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  Paar, geordnetes Siehe geordnetes Paar. Parallel Eine endliche Menge von Vektoren heißt parallel oder kollinear, wenn alle ihre Elemente, als Ortsvektoren aufgefasst, auf einer Geraden liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn es (zumindest) einen unter ihnen gibt, so dass alle anderen seine Vielfachen sind. Parallelepiped ist der von drei räumlichen Vektoren aufgespannte Körper (die dreidimensionale Verallgemeinerung des Parallelogramms). Sein Volumsinhalt ist gleich dem Absolutbetrag des Spatprodukts der drei Vektoren. Parallelogramm ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Siehe den Exkurs unter klassische Geometrie. Parallelogrammfläche Der Flächeninhalt des von den zwei ebenen Vektoren a = (a1, a2) und b = (b1, b2) aufgespannten Parallelogramms ist durch |a1b2 - a2b1| gegeben. Parallelogrammregel Die Addition von Vektoren kann geometrisch durch das Hintereinanderhängen (Schaft an Spitze) der entsprechenden Vektor-Pfeile durchgeführt werden. Die Rechenregel a + b = b + a führt zeichnerisch auf ein Parallelogramm, in dessen Diagonale die Summe der beiden Vektoren liegt. Parameterdarstellung einer Ebene In Verallgemeinerung der Parameterdarstellung einer Geraden drückt jene der Ebene die Punkte der Ebene durch zwei frei wählbare Parameter aus: Ist A ein Punkt einer Ebene, und sind u und v zwei Vektoren, die beide innerhalb der Ebene liegen und nicht zueinander parallel sind, so liegt für jede reelle Wahl von t und s der Punkt x(t, s) = A + tu + sv auf der Ebene. Auf diese Weise entspricht jedem Punkt der Ebene genau ein Parameter-Wertepaar (t, s). Parameterdarstellung einer Geraden ist eine in der analytischen Geometrie benötigte Beschreibungsform für Geraden in der Zeichenebene und Geraden im Raum. Ist A ein Punkt einer Geraden, und ist u ein Richtungsvektor, so liegt für jedes reelle t der Punkt x(t) = A + tu auf der Geraden. Auf diese Weise entspricht jedem Punkt der Geraden genau ein Wert des Parameters t. Die Parameterdarstellung ist insbesondere für die Beschreibung von Geraden im Raum und für die Ermittlung von Schnittpunkten von Geraden mit Ebenen unersetzlich. Siehe auch Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden, Durchstoßpunkt und Lagebeziehungen von Geraden im Raum. Parameter einer Familie von Funktionen werden die (beliebigen, aber festgehaltenen) Konstanten genannt, die in der Darstellung einer Familie von Funktionen auftreten. Parameter einer Familie von Gleichungen werden die (beliebigen, aber festgehaltenen) Konstanten genannt, die in einer Gleichung auftreten. So stellt beispielsweise x2 + px + q = 0 für jede Wahl von p und q eine Gleichung dar. Damit ist also nicht eine Gleichung, sondern eine ganze Familie (oder Schar) von Gleichungen definiert, deren Parameter p und q sind. Parameter (Parameterdarstellung) Bei der Parameterdarstellung einer Geraden bezeichnet das Wort Parameter eine Variable, die Punkte auf einer Geraden repräsentiert (d.h. eine Identifizierung der Geraden mit der Menge der reellen Zahlen ermöglicht). Bei der Parameterdarstellung einer Ebene sind zwei derartige Parameter nötig, da die Ebene zweidimensional ist. Parametrisierung einer Geraden ist die Identifizierung der Geraden mit der Menge der reellen Zahlen, wie es in der Parameterdarstellung geschieht. Partialbruchzerlegung