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Beweise: Werte der Winkelfunktionen für spezielle Winkel:

- Die Werte für a = 0°, 90°, 180° und 270° ergeben sich in trivialer Weise aus den Definitionen der Winkelfunktionen bzw. aus den Zeigerdiagrammen.
- Beweis für a = 30° und 60°
  Diese beiden Winkel treten im gleichseitigen Dreieck auf, wenn zusätzlich eine Höhe eingezeichnet wird:
  Gemäß dem pythagoräischen Lehrsatz für das hervorgehobene (rechtwinkelige) Dreieck haben wir

  a2 - | æ ç è |  | a 2 |  | ö ÷ ø | 2 | = h2,

  d.h.

  | 3 a2 4 | = h2,

  woraus

  h = | 1 2 | __ Ö 3 | a

  folgt. Die Hypotenuse des hervorgehobenen Dreiecks ist a. Für den Winkel 30° ist h die Ankathete und a/2 die Gegenkathete; für den Winkel 60° ist h die Gegenkathete und a/2 die Ankathete. Daraus ergibt sich unmittelbar

  sin(30°)
  =
  | a/2 a | = | 1 2 |
  cos(30°)
  =
  | h a | = | 1 2 |  | __ Ö 3 |
  sin(60°)
  =
  | h a | = | 1 2 |  | __ Ö 3 |
  cos(60°)
  =
  | a/2 a | = | 1 2 | ,

  wobei alle Nenner rational gemacht wurden.
- Beweis für a = 45°
  Dazu betrachten wir ein rechtwinkelig-gleichschenkeliges Dreieck:
  In diesem Fall liefert der pythagoräische Lehrsatz

  c = a | __ Ö 2 |

  (was nichts anderes als die Formel für die Diagonale des Quadrats ist). Die Hypotenuse des Dreiecks ist c. An- und Gegenkathete für den Winkel 45° sind beide gleich a. Daher ist

  sin(45°) = cos(45°) = | 1 Ö2 | º | 1 2 |  | __ Ö 2 | ,

  wobei im letzten Schritt der Nenner rational gemacht wurde.