3. Modularisierung des HAK Mathematiklehrplans

Das Ziel der Modularisierung ist es, für das Projekt mathe online Vorschläge zur weiteren Entwicklung zu machen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt dabei auf der Anwendbarkeit des Stoffes für die berufliche Praxis der Kursteilnehmer, die überwiegend aus Klein- und Mittelbetrieben kommen. Vor diesem Hintergrund scheint es wünschenswert, die folgenden drei Bereiche besonders zu berücksichtigen:

Modul | Inhalt
Finanzmathematik 2. Jahrgang HAK | Zinsenrechnung Rentenrechnung Kredit- und Ratengeschäfte Investitionsrechnung
Kosten- und Preistheorie 3. Jahrgang HAK | Kostenfunktion Betriebsoptimum und Betriebsminimum Grenzkosten Erlös- und Erfolgsfunktion
Beschreibende Statistik 4. Jahrgang HAK | Grafische Darstellung Zentralmaße Streuungsmaße Regressions- und Korrelationsanalyse

Die Themen "Beschreibende Statistik" und "Wirtschafts- und Finanzmathematik" wurden von den mathe online Autoren schon selbst in die engere Wahl für die weitere Entwicklung miteinbezogen. Dies erscheint auch im Hinblick auf den HAK Lehrplan sinnvoll. Das Kapitel Kosten- und Preistheorie ist im Wesentlichen eine Anwendung der Differentialrechnung und scheint mir daher nicht allzu aufwändig in der Umsetzung.

Für die Zukunft wäre es wünschenswert, die Kapitel "Beurteilende Statistik" (4. Jahrgang) und "Lineare Optimierung" (1. Jahrgang) in mathe online zu implementieren. Die beurteilende Statistik beschäftigt sich mit der Berechnung von Vertrauensintervallen, Intervallbreiten und Sicherheit, dem Umfang der Stichprobe und dem Testen von Hypothesen. Sie ist vor allem für Marketing und Produktprüfung von Interesse und beantwortet Fragen der Art: "Wie viele Personen muss ich befragen, um eine Aussage mit bestimmter Sicherheit (z.B. 95%) treffen zu können?".

In der folgenden Tabelle sind die von den mathe online Autoren vorgeschlagene Module für den nächsten Entwicklungsschritt angeführt.

mathe online Entwickler | HAK Priorität
Vektoren 1 | Wirtschafts- und Finanzmathematik
Beschreibende Statistik | Beschreibende Statistik
Gleichungssysteme | Kosten- und Preistheorie
Analytische Geometrie 1 |
Potenzen |
Winkelfunktionen |
Exponentialfunktion und Logarithmus |
Funktionen 2 |
Wirtschafts- und Finanzmathematik |
Differenzieren 1 |
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1 |
Integrieren |
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 2 |

- Modul
  Kosten- und Preistheorie

Die Kosten- und Preistheorie beschäftigt sich einerseits mit dem Auffinden der sogenannten Kostenfunktion und andererseits den Möglichkeiten, bei gegebener Kostenfunktion das Betriebsoptimum, das Betriebsminimum, die Grenzkosten sowie Erlös- und Erfolgsfunktion zu berechnen.

Die Kosten- und Preistheorie kann entweder als eigenständiges Kapitel oder als Teil der Differentialrechnung in mathe online integriert werden.

- Bestimmung der Kostenfunktion

Die Kostenfunktion gibt die Produktionskosten pro Stück an. Sie wird aus "Meßwerten" mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate bestimmt werden. Ihr Verlauf kann linear, quadratisch oder kubisch (S-förmig) sein. Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate ist auch im Kapitel Statistik ein wichtiges Thema.

- Das Betriebsoptimum

Kennt man die Kostenfunktion, kann man auch das sogenannte Betriebsoptimum bestimmen. Das Betriebsoptimum ist jene Produktionsmenge, für die die Kosten pro Stück am geringsten sind.

- Das Betriebsminimum

Die Kostenfunktion setzt sich aus zwei Summanden zusammen. Den Fixkosten

KF und den variablen Kosten KV. In gewissen Situationen kann es für Betriebe sinnvoll sein, zumindest die variablen Kosten eines Produktes abzudecken. Dazu ist es erforderlich, den kleinst möglichen Verkaufspreis zu kennen, sodass die variablen Kosten gerade noch abgedeckt werden. Dieser Preis entspricht dem Minimum der variablen Stückkosten KV(x)/x. Das Betriebsminimum ist nun jene Produktionsmenge xmin, bei der genau so viel produziert wird, dass der minimale Verkaufspreis erreicht wird.

- Grenzkosten

Die Grenzkosten geben Antwort auf die Frage, wie stark die Kosten im Durchschnitt ansteigen, wenn die Produktionsmenge erhöht wird (durchschnittlicher Kostenzuwachs pro zusätzlicher Mengeneinheit).