als Integrationsmethode ist ein systematisch anzuwendendes Schema, mit dessen Hilfe die Stammfunktion jeder rationalen Funktion berechnet werden kann. Partielle Integration ist eine auf der Produktregel beruhende Integrationsmethode. Ist F eine Stammfunktion von f und g eine differenzierbare Funktion, so gilt für unbestimmte Integrale (Stammfunktionen) òf(x)g(x)d x = F(x)g(x) - òF(x)g'(x)d x und für bestimmte Integrale òabf(x)g(x)d x = F(x)g(x)|ab - òabF(x)g'(x)d x. Pascalsches Dreieck ist ein Zahlenschema, welches aus den Koeffizienten besteht, die sich durch das Ausmultiplizieren der Terme (a + b)n für n = 0, 1, 2, 3, 4... ergeben. Es ist gemäß einer einfachen Regel aufgebaut. Siehe auch Binomialkoeffizienten. Periodisch heißt eine Funktion f : R ® R , wenn es eine positive Zahl p gibt, so dass für alle xÎR gilt: f(x + p) = f(x). Die Zahl p heißt dann Periode oder Periodenlänge. Mit wachsendem x "wiederholt sich" eine periodische Funktion (und daher ihr Graph) immer wieder. Die wichtigsten periodischen Funktionen besitzen eine kleinste Periode. Beispiele: die Winkelfunktionen sin, cos, tan und cot. Periodische Dezimalzahlen Siehe Dezimaldarstellung. Peripheriewinkelsatz Zwei Peripheriewinkel über demselben, von zwei Punkten begrenzten Kreisbogen sind gleich groß. Anders ausgedrückt: Die Strecke zwischen den Begrenzungspunkten eines Kreisbogens wird von jedem Punkt dieses Kreisbogens aus unter demselben Winkel "gesehen". Dieser Winkel ist entweder gleich dem halben Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) oder 180° minus dem halben Zentriwinkel, je nachdem, ob der Kreisbogen größer oder kleiner als der Halbkreisbogen ist. Umgekehrt liegen alle Punkte, von denen aus eine gegebene Strecke unter einem gegebenen Winkel "gesehen" wird, auf einem Kreisbogenpaar. Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Thales. Permutation Eine "Permutation von n Elementen" ist eine bijektive Funktion s : M ® M, wobei M die Menge {1, 2, ... n} ist. Beispielsweise ist durch s(1) = 2, s(2) = 1, s(3) = 3 eine Permutation von 3 Elementen definiert, deren Wirkung darin besteht, die ersten beiden Elemente zu vertauschen. Permutationen, Anzahl Eines der Resultate der Kombinatorik lautet: Es gibt genau n! Permutationen von n Elementen (siehe Faktorielle). Anders ausgedrückt: Es gibt n! Möglichkeiten, n (unterscheidbare) Objekte auf n (unterscheidbare) Plätze zu verteilen. Permutationen mit Gruppen nicht unterscheidbarer Elemente Eines der Resultate der Kombinatorik lautet: n Objekte werden in m Gruppen vom Umfang n1, n2,... nm zusammengefasst (n1 + n2 + ... + nm = n). Objekte innerhalb einer Gruppe sind nicht unterscheidbar, Objekte aus verschiedenen Gruppen sind unterscheidbar. Es gibt n!/(n1! n2! ... nm!) (unterscheidbare) Möglichkeiten, diese n Objekte auf n Plätze zu verteilen (siehe Faktorielle). Pfeildarstellung von Vektoren Vektoren können geometrisch als Pfeile gedeutet werden, wobei die Koordinatendifferenzen zwischen den beiden Enden eines solchen Pfeils (Schaft und Spitze) gerade die Komponenten des Vektors sind. Zwei Vektor-Pfeile, die gleich lang sind und in dieselbe Richtung zeigen, stellen denselben Vektor dar. Etwas schlampig wählen wir manchmal einen Pfeil aus und nennen ihn einen Vektor. Ein Vektor-Pfeil kann als Verbindungsvektor, Verschiebungsvektor und Ortsvektor interpretiert werden. Phase