Kleinere Schriftzeichen
Beweis: Kreisgleichung
Satz: Die Menge aller Punkte der Zeichenebene mit Koordinaten (x, y), die die Gleichung

x2 + y2 = 1 |
| (3)

erfüllen, ist ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist (der so genannte Einheitskreis).
Beweis: Jeder Punkt mit Koordinaten (x, y), die die Gleichung (3) erfüllen, hat vom Ursprung den Abstand 1. Um das einzusehen, betrachen Sie die nachfolgende Skizze
und wenden den Satz von Pythagoras auf das gelb unterlegte (rechtwinkelige) Dreieck an: Der mit r bezeichnete Abstand des Punktes (x, y) vom Ursprung ist die Länge der Hypotenuse, und es gilt
r2 = x2 + y2 = 1,
wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Voraussetzung (3) benutzt haben. Daher ist, wie behauptet, r = 1. Diese Argumentation kann auch angewandt werden, wenn x und/oder y negativ sind, da die Vorzeichen beim Übergang zu den Quadraten x2 und y2 wegfallen. In dieser Skizze
sind x und y negativ, d.h. die Kathetenlängen des gelben Dreiecks sind -x und -y, und es gilt ebenfalls r2 = x2 + y2 = 1. Damit ist bewiesen, dass jeder Punkt, dessen Koordinaten die Gleichung (3) erfüllen, auf dem Einheitskreis liegt.
Umgekehrt gilt für jeden Punkt (x, y) auf dem Einheitsreis aus genau demselben Grund (dem Satz von Pythagoras) die Gleichung (3).
Damit ist bewiesen, dass die Menge

k = { (x, y) | x2 + y2 = 1 } |

der Einheitskreis ist. Aus der Argumentation des Beweises lernen wir, dass die Kreisgleichung (3) nichts anderes als den Satz von Pythagoras ausdrückt.