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Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
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  Faktor Siehe Multiplikation. Faktorielle Ist n eine natürliche Zahl, so ist "n Faktorielle" (geschrieben mit einem Rufzeichen als n! ) das Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner-gleich n sind:
  n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1.
  So ist beispielsweise 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6 und 4! = 24. Die Berechnung kann dank der Identität
  (n + 1)! = (n + 1) n!
  schrittweise auf die jeweils vorhergehende Zahl zurückgeführt werden. Es ist zweckmäß, 0! = 1 zu definieren. Eine andere Bezeichnung für Faktorielle ist "Fakultät". Fakultät Siehe Faktorielle. Familie von Funktionen auch Funktionenschar, ist eine Menge von Funktionen, deren Elemente durch die Werte einer (oder mehrerer) Konstante, der Parameter, voneinander unterschieden werden. So stellt beispielsweise ft(x) = (x - t)2 - t2 für jeden Wert des Parameters t eine Funktion dar. Man kann sich t als Zeit vorstellen. Die Familie wird dann zu einem "Film", in dem zu jedem Zeitpunkt eine andere Funktion vorliegt. Ganz allgemein sind die "Konstanten", die so oft in Funktionstermen vorkommen, Parameter, da ein solcher Term nicht eine Funktion, sondern eine ganze Familie von Funktionen definiert. Figur, geometrische Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie. Flächenberechnung Für die Berechnung der Inhalte von Flächen, die von Kurven begrenzt werden, ist die Integralrechnung zuständig. So lässt sich der (orientierte) Flächeninhalt unter dem Graphen einer reellen Funktion als bestimmtes Integral darstellen. Der Inhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen ist, für den Fall, dass eine der beiden Funktionen im gesamten betrachteten Bereich größer als die andere ist, durch das bestimmte Integral über ihre Differenz gegeben. Flächeninhalt des Dreiecks Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gibt es eine Reihe von Formeln. Die einfachste ist A = Grundlinie × Höhe/2, drei weitere sind mit dem Sinussatz verbunden und lauten A = (ab/2)sing = (bc/2)sina = (ca/2)sinb. Siehe auch Heronsche Formeln. Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks Der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks auf einer Kugeloberfläche vom Radius r ist durch A = r2(a + b + g - p) gegeben, wobei die Winkel im Bogenmaß ausgedrückt sind. Die Größe a + b + g - p heißt sphärischer Exzess. Flächeninhaltsproblem Das Problem, den Flächeninhalt (genauer: den orientierten Flächeninhalt) unter dem Graphen einer reellen Funktion zu ermitteln, war der Ausgangspunkt der Entwicklung der Integralrechnung. Über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist es eng mit dem Tangentenproblem verwandt. floor ist die Bezeichnung für das durch die Regel "immer abrunden" definierte Rundungsverfahren: floor x ist die größte ganze Zahl, die £ x ist (oder einfach der ganzzahlige Anteil von x). Formel Der Begriff der Formel ist ein bißchen unscharf. Oft wird darunter ein Term verstanden, der irgendeine Größe durch andere Größen darstellt. (Es liegt dann eine Formel für diese Größe vor). Manchmal werden aber auch ganz allgemein mathematische Aussagen, in denen Terme vorkommen (wie z.B. Identitäten oder Termdarstellungen von Funktionen) als Formeln bezeichnet. Im Begriff der Formel schwingt die Idee eines gebrauchsfertigen "Kochrezepts" mit, zu dessen Anwendung es keiner tieferen Kenntnisse der Mathematik bedarf - im Gegensatz zur Gleichung, die zu lösen mitunter auf verzwickte Probleme führen kann. Fraktal ist eine Punktmenge, die (im Gegensatz zu einer "glatten" Kurve oder Fläche) bei wachsender Vergrößerung ("Hineinzoomen") immer weitere Details an Struktur erkennen lässt. Wiederholen sich diese Strukturen (näherungsweise), so spricht man vom Phänomen der Selbstähnlichkeit. Frequenz Siehe harmonische Schwingung. Funktion Eine Funktion (auch Abbildung genannt) ist eine Zuordnung (oder Zuordnungs-Vorschrift). Sind A und B zwei Mengen, so ist eine "Funktion von A nach B" (oder: "von der Menge A in die Menge B") eine Vorschrift, die jedem Element von A in eindeutiger Weise ein Element von B zuordnet. Um auszudrücken, daß f eine solche Zuordnung ist, wird