einer harmonischen Schwingung Siehe harmonische Schwingung. Poissonprozess ist der der Poissonverteilung zugrunde liegende zeitliche Ablauf. Poissonverteilung Die Poissonverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie beschreibt Ereignisse, die unabhängig voneinander in jedem (beliebig kleinen) Zeitintervall eintreten können und kann als Grenzfall aus der Binomialverteilung erhalten werden. Pol oder Polstelle einer reellen (oder komplexen) Funktion f ist eine Unendlichkeitsstelle besonderen Typs: f besitzt bei x0 eine Polstelle (oder kurz: einen Pol), wenn 1/f an dieser Stelle eine Nullstelle mit wohldefinierter Ordnung besitzt. Diese Ordnung wird auch die Ordnung des Pols genannt. Der Graph von f besitzt an der Polstelle eine zur vertikalen Achse parallele Asymptote. Alle Unendlichkeitsstellen von rationalen Funktionen, sowie von rationalen Kombinationen von Winkelfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen, sind Pole. Die Pole einer rationalen Funktion sind die Nullstellen des Nenners, sofern zuvor alle Definitionslücken entfernt worden sind. Polarkoordinaten (genauer: ebene Polarkoordinaten) bilden ein krummliniges Koordinatensystem in der Zeichenebene. Ist ein kartesisches x y-Koordinatensystem gegeben, so sind die Polarkoordinaten r und f eines Punktes P folgendermaßen definiert: r ist der Abstand des Punktes P vom (durch das kartesische Koordinatensystem definierten) Ursprung. f ist der Winkel, unter dem man, im Ursprung "stehend" den Punkt P relativ zur Richtung der positiven x-Achse "sieht". Dieser Winkel wird im Gegenuhrzeigersinn gemessen und kann im Bereich 0° £ f < 360° variieren. (Beachten Sie: ein Winkel von 360° bedeutet dasselbe wie 0°). Er wird Polarwinkel genannt. Liegt P im Ursprung, so hat der Winkel f keinen wohldefinierten Wert, aber davon abgesehen, steckt im Paar (r, f) genausoviel Information wie in den kartesischen Koordinaten (x, y), d.h. genau die Information über die Position des Punktes P. Siehe auch Koordinatenlinien und Koordinatensystem. Zur Umrechnung der Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten (und umgekehrt) werden Winkelfunktionen benötigt. Polarkoordinaten, Umrechnung in kartesische Koordinaten Aus der Definition der Winkelfunktionen ergibt sich unmittelbar x = r cos f und y = r sin f. Umgekehrt werden die Polar- aus den kartesischen Koordinaten mittels r2 = x2 + y2 und tan f = y/x berechnet. Ist x > 0, so ist f durch atan(y/x) gegeben, ansonsten ist noch 180° (im Bogenmaß p) hinzuzufügen (oder abzuziehen, was auf dasselbe hinausläuft). Polarwinkel Siehe Polarkoordinaten. Polynom Ein Polynom ist ein Term, der von einer oder mehreren Variablen abhängt und aus diesen (und Zahlen) mit Hilfe der Operationen Multiplikation, Addition und Subtraktion gewonnen werden kann (m.a.W. eine Summe von Monomen). Beispiele für Polynome sind: 5 u5 + 4 u3 - 7 u2 + u - 1 (Polynom in einer Variablen u) 5 a4 b3 + 4 a3 b4 - 7 a2 + b + 6 a2 - 1 (Polynom in zwei Variablen a und b) Hängt ein Polynom von einer Variablen ab, so wird die höchste auftretende Potenz dieser Variable als Ordnung oder Grad des Polynoms bezeichnet. Ein Polynom n-ter Ordnung (n-ten Grades) in der Variablen x kann geschrieben werden als an xn + an-1 xn-1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 , wobei die Zahlen ai Koeffizienten heißen. Ein Polynom zweiter Ordnung