Lösungen

Mit f(x) = x2 und x0 = 1 ergibt sich f(x0+ h) - f(x0) = (1 + h)2 - 12 . Der Sekantenanstieg ist somit durch
(1 + h)2 - 1 h |
gegeben. Diese Formel macht nur für endliches (von Null verschiedenes) h Sinn. h = 0 setzen würde auf die unbestimmte Form 0/0 führen. Wir können Sie aber vereinfachen: Lösen wir die Klammer im Zähler auf, so erhalten wir
1 + 2 h + h2 - 1 h |
Ein weiterer Vereinfachungsschritt führt auf
2 h + h2 h | .
Da h von Null verschieden ist, kann durch h gekürzt werden, was den einfachen Ausdruck 2 + h ergibt. Auch dieser Ausdruck ist zunächst für h ¹ 0 gültig; wir sehen aber, was passiert, wenn h gegen Null strebt: der Ausdruck "konvergiert" gegen 2. Das ist unser Resultat: der Anstieg der Tangente ist gleich 2, daher gilt f ¢(1) = 2 . Mit f(x) = x2 ergibt sich f(x0+ h) - f(x0) = (x0 + h)2 - x02 Der Sekantenanstieg ist somit durch
(x0 + h)2 - x02 h |
gegeben. Diese Formel macht nur für endliches (von Null verschiedenes) h Sinn. h = 0 setzen würde auf die unbestimmte Form 0/0 führen. Wir können Sie aber vereinfachen: Lösen wir die Klammer im Zähler auf, so erhalten wir
x02 + 2 x0 h + h2 - x02 h | .
Ein weiterer Vereinfachungsschritt führt auf
2 x0 h + h2 h | .
Da h von Null verschieden ist, kann durch h gekürzt werden, was den einfachen Ausdruck 2 x0 + h ergibt. Auch dieser Ausdruck ist zunächst für h ¹ 0 gültig; wir sehen aber, was passiert, wenn h gegen Null strebt: der Ausdruck "konvergiert" gegen 2 x0. Das ist unser Resultat: der Anstieg der Tangente ist durch 2 x0 gegeben, daher gilt f ¢(x0) = 2 x0 . Üblicherweise wird im Endresultat der Index 0 weggelassen, womit das Resultat für die Ableitung der Funktion f(x) = x2 an einer beliebigen Stelle x lautet: f ¢(x) = 2 x . Wir benutzen den in Aufgabe 2 erzielten Ausdruck 2 + h für den Sekantenanstieg und erhalten sn = 2 + 1/n . (Der Grenzwert dieser Folge für n ® ¥ ist klarerweise gleich 2). Ein Beispiel für eine Funktion, die überall definiert, aber an einer Stelle nicht differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion f(x) = |x|. Sie ist an der Stelle x0 = 0 nicht differenzierbar. Geometrisch lässt sich das einsehen, indem man ihren Graphen betrachtet: er hat im Ursprung einen Knick, besitzt daher in diesem Punkt keine Tangente. Rechnerisch lässt sich das so argumentieren: f(0) = 0 f(0 + h) = |h| f(0 + h) - f(0) = |h| , daher ist der Sekantenanstieg durch |h| / h gegeben. Ist h > 0, so ist das gerade 1, ist h < 0, ist es -1. Wenn also h "von oben" gegen Null strebt (Q ist "rechts" von P ), erhalten wir 1, wenn h "von unten" gegen Null strebt (Q ist "links" von P ), erhalten wir -1. Wenn h gegen Null strebt, dabei aber zwischen positiven und negativen Werten pendelt (Q ist einmal "rechts", dann wieder "links" von P ), erhalten wir überhaupt keinen Grenzwert. Mit anderen Worten: der Grenzprozess h ® 0 führt nicht auf ein eindeutiges Resultat - mathematisch ausgedrückt "existiert er nicht". Nachbemerkung: Die beiden Resultate 1 und -1, die für h > 0 und h < 0 erzielt werden, entsprechen den beiden Geraden y = x und y = -x, die noch am ehesten als "Tangenten" anzusehen sind (obwohl sie streng genommen keine sind) und werden "rechtsseitige" und "linksseitige" Ableitung genannt. Wir wählen einen kleinen Wert für h, beispielsweise h = 0.01, und erhalten damit: f(2) = 1/2 = 0.5 f(2 + 0.01) = 1/(2 + 0.01) » 0.49751 f(2 + 0.01) - f(2) » 0.49751 - 0.5 » -0.00249 Der Anstieg der Sekante ist daher näherungsweise durch -0.00249/0.01 = -0.249 gegeben. (Der genaue Wert ist -0.25, also -1/4. Trauen Sie sich zu, die exakte Formel für die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x nach demselben Schema wie in den Aufgaben 2 und 3 herzuleiten?)