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Beweis von (24) - Variablensubstitution im unbestimmten Integral:

ò | f(x) d x = | ò | f(x(u)) x'(u) d u ,
| (24)

wobei auf der rechten Seite nach der Berechnung u durch u(x) zu ersetzen ist.
Beweis:
Wir rechnen die rechte Seite von (24) genauer aus und zeigen, dass sie (bis auf eine Integrationskonstante) gleich der linken Seite ist. Dazu bezeichnen wir die (genauer: eine) Stammfunktion von f mit F. Damit ist F ' = f, und der Integrand auf der rechten Seite von (24) lässt sich als
F '(x(u)) x'(u)
schreiben. Nach der Kettenregel, die wir im Kapitel Differenzieren 1 kennen gelernt haben, ist das aber genau

d d u |  | F(x(u)) .

Somit wird die rechte Seite von (24) - bis auf eine Integrationskonstante, die wir uns schenken - zu

ò |  | d d u |  | F(x(u)) d u = F(x(u)) .

Wird u durch u(x) ersetzt (oder, was auf dasselbe hinausläuft, x(u) durch x), so entsteht genau F(x). Damit ist (24) bewiesen.