heißt quadratisch, ein Polynom dritter Ordnung heißt kubisch. Ein Polynom erster Ordnung wird manchmal als linear bezeichnet (obwohl nach einer anderen Sprechweise diese Bezeichnung für den Fall eines Polynoms erster Ordnung mit a0 = 0 reserviert ist). Als Polynome werden auch die Funktionen bezeichnet, die durch solche Terme dargestellt werden (deren genauere Bezeichnung Polynomfunktionen ist). Polynome, ihre Nullstellen und Graphen Ein Reihe allgemeiner Sätze kann bei der Untersuchung von Polynomfunktionen helfen, wenngleich es für höhere Ordnungen oft nicht möglich ist, exakte Aussagen zu erzielen. Das wichtigste Resultat besagt, dass jedes Polynom p, das bei x0 eine Nullstelle besitzt, in der Form p(x) = (x - x0) q(x) geschrieben werden kann, wobei q ebenfalls ein Polynom ist. Man sagt: Für jede Nullstelle x0 lässt sich der Linearfaktor x - x0 abspalten. (Für Polyome zweiter Ordnung folgt diese Aussage unmittelbar aus dem Vietaschen Satz). Daraus ergibt sich eine Methode, die Nullstellen eines Polynoms dritter Ordnung zu berechnen, wenn eine Nullstelle bekannt ist (z.B. erraten wurde), d.h. ein Verfahren zur Lösung kubischer Gleichungen, das sich insbesondere bei der Bewältigung von Mathematik-Aufgaben besonderer Beliebtheit erfreut. Ist q(x0) = 0, so kann das Verfahren noch einmal angewandt werden, und nach einer endlichen Zahl von Schritten gelangt man zur Darstellung p(x) = (x - x0)n h(x), wobei n eine natürliche Zahl und h ein Polynom mit h(x0) ¹ 0 ist. Nahe der Nullstelle (für x » x0) ist p(x) » c(x - x0)n mit c = h(x0). Daher besitzt jede Nullstelle eines Polynoms eine wohldefinierte Ordnung n. Jedes Polynom der Ordnung m besitzt höchstens m Nullstellen. Jedes Polynom ungerader Ordnung besitzt (zumindest) eine Nullstelle. Diese Zusammenhänge werden im Exkurs ausführlicher dargestellt. Weiters werden globale Eigenschaften, die für das Verständnis der Graphen von Polynomfunktionen relevant sind und ohne die Methoden der Differentialrechnung auskommen (insbesondere Symmetrieeigenschaften, asymptotisches Verhalten, Monotonie und Konvexitätsverhalten) diskutiert. Polynomfunktion auch ganzrationale Funktion genannt, ist eine Funktion, deren Termdarstellung ein Polynom ist. Oft sagt man kurz "Polynom" dazu. Nullstellen und Graphen von Polynomfunktionen niedriger Ordnung zu ermitteln, zählt zu den besonders häufig gestellten Mathematik-Aufgaben. Polynom(funktion) dritter Ordnung bedeutet dasselbe wie Funktion dritter Ordnung. Polynom(funktion) erster Ordnung bedeutet dasselbe wie Funktion erster Ordnung. Polynom(funktion) zweiter Ordnung bedeutet dasselbe wie Funktion zweiter Ordnung. Potenz Eine Potenz ist ein Ausdruck der Form am (ausgesprochen "a hoch n"). Dabei heißt a Basis und m Exponent (oder Hochzahl). Ist m eine natürliche Zahl, so bezeichnet am das m-fache Produkt von a mit sich selbst ("die m-te Potenz von a"): a × a × ... × a. Man sagt auch: "a wird zur m-ten Potenz erhoben". Darüber hinaus kann der Begriff der Potenz für allgemeinere Exponenten erweitert werden: Mittels a0 = 1 (also auch 00 = 1) und a-m = 1/am (für natürliche m) werden ganzzahlige Exponenten zugelassen (a ¹ 0). Für jede natürliche Zahl q bezeichnet a1/q die q-te Wurzel von a (siehe höhere Wurzeln), d.h. jene positive Zahl, deren q-te Potenz a ist (a ³ 0). Durch Hinzunahme der Definition a p/q = (a p)1/q = (a1/q) p für natürliche