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Wachstum, exponentielles Siehe exponentielles Wachstum. Wachstumsrate Siehe exponentielles Wachstum. Wachstumsvergleiche Die Regel von de l'Hospital hilft, das Wachstum von Funktionen miteinander zu vergleichen. Damit lassen sich Resultate erzielen wie dieses: Für unbeschränkt wachsendes x wächst ex stärker als jede Potenzfunktion xn. Wahrscheinlichkeit Der Begriff der Wahrscheinlichkeit ist zentral für die Beschreibung von Phänomenen, die dem Zufall unterliegen. Mathematisch werden Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse von Zufallsexperimenten definiert. Eine formale Definition der Wahrscheinlichkeit ist schwierig (und umstritten): siehe Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A wird mit p(A) bezeichnet. Für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten gibt es eine Reihe von Regeln. Die wichtigsten sind die Additionsregel für disjunkte Ereignisse, die Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten. Siehe auch Verbundereignis, bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes. Hier sind die wichtigsten zusammengefasst. Wahrscheinlichkeitsverteilung, diskrete Siehe diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit Die (so genannte statistische) Definition der Wahrscheinlichkeit lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist die für eine gegen unendlich strebende Anzahl von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit seines Eintretens. Wendepunkt Besitzt die Ableitung f ' einer differenzierbaren Funktion f º f(x) selbst wieder eine Ableitung (die zweite Ableitung f ''), so wird eine lokale Extremstelle x0 von f ' als Wendestelle von f bezeichnet, der zugehörige Punkt (x0, f(x0) am Graphen von f als Wendepunkt. Sein Name rührt daher, dass sich an einem Wendepunkt die Tangente von einer Seite des Graphen auf die andere "wendet". Die Tangente im Wendepunkt heißt daher auch Wendetangente. Kandidaten für Wendepunkte einer gegebenen Funktion f sind die Lösungen der Gleichung f ''(x0) = 0. Handelt es sich bei einem solchen x0 tatächlich um einen Wendepunkt, so ist f '(x0) der Anstieg der Wendetangente. Beispiel: Die Funktion x ® x3 - x hat bei x0 = 0 eine Wendestelle. Der Anstieg der zugehörigen Wendetangente ist -1. Wendestelle Siehe Wendepunkt. Wendetangente Siehe Wendepunkt. Wertebereich auch Bild genannt. Ist f : A ® B eine Funktion, d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge B, so heißt die Menge all jener Elemente von B, die von der Funktion "getroffen werden", d.h. die als Funktionswert von zumindest einem x Î A auftreten, Wertebereich von f. Er ist daher immer eine Teilmenge von B. Ist er gleich der Menge B, so heißt f surjektiv. Für den Wertebereich wird manchmal die Schreibweise f (A) verwendet. Damit ist gemeint: { f(x) | x Î A }. Wertetabelle einer Funktion nennt man eine tabellarische Gegenüberstellung einiger Argumente (Werte der unabhängigen Variablen) und ihrer zugehörigen Funktionswerte. Wird die Variable mit x bezeichnet, so umfaßt jede Zeile einer Wertetabelle ein Paar der Form (x, f(x)). Eine Wertetabelle stellt also also einige Beispiele für die Wirkungsweise der Funktion bereit. Beispiel: Wertetabelle der Funktion . Jede Zeile einer Wertetabelle kann graphisch als Punkt - mit Koordinaten (x, f(x)) - in der Zeichenebene dargestellt werden (siehe Funktionsgraph). Windschief werden zwei Geraden im Raum genannt, die nicht zueinander parallel sind und keinen Schnittpunkt besitzen. Siehe Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Winkelfunktionen drücken Beziehungen zwischen Winkeln und Längen(verhältnissen) in einfachen geometrischen Situationen aus. Jede Winkelfunktion ist eine Funktion, da sie jedem Winkel eine (reelle) Zahl zuordnet. Die vier wichtigsten Winkelfunktionen sind: Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens. Die letzten beiden sind surjektiv, die ersten beiden nicht. Alle vier Funktionen sind periodisch und nicht bijektiv. Weniger gebräuchliche Winkelfunktionen sind: Secans, Cosecans, Semiversus und die Sehnenfunktion. Die Winkelfunktionen sind transzendente Funktionen; ihre