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Beispiel mit Überraschung:
Aufgabe: Berechnen Sie

(1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9)
| (1)

durch Ausmultiplizieren der Klammer!

Lösung: Da jeder Summand des ersten Terms mit jedem Summanden des zweiten Terms multipliziert werden muß, ergibt sich

1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9
- x - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9 - x10
| (2)

Sie sehen, daß fast alle Summanden mit beiden Vorzeichen vorkommen, sich also wegheben. (So etwas wird teleskopische Summe genannt. Sie läßt sich wie ein Hand-Teleskop ''zusammenschieben''). Es bleibt einfach

1 - x10
| (3)

übrig. Lesen wir dieses Resultat in umgedrehter Reihenfolge: Wir haben es geschafft, den Term 1 - x10 als Produkt - nämlich (1) - darzustellen! Ausführlich angeschrieben: Es gilt

1 - x10 = (1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9).
| (4)

Wieder anders ausgedrückt, haben wir gezeigt, daß

1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 = | 1 - x10 1 - x |
| (5)

ist. Wenn wir anstelle von x irgendeine Zahl ( ¹ 1) einsetzen, so erhalten wir eine wahre Aussage. Wir können dies benützen, um z.B. (mit x = 1/2)

1 + | 1 2 | + | 1 4 | + | 1 8 | + | 1 16 | + | 1 32 | + | 1 64 | + | 1 128 | + | 1 256 | + | 1 512 |
| (6)

schnell auszurechnen, ohne all diese Terme addieren zu müssen! (Machen Sie es!) (Lösung: Sie müssen nur (1- (1/2)10)/(1-1/2), also (1 - 0.510) × 2 berechnen! Nehmen Sie einen Rechner zu Hilfe!)

Dasselbe funktioniert für gleich aufgebaute Terme anderer Länge ebenso. Können Sie eine allgemeine Regel darür formulieren?