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Bemerkung zur Definition des Absolutbetrags:
Die formale Definition des Absolutbetrags einer reellen Zahl x ist

|x| = { |
x wenn x ³ 0
-x wenn x < 0
| (1)

Daraus folgt, daß immer |x| ³ 0 ist. Weiters ist 0 die einzige Zahl, für die der Absolutbetrag 0 ist. Das kann kurz und bündig als

|x| = 0 Û x = 0
| (2)

formuliert werden.

Der Absolutbetrag erkennt die ''Größe'' einer Zahl, ohne dabei auf das Vorzeichen zu achten. Die Tatsache, daß er das Vorzeichen ignoriert, läßt sich in der mathematischen Symbolsprache als

|-x| = |x|
| (3)

schreiben.

Der Absolutbetrag einer Differenz | x - y | für x, y Î R entspricht gerade dem, was man auch in der Alltagssprache unter dem ''Abstand'' zweier Punkte x, y (auf der Zahlengeraden) versteht. Das Bequeme daran ist, daß man dabei auf die Reihenfolge nicht achten muß, da immer | x - y | = | y - x | gilt (wie aus (3) folgt).

Sind die beiden Punkte x und y voneinander verschieden und liegen nahe beieinander, so ist | x - y | klein (und positiv). Sind sie gleich, so ist | x - y | = 0. Diese Eigenschaft des Absolutbetrags wird im Kapitel Grenzprozesse (in Vorbereitung) verwendet werden, um genau zu definieren, wann eine "Folge" von Zahlen einem bestimmten Wert immer näher kommt.