  f : A ® B
  geschrieben. Ist x Î A, so wird das zugeordnete Element der Menge B als f (x) geschrieben (sprich:"f von x") und heißt Funktionswert (an der Stelle x). Eine andere Schreibweise dafür ist f : x ® f (x). Das Symbol x heißt Variable (auch unabhängige Variable oder Argument genannt). Um anzudeuten, dass das Argument einer Funktion f mit dem Symbol x bezeichnet wird, kann auch f º f(x) ("f ist eine Funktion, die von x abhängt") geschrieben werden. In vielen uns interessierenden Fällen sind die Mengen A und B entweder gleich der Menge der reellen Zahlen oder Teilmengen davon. (In diesem Fall spricht man auch von einer reellen Funktion in einer Variablen). Funktionen dieses Typs drücken die Abhängigkeit einer reellen Größe von einer anderen aus. Hängt eine Größe von mehreren anderen Größen ab, so definiert diese Situation eine Funktion in mehreren Variablen, und die Menge A besteht aus Kombinationen von reellen Zahlen (z.B. aus Zahlenpaaren). Wir stellen Ihnen zwei Einstiegshilfen zur Verfügung, die Sie als Abschnitte des Kapitels Funktionen 1 der Mathematischen Hintergründe wiederfinden können: | interaktiver Exkurs
  | Führung durch das Vokabular
  Funktionen können graphisch dargestellt (gleichsam in Bilder verwandelt) werden (siehe Funktionsgraph). Weitere wichtige mit dem Begriff der Funktion verbundene Stichworte sind Definitionsbereich, Wertebereich, Wertetabelle, Termdarstellung, Nullstelle, injektiv, surjektiv, bijektiv und stetig. Zu den globalen Eigenschaften von Funktionen zählen Monotonie, Symmetrieeigenschaften, Periodizität, Beschränktheit und Konvexitätsverhalten. Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus Funktionen weitere Funktionen zu machen: Siehe Funktionen kombinieren, Verkettung und Verschiebungen und Streckungen. Funktion dritter Ordnung auch kubische Funktion genannt, ist eine Funktion, deren Termdarstellung ein Polynom dritter Ordnung ist: x ® a x3 + b x2 + c x + d, wobei die Koeffizienten a (¹ 0), b, c und d fix vorgegeben sind. Funktionen auf diskreten Mengen sind Funktionen f : A ® B , wobei A eine endliche Menge oder die Menge N der natürlichen Zahlen und B eine beliebige Menge ist. Beispiele sind Permutationen und Folgen. Funktionen in mehreren Variablen auch mehrstellige Funktionen genannt, sind Funktionen f : A ® B , wobei A entweder R n (die Menge aller reellen "n-Tupel") oder eine Teilmenge des Rn und B eine beliebige Menge ist. Beispielsweise ist die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen x und y durch f(x, y) = xy gegeben. Jedem Paar (x, y) ÎR2 wird der Funktionswert f(x, y), d.h. das Produkt xy zugeordnet. Der Graph einer Funktion in mehreren Variablen ist ein höherdimensionales Objekt. Im Fall von zwei Variablen kann er, sofern die Funktion stetig ist, als Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt werden: Jedem Punkt der Ebene, der durch ein Zahlenpaar (x, y) ÎR2 festgelegt ist, wird der Funktionswert f(x, y) als z-Koordinate in die dritte Richtung ("Höhe") zugeordnet. Funktionen kombinieren Es ist auf verschiedene Weise möglich, aus gegebenen Funktionen weitere Funktionen zu konstuieren: Punktweise Anwendung der Grundrechnungsarten für Funktionen A ® R : Durch die Definition (f + g)(x) = f(x) + g(x) "xÎA wird aus f und g eine neue Funktion f + g gemacht. Diese Operation heißt "punktweise Summe" von f und g, da sie für jeden "Punkt" x die Summe zweier Funktionswerte darstellt. In analoger Weise kann die Differenz, das Produkt und (wenn alle Funktionswerte ungleich Null sind) der Quotient zweier Funktionen definiert werden. Die Verkettung (das Hintereinander-Ausführen) von Funktionen. Verschiebungen und Streckungen von Argument und Funktionswert, die sich direkt auf die Graphen übertragen. Funktionen ohne geschlossene Termdarstellung sind Funktionen, die sich nicht in Form eines Terms darstellen lassen, der aus den "elementaren" Funktionen der Mathematik (Potenzen, Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen) und deren Kombinationen durch die Grundrechnungsarten aufgebaut ist. Zwei Beispiele sind der Umfang der Ellipse (der sich nicht geschlossen durch die Halbachsen ausdrücken lässt) und die Kepler-Gleichung. Funktionenschar ist eine andere Bezeichnung für eine Familie von Funktionen. Funktion erster Ordnung ist eine Funktion, deren Termdarstellung ein Polynom erster Ordnung ist: x ® k x + d, wobei die Koeffizienten k (¹ 0) und d fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind Geraden. Funktionen erster Ordnung werden oft als lineare Funktionen bezeichnet (wobei dieser Begriff nicht ganz eindeutig ist). Funktionsausdruck Siehe Termdarstellung. Funktionsdarstellung, explizite Siehe explizite Funktionsdarstellung. Funktionsdarstellung, implizite Siehe implizite Funktionsdarstellung. Funktionsgleichung Siehe Termdarstellung. Funktionsgraph Ist f : A ® B eine Funktion, d.h. eine Zuordnung von der Menge A in die Menge B, so ist ihr Graph die Menge aller geordneten Paare der Form (x, f(x)), für die x Î A ist. Sind die Mengen A und B gleich der Menge R der reellen Zahlen, so ist der Graph von f in der Mengenschreibweise durch
  { (x, f(x) | x Î R }
  oder, anders angeschrieben, durch
  { (x, y) Î R2 | y = f (x) }
gegeben. Die zweite Version besagt: der Graph ist die Lösungsmenge der "Funktionsgleichung" y = f (x) (welche eine Gleichung in zwei Variablen x und y ist, siehe auch Termdarstellung) über der Grundmenge R 2. Da die Menge R2 als Zeichenebene interpretiert werden kann, ist der Graph von f eine Teilmenge derselben. In einem xy-Koordinatensystem wird zu jedem frei gewählten x der zugehörige Funktionswert f (x) als y-Wert aufgetragen. Dadurch entsteht eine graphische Darstellung der Wirkungsweise der Funktion. Oft (aber nicht immer) handelt es sich dabei um Kurven, und in der Mehrzahl der uns interessierenden Fälle sind diese Kurven "glatt", d.h. sie haben keine Ecken. Jeder solcherart eingezeichnete Punkt mit Koordinaten (x, f(x)) entspricht einer Zeile in einer Wertetabelle. Ist die Menge A (der Definitionsbereich von f ) eine Teilmenge von R, so sind die x-Werte entsprechend einzuschränken. Entsteht A aus R durch Wegnahme eines einzelnen Punktes, so zerfällt der Graph in zwei getrennte "Äste" (wie es beispielsweise bei der Funktion x ® 1/x der Fall ist). Hier können Sie ein paar für Graphen einfacher Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten anschauen. Verwenden Sie den untenstehenden Funktionsplotter, um Graphen von Funktionen ihrer Wahl zu betrachten! Am Graphen einer Funktion lassen sich viele ihrer Eigenschaften (wie zum Beispiel die - zumindest ungefähre - Lage der Nullstellen oder das Monotonie-Verhalten "mit freiem Auge" erkennen. Das Konzept des Graphen gehört zu den wichtigsten Instrumenten zur Veranschaulichung mathematischer Sachverhalte. Der Graph einer Funktion in mehreren Variablen ist ein höherdimensionales Objekt. Im Fall von zwei Variablen kann er, sofern die Funktion stetig ist, als Fläche im dreidimensionalen Raum dargestellt werden. Funktions-Plotter Ein nützliches Werkzeug für den täglichen Gebrauch, um Graphen von Funktionen darzustellen und zu analysieren, sowie Gleichungen numerisch zu lösen. Funktionsuntersuchung ist eine andere Bezeichnung für Kurvendiskussion. Funktionswert Ist f : A ® B eine Funktion, so wird jedem Element x Î A ein Element f (x) Î B zugeordnet. Letzteres heißt Funktionswert (an der Stelle x). Funktion zweiter Ordnung auch quadratische Funktion genannt, ist eine Funktion, deren Termdarstellung ein Polynom zweiter Ordnung ist: x ® a x2 + b x + c, wobei die Koeffizienten a (¹ 0), b und c fix vorgegeben sind. Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln. ''Für alle'' kann durch das Symbol " abgekürzt werden. ''Für die gilt'' wird bei der Definition von Mengen durch das Symbol | abgekürzt. Beispiel: A = { x | x ist eine gerade Zahl größer als 10 } wird gelesen als ''A ist die Menge aller x für die gilt: x ist eine gerade Zahl größer als 10''.

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