Lösungen

Durch an = 10n (von n = 1 an betrachtet).
Durch an = 10-n (von n = 1 an betrachtet).
Die Folge konvergiert gegen 1. Das n-te Glied kann als
(1+3/n)/(1+4/n)
geschrieben werden. Wächst n über alle Grenzen, so werden 3/n und 4/n immer kleiner und unterschreiten - nach genügend vielen Schritten - jede beliebige vorgegebene positive Zahl. (M.a.W: als Folgen aufgefasst, konvergieren sie gegen 0, sie sind "Nullfolgen"). Da Addition und Division konvergenter Folgen mit dem Bilden des Grenzwerts vertauschen (sofern vom Nenner keine Explosionsgefahr droht), kann man diese beiden Teil-Ausdrücke weglassen, und es bleibt als Grenzwert der gegebenen Folge 1/1, also 1, übrig.
Ab dem zweiunddreißigsten. Das Program zeigt
a31 = 2.001008064516129
(hier ist die Ungleichung noch nicht erfüllt) und
a32 = 2.0009469696969697
(hier und für alle folgenden Glieder ist sie erfüllt) an.
an nimmt Werte zwischen -1 und 1 an und konvergiert nicht.
(Interessante Zusatzaufgabe: Wenn Sie die Folge genauer betrachten, drängt sich der Verdacht auf, daß nie mehr als vier aufeinanderfolgende Glieder dasselbe Vorzeichen haben. Können Sie das begründen? Tip: sehen Sie sich den Graphen der Sinusfunktion an! Die Erklärung dieses Sachverhalts hat mit der Zahl p zu tun).
bn konvergiert gegen 0. Der Grund: Die Zähler sind zwischen -1 und 1 gefangen, während die Nenner für große n unbeschränkt anwachsen.
Der Code definiert eine Folge auf rekursive Weise: die ersten beiden Glieder sind 1, alle anderen sind die Summe der beiden jeweils vorhergehenden. Sie heißt Fibonacci-Folge. Ihre Glieder heissen Fibonacci-Zahlen und treten nicht selten in natürlichen Mustern auf (z.B. bei der Anordnung der Sonnenblumenkerne, auf Schneckenhäusern und bei der molekularen Feinstruktur der Nervenzellen).