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Zwei weitere Bemerkungen über Q:

Bemerkung 1:

Die genaue Definition der Menge der rationalen Zahlen als Teilmenge der Menge der reellen Zahlen lässt sich so schreiben:

Q = { | m n | | m, n Î Z und n ¹ 0 }.
| (1)

Bemerkung 2:

Wieso ist diese Menge identisch mit der Menge aller abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen?

Betrachten Sie eine Bruchzahl wie 12/7 und führen Sie die Division Schritt für Schritt auf dem Papier aus! In jedem Schritt wird - nach der ganzzahligen Division - der Rest notiert und eine 0 angehängt:

1 | 2 | : | 7 |  | = |  | 1 | . | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | . | . | .
| 5 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  | 1 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  | 3 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  | 2 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  | 6 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  | 4 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  | 5 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  | 1 | 0 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  | 3 | . |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  | . | . |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  | . | . |  |  |  |  |  |  |

In unserem Beispiel (Division durch 7) ist der Rest immer eine Zahl zwischen 0 und 6. Falls einmal der Rest 0 auftritt, ist die Rechnung zu Ende, und das Resultat ist eine abbrechende Dezimalzahl. Falls das nicht der Fall ist - wie in unserem Beispiel -, muß sich nach höchstens 7 Schritten ein Rest, der bereits aufgetreten ist, wiederholen. Dann wiederholen sich alle folgenden Schritte und somit auch die Ziffernfolge des Resultats, welches sich auf diese Weise als periodische Dezimalzahl herausstellt.

Dieses Schema trifft ganz allgemein zu: Wenn eine ganze Zahl durch eine andere (¹0) dividiert wird, so ist das Resultat immer eine abbrechende oder eine periodische Dezimalzahl.

Umgekehrt: Falls eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl gegeben ist - können wir sie immer als Bruch ''ganze Zahl/ganze Zahl''schreiben? Die Antwort ist ''Ja''. Im Fall einer abbrechenden Dezimalzahl ist das auch ganz einfach einzusehen. So ist z.B.

1.23 = | 123 100 | ,
| (2)

was die gewünschte Form hat. Im Fall einer nichtabbrechenden periodischen Dezimalzahl ist der Beweis ein bißchen schwieriger und benötigt den Begriff der ''Reihe'' (d.h., salopp ausgedrückt, einer unendlichen Summe). So ist etwa

0.333333... = | 3 10 | + | 3 100 | + | 3 1000 | + ...
| (3)

Der Wert dieser Reihe ist gerade 1/3, doch wir werden erst im Kapitel Grenzprozesse (in Vorbereitung) die Werkzeuge entwickeln, um ihn tatsächlich berechnen zu können. Daher bleiben wir hier eine lückenlose Begründung schuldig, betonen aber nochmals, daß sich die folgende Aussage streng beweisen läßt:

Die abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen sind genau jene reellen Zahlen, die sich als Bruchzahl ''ganze Zahl/ganze Zahl'' schreiben lassen.