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Beweise: Ableitungen der Areafunktionen:

Funktion | Ableitung
asinh x | 1 _______ _____ Ö 1 + x2
acosh x | 1 _______ _____ Ö x2 - 1
Funktion | Ableitung
atanh x | 1 1 - x2
acoth x | 1 1 - x2

Die Beweise funktionieren ganz ähnlich wie jene für die inversen Winkelfunktionen, unter Verwendung der Ableitungsregel (15). Hier in Stichworten die Vorgangsweise für den Arcus Sinus Hyperbolicus:

- Zusammenhang zwischen x und f : x = sinh f.
- Funktion: f(x) = asinh x.
- Inverse Funktion: x( f ) = sinh f.
- Ableitung der inversen Funktion: x'( f ) = sinh'( f ) = cosh f.
- Gesuchte Ableitung: asinh'(x) = 1/cosh f = (1 + x2)-1/2.

Im letzten Schritt wurde die Identität

cosh2f - sinh2f = 1

und die Tatsache, dass cosh f für alle f positiv ist, verwendet.
Führen Sie die verbleibenden Rechnungen zur Übung selbst durch!

Nachbemerkung: Da die Areafunktionen durch den natürlichen Logarithmus ausgedrückt werden können, ist auch eine direkte Berechnung ihrer Ableitungen möglich, in der das Wechselspiel zwischen Funktion und ihrer Inversen wegfällt. Dabei muss die (als nächstes zu besprechende) Ableitungsregel (24) verwendet werden.