Kleinere Schriftzeichen
Sinussatz und Umkreisradius:
Behauptung: Der Umkreisradius R ist durch

a sina | = | b sinb | = | c sing | = | 2R |
| (8)

gegeben.
Beweis: Für einen kurzen Beweis benötigen wir den Peripheriewinkelsatz, der Ihnen vielleicht schon bekannt ist, und den wir weiter unten in diesem Kapitel besprechen (und beweisen) werden. Er besagt: Alle Punkte, die gemäß der folgenden Skizze auf dem durch A und B begrenzten Kreisbogen liegen,
"sehen" die Strecke AB unter dem gleichen Winkel g.
Zum Beweis von (8) betrachten wir ein beliebiges Dreieck. Ist es stumpfwinkelig, so besitzt es dennoch zwei spitze Winkel, und wir wollen (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) die Bezeichnungen so wählen, dass der Winkel g spitz ist. Wir zeichnen nun unser Dreieck ABC gemeinsam mit dem Umkreis und seinem Mittelpunkt U:
Nach dem Peripheriewinkelsatz "sehen" alle Punkte auf dem oberen Teil des Umkreises die Strecke AB unter dem Winkel g. Wir betrachten nun jenen Punkt C' auf dem Umkreis, für den U auf der Strecke AC' zu liegen kommt, d.h. für den diese Strecke einen Durchmesser des Umkreises bildet:
Nach dem Satz von Thales besitzt das Dreieck ABC' bei B einen rechten Winkel. In diesem rechtwinkeligen Dreieck lesen wir ab (erinnern wir uns: Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse), dass sing = c/(2R), d.h.

2R | = | c sing |

gilt. Da die restlichen Gleichheitszeichen in (8) durch den Sinussatz garantiert werden, ist die Behauptung damit bewiesen.