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Beweis von (21) - partielle Integration:

ò | f(x) g(x) d x = F(x) g(x) - | ò | F(x) g'(x) d x
| (21)

Dabei ist F eine Stammfunktion von f.
Beweis:
Die Formel für die partielle Integration stammt direkt von der Produktregel ab, die wir im Kapitel Differenzieren 1 kennen gelernt haben. Für die beiden Funktionen F und g lautet sie:

( F(x) g(x)) ' = F '(x) g(x) + F(x) g'(x).

Die Stammfunktion (das unbestimmte Integral) der linken Seite ist, bis auf eine Integrationskonstante, das Produkt F(x) g(x). Die Stammfunktion (das unbestimmte Integral) der rechten Seite ist, bis auf eine Integrationskonstante,

ò | f(x) g(x) d x + | ò | F(x) g'(x) d x,

wobei wir F '(x) durch f(x) ersetzt haben. Daraus ergibt sich, wieder bis auf eine Integrationskonstante, (21), was somit bewiesen ist.