Zweiter Bildungsweg
mathe online

Übungsvorschläge
Gleichungen
Markus Röthl (aufbauend auf dem Übungsvorschlag von Jutta Gut)

- Gleichungen (Funktionen) Verschaffen Sie sich einen Überblick über das Kapitel Gleichungen in den Mathematischen Hintergründen! Lesen Sie in den Mathematischen Hintergründen z.B. die Abschnitte - Was ist eine Gleichung? (Beachten Sie den Exkurs!) - Äquivalenzumformungen - Lineare Gleichungen Bearbeiten Sie aus der Galerie das Applet "Äquivalenzumformungen". Stellen Sie mit dem Funktionsplotters (online-Werkzeuge à Mathe online Funktions-Plotter) die Funktion f(x) = (x-2)(x+3)=x2 + x - 6 dar. Lesen Sie mit dem Cursor für einige x-Werte die zugehörigen Funktionswerte ab und notieren Sie sie. Machen Sie sich selbst eine Skizze des Funktionsgraphen (achten Sie auf charakteristische Punkte)! Lösen Sie anschliessend auf dem Papier die Gleichung (x-2)(x+3)=0 und notieren Sie sich die Lösung und machen sie die Probe! Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Graphen der Funktion f(x) = x2 + x - 6 und der Gleichung (x-2)(x+3)=0 ? Wie lässt sich der Funktionsplotter also zum Lösen von Gleichungen anwenden? Kurze Beschreibung in eigenen Worten. Bestimmen Sie einige Male hintereinander die Lösung der obigen Gleichung durch Ablesen der Cursorwerte. Schreiben Sie diese Werte (mit Kommastellen) ab! Ist die so bestimmte Lösung exakt? Machen Sie die Probe! Lesen Sie in den Mathematischen Hintergründen , im Kapitel "Funktionen 1" die Abschnitte "Nullstellen" und "Zusammenhang zwischen Funktionen und Gleichungen"! Fragen Sie bei Unklarheiten! Erweiterung für Interessierte: Lösen Sie folgende Gleichungen näherungsweise mit dem Funtkionsplotter und exakt mit dem Online-Werkzeuge à MathServ Calculus Toolkit à Algebra à Solving a polynomial equation) (2x+1)(3x-2) = (x-5)(6x+2) + 11x (4x-1)(x+2) = (2x+1)(2x-2) – 3x (3x-1)² + (4x+2)² = (5x+1)(5x-1) (5x-2)² - (3x+1)² = (4x+6)(4x-6) (Beachten Sie, dass Sie "hoch" als ^ eingeben müssen.) Lineare Gleichungen Wie ist der Zusammenhang zwischen der linearen Gleichung 2x+1=0 und der Funktion f(x)=2x+1 ( à Mathe online Funktions-Plotter)? Bestimmen Sie mit dem Funktionsplotter die Graphen und die Nullstellen der folgenden Funktionen (Skizze mit allen drei Graphen): f(x)=2x+1 f(x)=3 f(x)=2x Wie lauten die zugehörigen Gleichungen zur Bestimmung der Nullstellen und die Lösungsmengen? Lineare Gleichungssysteme Näherungsweise Lösung mit Hilfe des Computers (Funktions-Plotter): Versuchen Sie folgende Gleichungssysteme mit Hilfe des Funktionsplotters (online-Werkzeuge à Mathe online Funktions-Plotter) näherungsweise graphisch zu lösen! Dafür müssen Sie y durch x ausdrücken, z.B.: y = (12-4*x)/3. Diesen Term schreiben Sie in die Zeile "f(x) =". Versuchen Sie ausgehend von der näherungsweisen graphischen Lösung, die exakte Lösung zu "erraten". Überprüfen Sie durch explizites Einsetzen, ob Ihre Vermutung stimmt.
  I: y = x + 3 II: y = 4x I: y = x - 3 II: y = 2x - 8 I: y = x + 2 II: y = x/4 - 1 | I: 2x + y = 6 II: 4x + 3y = 12 I: x + y = 1 II: 3x + 4y = 6 I: 5x + 2y = 4 II: 3x - y = -2
