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Beispiele für lokale Extrema und Sattelstellen:

- Beispiel 1:
  Gegeben sei die Funktion f(x) = x2 - x3. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
  Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
  Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 2x - 3x2. Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
  2x - 3x2 = 0.
  Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 2/3. Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern. Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
  - Für x < 0 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x2-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(-1) = -5.
  - Für 0 < x < 2/3 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1/3) = 1/3.
  - Für x > 2/3 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x2-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1) = -1.
  Daher ergibt sich:
  - An der Stelle x = 0 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ auf positiv. Diese Stelle ist daher eine lokale Minimumstelle.
  - An der Stelle x = 2/3 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher eine lokale Maximumstelle.
  Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!
- Beispiel 2:
  Gegeben sei die Funktion f(x) = 4x3 - 3x4. Man bestimme lokale Extrema und Sattelpunkte!
  Lösungsweg durch Analyse der Vorzeichen der Ableitung:
  Die Funktion ist für alle reellen Zahlen definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung ist f '(x) = 12x2 - 12x3. Die Gleichung f '(x) = 0 lautet
  12x2 - 12x3 = 0.
  Ihre Lösungen sind x = 0 und x = 1. Nur an diesen Stellen kann die Ableitung ihr Vorzeichen ändern. Wir können daher folgende Bereiche identifizieren:
  - Für x < 0 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x3-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(-1) = 24.
  - Für 0 < x < 1 ist die Ableitung positiv. Das ergibt sich durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(1/2) = 3/2.
  - Für x > 1 ist die Ableitung negativ. Das ergibt sich aus dem Minuszeichen vor dem x3-Beitrag von f '(x) oder durch Einsetzen einer konkreten Stelle, z.B. f '(2) = -48.
  Daher ergibt sich:
  - Links und rechts von x = 0 hat die Ableitung dasselbe Vorzeichen. Diese Stelle ist daher ein Sattelpunkt.
  - An der Stelle x = 1 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv auf negativ. Diese Stelle ist daher eine lokale Maximumstelle.
  Sehen Sie sich den Graphen der Funktion (z.B. mit dem Funktionsplotter) an!