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4 Beispiele für Funktionen, die anders als durch eine Termdarstellung definiert werden:

1. Es sei k : R ® R die Funktion, die jedem positiven x wiederum x, allen anderen Werten von x jedoch die Zahl 0 zuordnet.
   Dies kann formal so angeschrieben werden:

   k(x) = { |
   x wenn x > 0
   0 wenn x £ 0
   | (1)

   Eine solche Unterscheidung in zwei (oder mehr) Fälle, die auftreten können, heißt Fallunterscheidung.
   Was beschreibt diese Funktion? Wenn x das Vermögen eines Menschen darstellt (wobei Schulden negativ gezählt werden), so ist k(x) das maximale Vermögen, das Sie ihm rauben können (denn falls er nur Schulden hat - was dem Fall x < 0 entspricht - oder gerade auf Null steht, werden Sie von dieser Tat Abstand nehmen).
2. Es sei q : R ® R jene Funktion, die jedem rationalen x die Zahl 1 und jedem irrationalen x die Zahl 0 zuordnet.
   Dies kann formal so angeschrieben werden:

   q(x) = { |
   1 wenn x Î Q
   0 wenn x Ï Q
   | (2)

   Das ist ein interessantes Beispiel einer Funktion, die zwar mathematisch wohldefiniert ist, und deren Wirkungsweise einleuchtend ist (so ist z.B. q(3/2) = 1 und q(Ö2) = 0), die aber dennoch nicht durch einen Term dargestellt werden kann, und die übrigens auch nicht ohne Weiteres von einem Computerprogramm berechnet werden kann. Warum?
3. Als drittes Beispiel betrachten wir eine Funktion p : N ® N, d.h. eine Funktion, die jeder natürlichen Zahl eine natürliche Zahl zuordnet (die Variable wird in solchen Fällen oft mit n bezeichnet). Wir definieren sie so:
   Für jedes n sei p(n) die n-te Primzahl.
   Die Liste der Primzahlen beginnt mit 2, 3, 5, 7, 11, 13... Folglich ist p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, p(4) = 7 usw. Trotz jahrhundertelanger Suche wurde bisher keine bequeme Termdarstellung dieser Funktion gefunden, und es ist sehr wahrscheinlich, daß es gar keine gibt!
4. Als letztes Beispiel erwähnen wir die Betragsfunktion. Sie ordnet jeder reellen Zahl x ihren Absolutbetrag zu. Wir führen für sie keinen eigenen Buchstaben ein, sondern schreiben sie als

   |x| = { |
   x wenn x ³ 0
   -x wenn x < 0
   | (3)

   an. Sie bewirkt die Zuordnung x ® |x|.