Beweis:

(10 n + 5)2
=
(10 n)2 + 2 ×10 n ×5 + 52
=
100 n2 + 100 n + 25
=
100 n (n + 1) + 25.

Im ersten Schritt wurde die Identität (a + b)2 = a2 + 2a b + b2 verwendet, dann wurden die auftretenden Zahlen ausgerechnet, und im letzten Schritt wurde 100 n aus den beiden ersten Summanden herausgehoben.

Die Kombination n (n + 1) entspricht genau der Regel, die verlangt, die um ihre Einerstelle beraubte ursprüngliche Zahl mit der nächsthöheren zu multiplizieren. Der Faktor 100 "schiebt" das Resultat um zwei Stellen nach links, sodaß an der Zehner- und Einerstelle gerade die Ziffernfolge 25 steht. Damit ist die Regel für alle natürlichen Zahlen n bewiesen.

Wenn Sie obige Rechnung noch einmal durchgehen, so erkennen Sie, daß wir die einfache Quadrier-Regel dem numerischen "Zufall" 2 × 10 × 5 = 100 verdanken.