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  Basis ist beim Bilden einer Potenz am die Bezeichnung der Zahl a, die zur Potenz erhoben wird. Der Begriff der Basis tritt auch in Zusammenhang mit dem Logarithmus auf, wenn vom "Logarithmus zu einer bestimmten Basis" gesprochen wird. Siehe auch Umrechnen von Basen für Potenzen und Logarithmen. Baumdiagramm Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellungsform eines Zufallsexperiments, in dem mehrere Teil-Zufallsexperimente nacheinander durchgeführt werden. Dabei werden die Versuchsausgänge jedes Teil-Experiments durch Linien dargestellt und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten dazugeschrieben. Diese Teildiagramme werden zu einem einzigen Diagramm aneinandergefügt, wodurch jeder Ablauf des Experiments einem Pfad entspricht. Die allgemeinen Regeln zur Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A in einem Baumdiagramm lauten: (i) Man bestimme jene Pfade, die zu A gehören, (ii) multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Pfade und (iiii) addiere die erhaltenen Zahlen. Bayes, Satz von Siehe Satz von Bayes. Bedingte Wahrscheinlichkeit Seien A und B zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments. Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A unter der Vorraussetzung, dass auch B eintritt (kurz: "unter der Voraussetzung B"). Bedingte Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe der Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Siehe auch statistische Unabhängigkeit von Ereignissen. Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das nur zwei mögliche Versuchsausgänge besitzt: ein Ereigniss A und sein Gegenereignis Ø A. Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals durchgeführt, so beschreibt die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit für ein k-maliges Eintreten von A. Beschränkt Eine Funktion f : A ® R mit beliebigem Definitionsbereich A heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl c gibt, die von keinem Funktionswert überschritten wird: f(x) £ c "xÎA. Die Zahl c heißt obere Schranke von f. (Ist A Í R, so liegt der Graph von f dann unterhalb einer zur x-Achse parallelen Geraden). Eine Funktion heißt nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl k gibt, die von keinem Funktionswert unterschritten wird: f(x) ³ k "xÎA. Die Zahl k heißt untere Schranke von f. (Ist A Í R, so liegt der Graph von f oberhalb einer zur x-Achse parallelen Geraden). Eine Funktion, die nach oben und nach unten beschränkt ist, wird ohne weitere Angabe als beschränkt bezeichnet. Bestimmtes Integral Ist f eine reelle Funktion, so verstehen wir unter dem bestimmten Integral òabf(x)d x (ausgesprochen: "Integral f(x) in den Grenzen von a bis b" oder "Integral über f(x) von a bis b") den orientierten Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f zwischen den Stellen a und b. f(x) heißt Integrand, a und b sind die (untere und obere) Integralgrenze, das Intervall [a, b] heißt Integrationsbereich (auch Integrationsintervall oder Integrationsgebiet). Die Integrationsvariable x kann auch mit einem beliebigen anderen Namen bezeichnet werden, d.h. òabf(x)d x stellt dieselbe Zahl dar wie òabf(x)d x. Der Idee des orientierten Flächeninhalts unter dem Graphen kann für viele (unter anderem für alle stetigen und stückweise stetigen) Funktionen ein Sinn gegeben werden. Die präzise Ausformulierung dieser Idee des Integrals als Grenzwert von Summen erfolgte historisch zum ersten Mal in Form des Riemann-Integrals. Funktionen, die diese Konstruktion zulassen, nennen wir (Riemann-)integrierbar. Für stetige Funktionen existiert eine besondere Berechnungsmethode: Ist f stetig, so existiert eine Stammfunktionen, d.h. eine differenzierbare Funktion F, deren Ableitung f ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt dann, dass òabf(x)d x = F(b) - F(a) gilt. Diese Differenz wird beim Rechnen auch in der Form F(x)|ab geschrieben. Beispiel: ò013x2d x = x3|01 = 13 - 03 = 1. Eine Reihe von Integrationsregeln hilft, Stammfunktionen zu finden und Vereinfachungsschritte durchzuführen. Mit ihrer Hilfe macht das Integral auch für a > b Sinn. Eine kleine Auswahl bestimmter Integrale findet sich in unserer Liste Das bestimmte Integral kann auch als eine kontinuierliche Verallgemeinerung des Mittelwerts und der Summe gedeutet werden. Es besitzt zahlreiche Anwendungen, unter anderem zur Berechnung von Volumsinhalten und der Lage von Schwerpunkten. Wandert in einem bestimmten Integral (zumindest) eine der Grenzen gegen (plus oder minus) unendlich oder wird der Integrationsbereich bis zu einer Unendlichkeitsstelle des Integranden ausgedehnt, so spricht man von einem uneigentlichen Integral. Beide Situationen sind damit verbunden, dass die "Fläche unter dem Graphen" ins Unendliche reicht. Betrag einer reellen Zahl bedeutet dasselbe wie Absolutbetrag einer reellen Zahl. Betrag eines Vektors Ein Vektor kann durch Pfeile dargestellt werden, die alle in dieselbe Richtung zeigen und dieselbe Länge haben. Letztere wird als Betrag des Vektors bezeichnet und mit demselben Symbol wie der Absoutbetrag von Zahlen bezeichnet. Für zweikomponentige Vektoren a = (a1, a2) ist |a| = (a12 + a22)1/2, für dreikomponentige Vektoren a = (a1, a2, a3) gilt |a| = (a12 + a22 + a32)1/2. Betragsfunktion wird jene Funktion genannt, die jeder Zahl ihren Absolutbetrag zuordnet, d.h. x ® |x|. Sie ist ein Beispiel für eine Funktion, deren einfachste Definition nicht als Termdarstellung, sondern mit Hilfe einer Fallunterscheidung geschieht:
  |x| = { |
  x wenn x ³ 0
  -x wenn x < 0
  Beweis durch vollständige Induktion Siehe Induktionsbeweis. Bezugssystem ist ein in der Physik gebräuchliches Wort für Koordinatensystem (wobei durchaus auch die Zeit, zu der ein Ereignis stattfindet, als Koordinate angesehen wird). Bijektiv heißt eine Funktion f : A ® B, die jedes Element der Menge B (siehe surjektiv) genau einmal (siehe injektiv) trifft. (Kurz: eine Funktion ist bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist). Eine solche Funktion heißt auch Bijektion. Eine bijektive Funktion stiftet eine Eins-zu-eins-Zuordnung (eine genaue Entsprechung) zwischen Elementen der Mengen A und B. Die beiden Mengen sind dann gleichmächtig (sie werden auch isomorph oder, schlampig, "gleich groß" genannt). Eine bijektive Funktion wird in diesem Sinn auch Isomorphismus genannt. Die Zuordnungsvorschrift kann dann "umgedreht" werden und definiert die inverse Funktion (Umkehrfunktion) f -1 : B ® A. Eine bijektive Funktion wird daher auch als invertierbar (umkehrbar) bezeichnet. Sind A und B endliche Mengen, so gibt es nur dann eine bijektive Funktion A ® B, falls sie gleich viele Elemente besitzen. Zwei Mengen lassen nicht immer eine bijektive Funktion zu. So gibt es zum Beispiel keine bijektive Funktion N ® R. Das ist eine Variante der Aussage, daß die reellen Zahlen nicht abzählbar (sondern überabzälbar) sind. Bild einer Funktion bedeutet dasselbe wie Wertebereich. Binomialkoeffizienten sind jene Vorfaktoren, die sich durch das Ausmultiplizieren der Terme (a + b)n für n = 0, 1, 2, 3, 4... ergeben. Der k-te Koeffizient in der ausmultiplizierten Version von (a + b)n (wobei die Summanden nach absteigenden Potenzen von a geordnet werden und mit k = 0 zu zählen begonnen wird) wird als
  | æ è |  |
  n
  k
  |  | ö ø |
  angeschrieben (siehe auch Binomische Formeln). Zwei direkte Formeln zur Berechnung der Binomialkoeffizienten sind
  | æ è |  |
  n
  k
  |  | ö ø | = | n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1) (n - k) k (k - 1) (k - 2) ... 2 × 1 |
  und
  | æ è |  |
  n
  k
  |  | ö ø | = | n! k! (n - k)! | .
