Beschreibung

Die rote Linie ist der Graph einer Funktion. Die Animation illustriert den Grenzübergang Sekante ® Tangente und veranschaulicht das Zustandekommen der Formel
f ¢(x0) = | lim h ® 0 | f(x0 + h) - f(x0) h
für die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x0. Mehr zum mathematischen Hintergrund: Die Ableitung einer Funktion f stellt den Anstieg der Tangente an den Funktionsgraphen dar. Um die Vorstellung der "Tangente an eine Kurve" in die Form einer mathematisch präzisen Definition zu gießen, und um den Anstieg einer Tangente auch tatsächlich berechnen zu können, wird zunächst eine "Sekante" betrachtet: Ist x0 die Stelle, an der die Ableitung berechnet werden soll, so hat der zugehörige Punkt P auf dem Graphen die Koordinaten (x0, f(x0)). Gesucht ist also der Anstieg der Tangente an den Graphen im Punkt P. Dazu wird ein zweiter Punkt Q betrachtet, der einer anderen Stelle x0 + h entspricht und daher die Koordinaten (x0 + h, f(x0+ h)) hat. Die Gerade durch P und Q schneidet den Graphen (zumindest) in zwei Punkten - eine solche Gerade wird "Sekante" genannt. Ihr Anstieg ist der Quotient aus der Differenz der y-Werte (d.h. der Differenz der Funktionswerte): f(x0+ h) - f(x0) und der Differenz der x-Werte, d.h. h, also
f(x0 + h) - f(x0) h | .
Dabei darf h positiv oder negativ sein (im ersten Fall liegt Q "rechts" von P, im zweiten Fall "links" von P ). Kommt h der Zahl 0 immer näher, so rückt Q immer näher zu P. Die Sekante nähert sich der Tangente an, und der Anstieg der Sekante nähert sich dem gesuchten Anstieg der Tangente. Ist h = 0, so fällt Q mit P zusammen. Der Anstieg der Tangente kann zwar nicht einfach dadurch erhalten werden, dass h = 0 in diese 0 eingesetzt wird (das ergäbe den sinnlosen Ausdruck 0/0), aber er ist durch den Grenzwert des Sekantenanstiegs für h ® 0 gegeben. Das ist die formale Definition der Ableitung einer Funktion an einer gegebenen Stelle x0. Falls dieser Grenzwert existiert, heißt die Funktion an der Stelle x0 differenzierbar. Falls er nicht existiert (z.B. wenn der Graph einen Knick hat und daher gar keine Tangente besitzt), ist die Funktion an der Stelle x0 nicht differenzierbar - dann besitzt sie an dieser Stelle keine Ableitung. Die Animation illustriert den durch h ® 0 bewirkten Grenzübergang Sekante ® Tangente für eine differenzierbare Funktion (wobei hier h vor dem Grenzwert immer positiv ist, Q also immer "rechts" von P liegt).