- Sie können dasselbe auch mit MathServ machen (etwas umständlicher, aber dafür können Sie das Ergebnis ausdrucken!): (Online-Werkzeuge à MathServ Calculus Toolkit à Graphing à Plot Several Funktions) Vergessen Sie nicht, im Optionsfeld "Use same Scale for axes" "Yes" anzuklicken! Exakte Lösung mit Hilfe des Computers: Ein Programm wie der Funktionsplotter, kann "nur" eine Funktionskurve am Bildschirm ausgeben. Es kennt sonst keine Rechenregln. Es wäre also nicht in der Lage, wie wir unter Zuhilfenahme des Gauß'schen Eliminationsverfahrens, ein Gleichungssystem Schritt für Schritt unter Beachtung der Rechenregeln zu lösen. Es gibt aber solche Computerprogramme (Computeralbgebrasysteme), denen diese Rechenregeln einprogrammiert sind. Solange keine von einem Standardweg abweichenden Ideen und Tricks notwendig sind, um z.B. eine Gleichung zu lösen, rechnen sie "im Prinzip" wie wir Menschen. Für das Lösen von linearen Gleichungssystemen finden Sie ein solches Programm unter (Online-Werkzeuge à MathServ DE Toolkit à Solve a system): Lösen Sie die folgenden Beispiele und machen Sie die Probe! Machen Sie sich erst klar, in welcher Form, das Programm die Eingabe erwartet.
  I: x - y + z = -1 II: x + 2y - z = 8 III: 3x - y + 2z = 3 I: 2x + y + z = 1 II: 4x - y + z = -5 III: -x + y + 2z = 5 | I: 3x - y - z = 8 II: x + y = 1 III: 2y - z = -1 I: x + 2y + z = 3 II: -2x + y - 2z = -1 III: y + z = 4
- Alternativ dazu können Sie die Ergebnisse auch mit Java Script Linear Algebra kontrollieren. Dazu müssen Sie das Gleichungssystem in Matrixschreibweise darstellen (siehe Kursunterlagen). Machen Sie sich klar, was die Variablen des Gleichungssysstems sind und was die Koeffizienten. Schreiben Sie die Koeffizientenmatrix auf. Diese benötigt das Programm als Eingabe. Quadratische Gleichungen Verschaffen Sie sich einen Überblick über die Hintergrundinformation zu Quadratischen Gleichungen auf der mathe online Homepage. Suchen Sie z.B. in den Mathematischen Hintergründen im Kapitel "Gleichungen" die Abschnitte: Quadratische Gleichungen, Kleine Lösungsformel, Der Vieta'sche Satz, Große Lösungsformel! Sehen Sie sich aus der Galerie das Puzzle "Quadratische Gleichungen 1" an! Hier können Sie spielerisch die Herleiung der kleinen Lösungsformel wiederholen. Lösen Sie die folgenden Gleichungen mit MathServ (Online-Werkzeuge à MathServ Calculus Toolkit à Algebra à Solving a polynomial equation)! Überprüfen Sie das Ergebnis durch eigenes Nachrechnen (Papier +Taschenrechner, Die Lösungen sind nicht immer "schöne" Zahlen)!
  x² - 20x + 91 = 0 x² + 5x - 150 = 0 x² - 12x + 24 = 0 | 10x² - 9x - 7 = 0 16x² - 40x + 25 = 0 3x² + 15x - 5 = 0
Bearbeiten Sie anschließend aus der Galerie "Quadratische Gleichungen 2". Überlegen Sie sich, wie Sie die gerade exakt gelösten Gleichungen, näherungsweise mit dem Funktionsplotter lösen können. Beschreiben Sie Ihre Überlegungen in kurzen Worten (eine Skizze könnte hilfreich sein). Führen Sie Ihre Überlegungen für einige der vorigen Beispiele aus. Notieren Sie sich einige dieser näherungsweisen Lösungen. Bearbeiten Sie abschliessend aus der Galerie das Applet "Quadratische Gleichungen 2". Hier haben Sie die verschiedenen Lösungsideen gegenübergestellt. Versuchen Sie die Ideen in eigenen Worten kurz darzustellen! Viel Spass!

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