- Erlös- und Erfolgsfunktion

Die Erlösfunktion ist definiert durch die Vorschrift: Erlös = Preis x Stück. Dabei wird der Preis als konstant angenommen. Diese Voraussetzung ist bei atomistischer Konkurrenz gegeben. Von atomistischer Konkurrenz spricht man, wenn viele Anbieter ein gleichwertiges Produkt verkaufen. Ein einzelner Anbieter kann dann den Preis nicht beeinflussen und wird daher versuchen möglichst hohe Stückzahlen abzusetzen. Dabei muss er aber berücksichtigen, dass mit höheren Produktionsmengen auch die Kosten steigen. Gefragt ist also die "günstigste" Produktionsmenge. Dazu definiert man neben der Erlösfunktion noch die Erfolgsfunktion und sucht dann nach dem optimalen Erfolg (Erfolg = Erlös - Kosten). Das ist wiederum eine Anwendung der Differentialrechnung.

Mathematischer Inhalt:

Die Ermittlung des Betriebsoptimums und des Betriebsminimums sind eine Anwendung der Differentialrechnung (Kurvendiskussion). Für die Berechnung des Betriebsoptimums ist es notwendig, das Minimum der Funktion K(x)/x (das sind die Kosten pro Stück) zu finden. Für kubische Kostenfunktionen ergibt sich im allgemeinen eine Gleichung, die mit schulischen Mitteln nur mehr numerisch lösbar ist. Das übliche Verfahren zur numerischen Lösung ist das Newton-Verfahren.

Die Grenzkosten entsprechen der Ableitung der Kostenfunktion. Im Betriebsoptimum müssen die Grenzkosten gleich den Stückkosten sein.

Zur Berechnung des optimalen Erfolges bemüht man wieder die Differentialrechnung (Nullsetzen der ersten Ableitung). Die Erlösfunktion schneidet die Kostenfunktion in zwei Punkten. Diese Punkte sind die sogenannten Gewinnschwellen.

Vorschläge zur Gestaltung

- Beziehung zwischen der Kostenfunktion, den Stückkosten, den variablen Stückkosten und den Grenzkosten grafisch veranschaulichen.

- Ein speziell angepasstes Ableitungspuzzle (finde zur gegebene Grenzkostenfunktion die richtige Kostenfunktion)

- Modul
  Finanzmathematik

- Zins- und Zinseszinsrechnung

In diesem Kapitel wird der Unterschied zwischen einfachem Zins und Zinseszins herausgearbeitet. Ein weiterer wichtiger Inhalt ist die Frage nach äquivalenten Zinssätzen, also die Umrechnung zwischen antizipativem und dekursivem Zinssatz.

- Rentenrechnung

In der Rentenrechnung werden regelmäßige Zahlungen gleicher Höhe behandelt. Es werden Formeln für den Gesamtwert der Rente zu verschiedenen Zeitpunkten (am Anfang bzw. am Ende der Rentendauer) entwickelt. Von großer Bedeutung ist die Formel für die Rentenrate, da sich damit Kreditraten berechnen lassen. Mit den hergeleiteten Formeln lassen sich Erträge beim Prämiensparen und Bausparen sowie Kreditraten für Kleinkredite berechnen.

Mathematischer Inhalt:

Mathematisch fällt die Finanzmathematik am ehesten ins Kapitel Exponentialfunktionen und Potenzrechnung. Die Probleme in der Anwendung liegen meist im nicht ausreichenden Verständnis der Begriffe und in der daraus resultierenden Schwierigkeit, die richtigen Formeln auszuwählen. Ein weiteres Problem ist, dass die auftretenden Formeln relativ unhandlich sind und mühsam mit dem Taschenrechner einzugeben. Die Ergebnisse der Finanzmathematik widersprechen des öfteren den Erwartungen, da die auftretenden Berechnungen alle nichtlinear sind und wir uns gemeinhin auf die Formel "je mehr, desto mehr" verlassen.

Vorschläge zur Gestaltung

Um den Benutzern von mathe online beim Verstehen der Begriffe zu helfen, könnte man "Black-Boxes" für die einzelnen Bereiche der Finanzmathematik entwickeln. Diese Black-Boxes sollten dem Lernenden die Rechenarbeit abnehmen, damit er sich ganz auf die Auswahl der richtigen Black-Box (und damit der richtigen Formel) konzentrieren kann. Die Black-Box frägt die benötigten Eingaben (Zinssatz, Laufzeit, ...) ab. Die wesentliche Aufgabe, die dem Benutzer dann noch verbleibt, ist die Auswahl der richtigen Box und die Eingabe der entsprechenden Zahlen. Das entspricht auch der Anwendungssituation im Beruf, da die Berechnung sehr leicht mit Tabellenkalkulationsprogrammen durchgeführt werden können. Folgende Black-Boxes wären sinnvoll:

- Äquivalente Zinssätze

- Zinseszins: Endkapital, Zinsen, Verzinsungsdauer

- Vorschüssige und nachschüssige Rente: Barwert, Endwert, Rentendauer, Rentenrate

- Modul
  Beschreibende Statistik

In der beschreibenden Statistik geht es um die Erhebung, Auswertung und grafische Darstellung von Daten. Es werden die Zentralmaße und Streuungsmaße erarbeitet. Ein weiterer Teil der beschreibenden Statistik ist die Regressions- und Korrelationsanalyse. Diese beschäftigt sich mit der Bestimmung von Zusammenhängen zwischen Merkmalen. Statistik wird auf die eine oder andere Art von den meisten Firmen betrieben. Sie ist oft die Grundlage für Investitionsentscheidungen und sollte daher gut verstanden werden.

