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Exkurs: Sprachregelungen

In diesem Exkurs wollen wir die in der Mathematik übliche Sprechweise über einige Dinge festhalten, die Funktionen betreffen. Da Funktionen wichtige Objekte sind, wurde im Laufe der letzten Jahrhunderte viel über sie gesprochen (und geschrieben). Als Folge haben sich mehrere Sprechweisen über ein und dieselbe Sache herausgebildet. Die meisten Worte stammen direkt aus der Alltagssprache.

Folgende Begriffe, die in den mathematischen Wortschatz über Funktionen gehören, werden wir erwähnen:

Funktion, Abbildung (von ... in ...) zuordnen, Zuordnung Definitionsbereich Variable, unabhängige Variable, Veränderliche, Argument, Stelle, x-Wert Funktionswert (an der Stelle ...), Wert einer Funktion, von einer Funktion getroffen wo? an welcher Stelle? wirken, anwenden, einsetzen, abbilden Funktion von ... abhängige Variable, abhängige Größe funktionaler Zusammenhang, Zuordnungsvorschrift, von ... abhängen, auf ... abbilden Platzhalter Funktion in einer (mehreren) Variablen

Wenn diese Materie für Sie völlig neu ist, ...

... werden Sie sich vielleicht erschlagen fühlen, wenn Sie die folgende Vokabelsammlung lesen. Das haben Vokabelsammlungen leider so an sich. Wenn Sie sich schwer damit tun, versuchen Sie zumindest, sie zu überfliegen. An viele der hier vorgestellten Redewendungen werden Sie sich gewöhnen, wenn Sie sie selbst eine Zeitlang benützen.

Wir empfehlen Ihnen in jedem Fall, diesen Exkurs auch später bei Bedarf zu konsultieren.

Eine Funktion (oder Abbildung) f : A ® B (von der Menge A in die Menge ) ist eine Festlegung, die jedem Element x der Menge A ein Element der Menge B zuordnet. Dieses zugeordnete Element der Menge B wird als f (x) bezeichnet. Die Menge A heißt Definitionsbereich.

Schreibweisen für die Definition von Funktionen anhand eines Beispiels (die Funktion "quadrieren", mit A = B = R = Menge der reellen Zahlen):

- mit "von"-Klammer: f (x) = x2
- mit Zuordnungs-Pfeil: f : x ® x2 (oder einfach x ® x2)

Das Symbol x steht für ein beliebiges Element der Menge A (Eingabe-Wert), das der Wirkung der Funktion unterworfen werden kann - man nennt es daher Variable (altmodischer Ausdruck: Veränderliche), da es für eine "variable" Größe steht (oder unabhängige Variable, da es beliebig - von nichts abhängig - vorgegeben werden kann). Eine andere Bezeichnung dafür ist Argument. Ein konkreter Wert der unabhängigen Variablen (des Arguments) wird auch als Stelle oder auch als x-Wert bezeichnet.
Aber Achtung: Der Buchstabe x ist für diesen Zweck zwar beliebt und weit verbreitet, es kann aber genausogut ein anderes Symbol verwendet werden. Die Schreibweise f º f(x) drückt aus, dass x das Argument der Funktion f ist. Dass beispielsweise eine Temperatur T von der Zeit t abhängt, kann als T º T(t) geschrieben werden.

Das einem konkreten Element x Î A zugeordnete Element f (x) Î B (Ausgabe-Wert) wird Funktionswert (oder auch Funktionswert an der Stelle x) genannt. Ist y ein Funktionswert (d.h. y = f (x) für ein x Î A), so sagt man auch, y wird von der Funktion getroffen.

Zur Illustration dieses Sprachgebrauchs: Wo hat die durch f (x) = x2 definierte Funktion f den Wert 4? Antwort: An den Stellen -2 und 2. (Beachten Sie: Die Frage "wo?" bedeutet immer "an welcher Stelle?", also "für welchen Eingabe-Wert?")
Noch kürzere Sprechweise: Wo ist die Funktion gleich 4?

Die Funktion wirkt auf die Elemente von A, sie wird auf diese angewandt (angewendet). Elemente von A werden in die Funktion eingesetzt. Jedes Element von A wird auf ein Element von B abgebildet.

Manchmal wird auch ein eigenes Symbol für die möglichen Funktionswerte verwendet, z.B. der Buchstabe y. Das ist dann so gemeint, daß zu jedem x Î A (kurz: x-Wert, also Eingabe-Wert) ein y Î B (kurz: y-Wert, also Ausgabe-Wert) definiert ist, und war gemäß der Vorschrift y = f (x). Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn zwei Größen x und y betrachtet werden, und wenn der Wert von y immer (und in eindeutiger Weise) vom Wert von x abhängt.

Beispiel: Ein Fahrzeug fährt von Bregenz nach Wien, x steht für die seit Reisebeginn verstrichene Zeit, und y ist die zurückgelegte Strecke. Daher ist y eine Funktion von x. Die Größe y wird daher auch abhängige Variable (oder abhängige Größe) genannt.

Der funktionale Zusammenhang (die Zuordnungsvorschrift), der festlegt, welcher y-Wert aus einem gegebenen x-Wert entsteht ( also die zugrundeliegende Funktion f ) wird dann als y = f (x) angeschrieben. Manchmal wird kein eigener Buchstabe für die Funktion verwendet, sondern anstelle von f (x) - ein bißchen schlampig - einfach y (x) geschrieben. Das bringt zum Ausdruck, daß y von x abhängt. Man sagt auch: Der Größe x wird die Größe y zugeordnet, oder: x wird auf y abgebildet.

Beispiel: Die durch f (x) = x2 definierte Funktion kann auch in der Form y = x2 charakterisiert werden. So ist dann etwa der zu x = - 6 gehörende Funktionswert y = 36 (was dasselbe wie f (- 6) = 36 bedeutet).

Die Bedeutung der unabhängigen Variablen ähnelt ein bißchen der Bedeutung der Variablen in Termen. Das für sie verwendete Symbol (z.B. der Buchstabe x) ist ein Platzhalter, für den jeder konkrete Wert - d.h. jedes Element der Menge A - eingesetzt werden kann. Wird z.B. in die Funktionsdefinition f (x) = x2 der Wert x = 7 eingesetzt, so entsteht f (7) = 49.

Die meisten in der Schulmathematik auftretenden Funktionen wirken auf reelle Zahlen, d.h. für sie ist A gleich der (oder eine Teilmenge der) Menge R der reellen Zahlen. Diese Funktionen heißen Funktionen in einer Variablen. Sie drücken eine Situation aus, in der eine Größe (z.B. der Treibstoff-Verbrauch während einer Reise) von einer anderen Größe abhängt (z.B. von der Länge der Reise-Route). Jede einigermaßen realistische Größe hängt aber in Wahrzeit von zahlreichen Größen ab (in unserem Beispiel z.B. auch von der Geschwindigkeit, der Steigung,...). Solche Situationen führen auf Funktionen in mehreren Variablen, für die die Menge A nicht aus reellen Zahlen, sondern aus Kombinationen von reellen Zahlen (z.B. Zahlenpaaren oder Zahlentripeln) besteht.