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Differenzierbarkeit und Ableitung von x2:
Die exakte Argumentation ist im Grunde sehr einfach. Sei x festgehalten und (xn) eine Folge reeller Zahlen (alle ¹ x), die gegen x konvergiert. Dann berechnen wir die Folge der Differenzenquotienten

f(xn) - f(x) xn - x | = | xn2 - x2 xn - x | = | xn + x | .

Klarerweise existiert deren Grenzwert für n ® ¥ und ist gleich 2x. Wichtig ist, dass das für jede derartige Folge (xn) gilt.
Damit ist die Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = x2 bewiesen und ihre Ableitung (an jeder Stelle) berechnet.