapitel empfohlenen Web-Ressourcen: |  | Weitere Angebote von mathe online zum Thema:
Rechnen mit Potenzen ist eine umfangreiche Zusammenstellung von Übungsaufgaben, zur Verfügung gestellt von der Universität Bayreuth im Rahmen des Projekts SMART. Siehe insbesondere die Abschnitte "Termumformungen" ® "Exponenten ganzzahlig" und "Termumformungen" ® "Exponenten rational oder reell". | mathe online Mini-Rechner JavaCalc Siehe auch die Kategorie Mathematische Einzelthemen > Variable, Terme, Formeln und Identitäten unserer Ressourcensammlung Mathe-Links und Online-Werkzeuge und die interaktiven Tests zum Thema.

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