p, q wird der Begriff der Potenz auf rationale Exponenten ausgedehnt (a ³ 0 bzw. a > 0). Eine Erweiterung auf beliebige reelle Exponenten ist möglich. Auch eine Erweiterung auf komplexe Exponenten (sowie auf komplexe Basen) ist möglich. Diese Erweiterungen sind der Identität am + n = am a n zu verdanken. Für natürliche Exponenten drückt sie lediglich das Abzählen von Faktoren in Produkten aus, aber sie gilt ganz allgemein und ist sowohl für die theoretische Analyse als auch fürs praktische Rechnen bedeutsam. Hier einige weitere Mit Potenzen verbundene Typen von Funktionen sind: Potenzfunktionen: x ® xm für fixes m (siehe Potenzfunktion mit ganzzahligem und reellem Exponenten). Exponentialfunktionen: x ® ax für fixes a (> 0). Anstelle von am wird manchmal auch die Schreibweise a^m verwendet. Das Wort "Potenz" wird bisweilen in quantifizierender Form gebraucht: z.B. die "höchste Potenz" (in einem Polynom), womit "der größte Exponent" gemeint ist. Potenzen mit reellen Exponenten Eine Potenz ax (einer positiven Basis a) kann für jedes beliebige reelle x definiert werden, indem zunächst anstelle von x eine Folge rationaler Zahlen, die sich beliebig nahe an x annähern, betrachtet wird. Die Folge der mit diesen rationalen Zahlen gebildeten Potenzen von a streben einer bestimmten reellen Zahl zu, die als ax definiert wird. Sie ist unabhängig davon, welche rationale Zahlen zur Annäherung an x gewählt werden. Die Rechenregeln für den Umgang mit Potenzen bleiben bestehen, wenn reelle Exponenten zugelassen werden. Der Grund für diese Verallgemeinerung des Potenzbegriffs: Die Abhängigkeit einer Potenz (bei festgehaltener Basis a) von ihrem Exponenten x definiert eine Exponentialfunktion. Um diese als Funktion R ® R betrachten zu können, muss klar sein, was eine Potenz mit einem beliebigen reellen Exponenten ist. Andererseits kann der (reelle) Exponent festgehalten und die Abhängigkeit einer Potenz von ihrer Basis betrachtet werden. Dies definiert eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten. Potenzfunktionen, Ableitungen Die allgemeine Regel zur Berechnung der Ableitung einer Potenzfunktion lautet ( xn ) ' = n xn - 1. Sie gilt für alle reellen Werte von n. Konkrete Beispiele entnehmen Sie Tabelle. Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten ist eine Funktion, deren Termdarstellung eine Potenz, d.h. von der Form x ® xn ist, wobei n eine fix vorgegebene ganze Zahl ist. Der Definitionsbereich einer solchen Funktion (im Rahmen der reellen Zahlen) hängt von n ab: Ist n ³ 0, so ist die Funktion für alle reellen Zahlen definiert. Ist n < 0, so ist die Funktion für alle von Null verschiedenen reellen Zahlen definiert. Spezialfälle: Für n = 1 ergibt sich die identische Funktion x ® x, für n = 0 ergibt sich die konstante Funktion x ® 1, und für n = -1 ergibt sich die Funktion x ® 1/x, die jedem x seinen Kehrwert zuordnet. Steckbrief der Funktionen x ® xn für und ganzzahliges n. Potenzfunktion mit reellem Exponenten ist eine Funktion, deren Termdarstellung eine Potenz mit reellem Exponenten, d.h. von der Form x ® xm ist, wobei m eine fix vorgegebene reelle Zahl ist. Steckbrief der Funktionen x ® xm für und reelles nicht-ganzzahliges m. Potenzmenge wird die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge genannt. Hat eine endliche Menge n Elemente, so hat ihre Potenzmenge 2n Elemente. Jede Menge (also auch jede unendliche Menge) ist nicht gleichmächtig zu ihrer Potenzmenge. Wird von einer unendlichen Menge die Potenzmenge, dann die Potenzmenge der Potenzmenge, davon wider die Potenzmenge - usw. - gebildet, so ergibt sich eine Folge von Mengen, die zwar alle unendlich viele Elemente haben, aber dennoch sukzessive ''immer größer'' werden. p-q-Form der quadratischen Gleichung Siehe Quadratische Gleichung. Primzahlen sind jene natürlichen Zahlen größer als 1, die - außer 1 und sich selbst - keinen Teiler besitzen, d.h. die sich - außer durch 1 und sich selbst - durch keine andere natürliche Zahl ohne Rest dividieren lassen. Primzahlen sind also jene natürlichen Zahlen, die nicht Vielfache kleinerer natürlicher Zahlen sind. Primzahlen sind in gewisser Wiese die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen: siehe Primfaktorzerlegung. Die ersten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Listen von Primzahlen lassen sich systematisch durch das Sieb des Eratosthenes konstruieren. Obwohl es ziemlich einfach ist, zu sagen, was Primzahlen sind, ist die mathematische Theorie, die sich ihnen widmet, sehr schwierig und weist noch viele offene Fragen auf. Seit der Antike ist bekannt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Ein Beispiel für ein offenes Problem ist, ob es unendlich viele ''Primzahlzwillinge'' (wie 17, 19 oder 29, 31) gibt. Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl größer als 1 kann in eindeutiger Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden (die Primfaktoren heißen). In diesem Sinn sind die Primzahlen die ''Bestandteile'' der natürlichen Zahlen. Beispiel: 45 = 32 × 5, wobei der Faktor 3 mit Vielfachheit 2 auftritt. Die Primfaktorzerlegung ist wichtig für die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen, welche wiederum beim Bruchrechnen eine Rolle spielen. Probleme der Mengenlehre Die Idee der Menge als Zusammenfassung wohldefinierter Objekte klingt zunächst sehr einfach und einleuchtend. Das trifft für den hier behandelten Unterrichtsstoff auch zu, hält aber einem Blick in die Tiefe nicht stand: Die uneingeschränkte Erzeugung von Mengen, wie etwa die ''Menge aller Mengen'', führt auf Widersprüche (sogenannte Antinomien). Besonders leicht ist einzusehen, daß die ''Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten'' ein in sich widersprüchliches Konzept ist. Entdeckungen dieser Art haben seit dem Beginn des 20. Jahrhunderts (beginnend mit Ernst Zermelo) zu einem Überdenken der Grundlagen der Mathematik geführt. In der axiomatischen Mengenlehre wird versucht, Regeln für den Umgang mit Mengen auf formale Weise aus möglichst wenigen Grundannahmen (Axiomen) herzuleiten, sodaß Objekte wie die ''Menge aller Mengen'' gar nicht erst auftreten. Ein sehr oft (und auch hier) vertretener Standpunkt ist der, die intuitiven Anschauungen (genannt ''naive Mengenlehre'') zuzulassen, problematische Konstruktionen wie die ''Menge aller Mengen'' (oder auch Mengen, die sich selbst als Element enthalten) aber zu vermeiden. Produkt Siehe Multiplikation. Produktregel Die Ableitung eines Produkts zweier differenzierbarer Funktionen kann mit Hilfe der Formel
  ( f(x) g(x)) ' = f '(x) g(x) + f(x) g'(x)
aus den Ableitungen der Faktoren berechnet werden. Pythagoräischer Lehrsatz Siehe Satz von Pythagoras.

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