  (Für die Bedeutung der Rufzeichen siehe Faktorielle). Eine weitere Berechnungsmethode ergibt sich über das Pascalsche Dreieck. Binomialverteilung Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wird ein Bernoulli-Experiment, für das der Versuchsausgang A mit Wahrscheinlichkeit q eintritt, n mal durchgeführt, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass A genau k mal eintritt, durch die Binomialverteilung
  pk = qk (1 - q)n - k | æ | n | ö |
  è | k | ø
  gegeben. Sie beschreibt Stichproben mit Zurücklegen. Binomische Formeln werden die Identitäten
  (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
  (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
  (a + b) (a - b) = a2 - b2
  genannt. Sie sind so wichtig, daß Sie sie auswendig kennen sollten! Die Verallgemeinerungen der ersten dieser Formeln zur Berechnung von (a + b)n (siehe Binomialkoeffizienten) werden manchmal ebenfalls als Binomische Formeln bezeichnet. Bit Siehe Information. Bogenmaß In diesem Winkelmaß wird ein Winkel durch die Länge des entsprechenden Bogens am Einheitskreis gemessen. Der volle Kreis entspricht 2p. Wird ein Winkel im Bogenmaß angegeben, so kann die Angabe "rad" (für Radiant) angefügt werden: 60° ist p/3 rad (d.h. ungefähr 1.0472 rad). Manchmal wird für die Umrechnung eines Winkels ins Bogenmaß die Bezeichnung "arc" (lateinisch: arcus = der Bogen) verwendet, z.B. arc(60°) = p/3. Das Bogenmaß ist vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet natürlicher als das Gradmaß. Das wird beispielsweise durch die Näherungsformeln für die Winkelfunktionen für kleine Winkel deutlich. Bruch Ausdruck der Form
  | a b | ,
  - auch a/b oder a/b geschrieben, wobei a (der Zähler) und b (der Nenner) Zahlen sind. Ein Bruch bezeichnet einfach eine Division, stellt daher einen Quotienten dar. Der Nenner b muß von 0 verschieden sein (siehe Division durch 0). Zum Rechnen mit Brüchen siehe Bruchrechnen. Bruchgleichung Gleichung, die Brüche beinhaltet, in deren Nenner die Variable vorkommt. Hier ist zu beachten, daß eine Division durch Null nicht wohldefiniert ist. Daher müssen alle Werte der Variablen, für die ein Nenner der Gleichung Null wird, aus der Grundmenge herausgenommen werden, um die Definitionsmenge zu erhalten. Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die ein Nenner Null wird, führt selbst auf eine Gleichung (nämlich auf die Gleichung Nenner = 0). Bruchrechnen hat, wie der Name sagt, das Rechnen mit Brüchen zum Thema. Die Rechenregeln für Brüche leiten sich aus jenen für die Addition, die Multiplikation und den davon abgeleiteten Operationen Subtraktion und Division her. Zwei wichtige Regeln: Kürzen und Erweitern von Brüchen:
    | x z y z | = | x y | .
Kommen nur ganze Zahlen vor, so ist die güstigste Zahl, durch die ein Bruch gekürzt werden kann, der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner. Addition von Brüchen (''auf gemeinsamen Nenner bringen''): Sind die gegebenen Nenner ganze Zahlen, so ist der günstigste gemeinsame Nenner deren kleinstes gemeinsames Vielfache. Für ''EinsteigerInnen'' steht ein kleiner zum Thema Bruchrechnen zur Verfügung. Bruchzahlen Ein (etwas schlampiger) Name für rationale Zahlen. Der Name meint Brüche der Form "ganze Zahl/ganze Zahl". Byte Siehe Information.

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