- Zentralmaße

Unter die Zentralmaße fallen die Begriffe "arithmetischer Mittelwert", "gewichteter Mittelwert", "Modus" und "Median". Wichtig ist, die Begriffe und deren unterschiedliche Bedeutung einerseits unterscheiden zu können und andererseits auch deren Beschränkungen zu kennen (was sagt der Mittelwert wirklich aus?).

- Streuungsmaße

Der Mittelwert allein erlaubt noch keine zuverlässigen Aussagen über eine Datenreihe. Oft streuen die einzelnen Werte sehr stark um den Mittelwert. Daher ist es wichtig, die Spannweite (größter weniger kleinster Wert) zu kennen. Die mittlere Abweichung der Werte vom Mittelwert heißt Standardabweichung und liefert eine Aussage darüber, ob die Werte eher nahe beieinander liegen oder weit verstreut sind.

- Regressionsanalyse

Mit Hilfe der Regressionsanalyse lässt sich feststellen ob zwischen zwei erhobenen Merkmalen in den Daten ein Zusammenhang besteht oder nicht (z.B. Arbeitslosenrate und Inflationsrate). Im einfachsten Fall ist der Zusammenhang linear und es ist möglich, die Regressiongerade mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate zu bestimmen. Der Korrelationkoeffizient gibt Auskunft darüber wie stark der Zusammenhang zwischen den Merkmalen ist.

Mathematischer Inhalt:

Die beschreibende Statistik ist ein eigenständiges Kapitel der Mathematik. Sie erfordert keine speziellen höheren mathematischen Kenntnisse und ist vor allem für konkrete Anwendungen sehr wichtig.

Vorschläge zur Gestaltung

- Für die Zentralmaße könnte man ähnlich den Graphenpuzzles verschiedene Verteilungen vorgeben und nach der korrekten Zuordnung der Mittelwerte fragen.

- Um den Lernenden ein besseres Gefühl für die Begriffe zu geben, wäre es sinnvoll wenn sie in einer vorgegebenen Verteilung von Werten eigene Werte hinzufügen (bzw. vorhandene verändern) und die Auswirkungen auf Mittelwert und Standardabweichung beobachten könnten.

- Ähnlich wie im vorigen Punkt beschrieben, wäre es auch für die Regressions- und Korrelationsanalyse sinnvoll, wenn die Lernenden Einfluss auf die Verteilung der Werte in einem Diagramm nehmen und dabei die Auswirkungen auf die Regressionsgerade und den Korrelationskoeffizienten beobachten können.

- Überblick über die Inhalte des HAK-Mathematikstoffs

1. Unterrichtsjahr

2. Zahlen, Variable, Terme

3. Gleichungen und Ungleichungen

4. Reelle Funktionen

5. Lineare Gleichungssysteme und Ungleichungssysteme

6. Potenzen
7. Aussagen, Mengen, Relationen

- Unterrichtsjahr

- Gleichungen und Funktionen

- Exponential- und Logarithmusfunktionen
- Finanzmathematik

- Zinsen
- Rentenrechnung
- Kredit- und Ratengeschäft
- Finanzmathematische Verfahren der Investitionsrechnung
- Trigonometrie
- Analytische Geometrie

- Unterrichtsjahr

- Einführung in die Differentialrechnung

- Untersuchung der Polynomfunktion mit Hilfe der Ableitung

- Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen

- Ausbau der Differentialrechnung

- Integralrechnung

- Kosten und Preistheorie

- Mathematische Modelle in der Kostentheorie
- Kostenfunktion
- Stückkosten und Betriebsoptimum
- Variable Stückkosten und Betriebsminimum
- Grenzkosten
- Mathematische Modelle in der Preistheorie
- Bildung des Marktpreises aus Angebot und Nachfrage
- Erlös- und Erfolgsfunktion

- Unterrichtsjahr

- Beschreibende
Statistik

- Erhebung von Daten

- Häufigkeitsverteilungen und grafische Darstellung

- Klasseneinteilung

- Statistik als Beweis?

- Zentralmaße (Mittelwerte, Median, Modus)

- Streuungsmaße

- Regressionsanalyse, Korrelationsanalyse

- Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

2. Was ist Wahrscheinlichkeit

3. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

4. Binomialverteilung

5. Normalverteilung

6. Schätzbereiche für relative Häufigkeiten

- Grundlegende Methoden der beurteilenden Statistik

1. Vertrauensintervalle

2. Intervallbreite und Sicherheit

3. Testen von Hypothesen

- Lineare Optimierung

1. Graphisches Lösungsverfahren

2. Das Simplexverfahren

- Simulation konjunkturheoretischer Modelle

- Berechnung von Netzplänen