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Hyperbel- und Areafunktionen:
Die Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus, Cosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolius sind definiert als:

sinh x
=
| 1 2 | ( ex - e-x )
cosh x
=
| 1 2 | ( ex + e-x )
tanh x
=
| sinh x cosh x |
coth x
=
| cosh x sinh x |

Nicht nur ihre Namen erinnern an die Winkelfunktionen. So gilt die Identität

cosh2x - sinh2x = 1 "x Î R,

in Analogie zu cos2x + sin2x = 1.
Die Inversen der Hyperbelfunktionen sind die so genannten Areafunktionen (Arcus Sinus Hyperbolicus usw). Sie können durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden:

asinh x
=
ln ( x + (x2 + 1)1/2 )
acosh x
=
ln ( x + (x2 - 1)1/2 ) definiert für x ³ 1
atanh x
=
| 1 2 | ln | 1 + x 1 - x | definiert für |x| < 1
acoth x
=
| 1 2 | ln | x + 1 x - 1 | definiert für |x| > 1