Kleinere Schriftzeichen
Beweis von (17) und (18):

sin'(x) = cos x
cos'(x) = - sin x
| (17)
(18)

Um die Ableitung der Sinusfunktion zu berechnen, gehen wir von ihrem Differenzenquotienten

sin(x + e) - sin x e

aus. Seine geometrische Bedeutung geht aus der folgenden Skizze hervor (für die Definition der Sinusfunktion siehe das Kapitel Winkelfunktionen):
Da der grüne Kreis den Radius 1 hat, ist

- sin x durch die Länge der orangefarbenen und
- sin(x + e) durch die Länge der blauen

Strecke gegeben. Die Länge s = sin(x + e) - sin x ist deren Differenz. Der Differenzenquotient ist daher s /e. Sehen wir uns die Verhältnisse näher an, indem wir den strichlierten Kreis vergrößern:
Da alle Winkel im Bogenmaß zu verstehen sind, ist e die Länge des Kreisbogenstücks entlang der gelben Figur. Strebt e gegen 0, so wird die gelbe Figur immer kleiner, und ihre Proportionen nähern sich diesem Dreieck an:
Daraus lesen wir ab: cos x = s /e. Das bedeutet, dass der Differenzenquotient für e ® 0 gegen cos x strebt. Damit ist (17) bewiesen. (Die Beweisführung kann mit mehr Aufwand exakter gestaltet werden, aber wir wollen es dabei belassen. Wir merken lediglich an, dass unsere Skizze für 0 < x < p/2 und e > 0 ausgelegt ist, das Resultat aber für alle reellen x gilt).
Um (18) zu beweisen, könnten wir in analoger Weise vorgehen. Allerdings gibt es, da wir (17) bereits erledigt haben, eine bequemere Möglichkeit: Wir differenzieren beide Seiten der Identität
sin2x + cos2x = 1
nach x und erhalten unter Verwendung von (17) und der Kettenregel (14)
2'sin x cos x + 2'cos x cos'(x) = 0 .
Wir kürzen durch 2'cos x und erhalten genau (18).

Nachbemerkung: Ein rein rechnerischer Beweis ergibt sich, wenn die Summensätze für die Sinus- und Cosinusfunktion

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y ,

die wir im Kapitel Winkelfunktionen besprochen haben, auf den obigen Differenzenquotienten der Sinusfunktion (mit y = e) angewandt werden. Der Beweis reduziert sich unmittelbar darauf, die Grenzwerte

|  | sin e e | = 1
lim
e ® 0

und

|  | 1 - cos e e | = 0
lim
e ® 0

zu bestimmen. Der Vorteil der graphischen Argumentation liegt letzten Endes darin, dies zu vermeiden. Intuitiv wird die Gültigkeit der beiden Formeln klar, wenn wir diese Graphik betrachten:
Für kleiner werdendes e wird die gelbe Figur immer schmaler. Vergleichen Sie auch unsere Bemerkungen über kleine Winkel im Kapitel Winkelfunktionen.