Berechnung geht über die elementaren Rechenmethoden hinaus. Lediglich für spezielle Winkel existieren Darstellungen durch einfache Rechenoperationen wie Quadratwurzeln. Hier einige Siehe auch Zeigerdiagramme, Winkelfunktionen für kleine Winkel, Summensätze für Winkelfunktionen und inverse Winkelfunktionen. Winkelfunktionen dienen unter anderem der Modellierung von Schwingungsvorgängen. Sie können auf komplexe Argumente ("komplexe Winkel") ausgedehnt werden. Winkelfunktionen, Ableitungen Die Ableitungen der Winkelfunktionen entnehmen Sie Tabelle. Winkelfunktionen für kleine Winkel Ist der Winkel a im Bogenmaß gegeben, und ist |a| << 1, so sind der Sinus und der Tangens ungefähr gleich dem Winkel selbst: sin a » tan a » a. Ist a im Gradmaß gegeben, so gilt sin a » tan a » 2p × a/360°. Winkelfunktionen für spezielle Winkel Obwohl die Winkelfunktionen transzendent sind, deren Berechnung über die elementaren Rechenmethoden hinausgeht, existiert für spezielle Winkel eine Darstellung durch einfache Rechenoperationen wie Quadratwurzeln. Hier die Werte von Sinus, Cosinus, Tangens und Cotangens für einige , wobei alle Nenner rational gemacht wurden. Winkelhalbierende ist ein anderer Name für die Winkelsymmetrale. Winkelmaße sind Systeme zur Angabe von Winkeln durch Zahlen. In der Praxis wird meistens das Gradmaß oder das Bogenmaß verwendet, seltener das Neugrad-System. Winkelsumme im Dreieck Im ebenen Dreieck beträgt die Winkelsumme immer 180°. Im Gegensatz dazu ist die Winkelsumme im sphärischen Dreieck immer größer als 180°. Winkelsumme im sphärischen Dreieck Während die Winkelsumme im ebenen Dreieck immer 180° beträgt, ist sie im sphärischen Dreieck immer größer als 180° und kleiner als 540°. Winkelsymmetrale Die Richtung der durch zwei Vektoren a und b definierte Winkelsymmetrale (Winkelhalbierende) ist durch a/|a| + b/|b| gegeben. Siehe auch Normierung eines Vektors. Winkelsymmetralen im Dreieck Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt eines Dreiecks geht und den dort befindlichen Winkel halbiert, heißt Winkelsymmetrale oder Winkelhalbierende. In jedem Dreieck schneiden die drei Winkelsymmetralen einander in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt. Winkel zwischen zwei Vektoren Er kann mit Hilfe des Skalarprodukts berechnet werden. Wurzel Üblicherweise wird darunter die Quadratwurzel verstanden. Für jede positive reelle Zahl x gibt es genau eine eine positive reelle Zahl y, deren Quadrat x ist (d.h. y2 = x). Die Zahl y heißt (Quadrat-)Wurzel von x und wird als Ö x, oft auch als x1/2 (siehe Potenz) bezeichnet. Sie ist - per Definition - für jedes x ¹ 0 positiv. (Das sollte nicht damit verwechselt werden, daß es auch eine andere Zahl gibt, deren Quadrat x ist, nämlich -Ö x). Weiters ist Ö0 = 0. Die Wurzel aus einer negativen Zahl existiert allerdings im Rahmen der reellen Zahlen nicht, das jedes Quadrat nicht-negativ ist. Die Wurzeln aus den natürlichen Zahlen sind entweder wieder natürliche Zahlen (für 1, 4, 9, 16,...) oder irrationale Zahlen. Siehe auch Irrationalität von Ö2. Innerhalb der komplexen Zahlen können Quadrate negativ sein, wodurch Wurzeln aus negativen Zahlen möglich werden. Diese Wurzeln sind aber keine reellen Zahlen mehr. Verallgemeinerung: höhere Wurzeln. Computer berechnen die Quadratwurzel mit dem Newton-Verfahren. Wurzelfunktion ist die Funktion x ® Ö x. Da Ö x º x1/2 (siehe Potenz), ist das gerade die Potenzfunktion mit Exponent 1/2. Wurzelgleichung Gleichung, die Wurzelzeichen beinhaltet, unter denen die Variable vorkommt. Hier ist zu beachten, daß die Wurzel aus einer negativen Zahl im Rahmen der reellen Zahlen nicht existiert. Ist daher die Grundmenge die Menge der reellen Zahlen (oder eine Teilmenge davon), so müssen alle Werte der Variablen, für die Wurzeln aus negativen Zahlen gezogen werden müßten, aus der Grundmenge herausgenommen werden, um die Definitionsmenge zu erhalten. Das Ermitteln jener Variablenwerte, für die der unter einem Wurzelzeichen stehende Term größer-gleich Null ist, führt auf eine Ungleichung (nämlich auf die Ungleichung Term ³ 0).

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