|

I

Jeder mit einem Begriff verbundene (fettgedruckte) Hyperlink führt in ein Kapitel der Mathematischen Hintergründe. Grün geschriebene Begriffe haben noch keine Eintragung.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

I
  Identische Funktion heißt jene Funktion, die jeden Wert der unabhängigen Variablen auf sich selbst abbildet: x ® x. Sie heißt "identisch", weil ihre Wirkung jeden x-Wert gleichlässt, d.h. weil sie "nichts verändert". Die auf der Menge M definierte identische Funktion wird manchmal mit dem Symbol idM bezeichnet. Identität Eine Identität liegt vor, wenn zwei Terme, die von einer oder mehreren Variablen abhängen, für alle Werte dieser Variablen dieselben Werte annehmen. Anders ausgedrückt ist eine Identität eine Gleichung, die immer - d.h. für alle Werte der Variablen - eine wahre Aussage darstellt. (In der Logistik wird eine solche Aussage auch Tautologie genannt). Terme, zwischen denen Identitäten bestehen, sind gewissenmaßen dieselbe Sache, nur jeweils anders angeschrieben. In diesem Sinn sind Identitäten einfach Rechenregeln. Beispiel: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 Meistens dürfen die Variablen beliebige reelle Werte annehmen, jedoch sind auch Identitäten für andere Zahlenmengen möglich. Beispiel: 1/(1/x) = x ist eine Identität über der Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen. Beispiel: (n + 1)! = (n+1) n! ist eine Identität über der Menge der natürlichen Zahlen (für die Bedeutung der Rufzeichen siehe Faktorielle). Identitäten werden manchmal mit Hilfe des Symbols º ("identisch") ausgedrückt. Das Symbol º wird auch bei der Definition von Funktionen benutzt: Die Schreibweise f º f(x) drückt aus, dass das Argument der Funktion f mit dem Symbol x bezeichnet wird. Implizite Funktionsdarstellung oder implizite Funktionsdefinition meint die Angabe oder Darstellung einer Funktion durch eine implizite Funktionsgleichung, die - im Gegensatz zur expliziten Darstellung - nicht nach der abhängigen Variable aufgelöst ist. Beispielsweise definiert die Gleichung y2 + 2 y + x2 = 0 einen Zusammenhang zwischen den Größen x und y. Wird gefragt, wie y von x abhängt, so muss die gesuchte Abhängigkeit y(x) erst durch Auflösen dieser (quadratischen) Gleichung nach y bestimmt werden. In diesem Beispiel gibt es sogar zwei Funktionen, die durch die gegebene Gleichung dargestellt werden: y±(x) = -1 ± (1 - x2)1/2, und es ist offensichtlich, dass x nicht beliebig vorgegeben werden kann. Die implizite Angabe einer Funktion kann also (im Vergleich zur expliziten Form) die Notwendigkeit einer zusätzlichen Analyse nach sich ziehen, damit überhaupt klar gesagt werden kann, was gemeint ist. Dennoch ist diese Form der Darstellung wichtig: Viele Zusammenhänge (auch in Anwendungsbereichen) treten zunächst implizit in Erscheinung, und manchmal ist es auch ganz einfach bequemer, eine bestimmte Funktion in impliziter statt in expliziter Form anzugeben. Unter den implizit definierten Funktionen gibt es aber auch solche, die gar nicht in expliziter Form dargestellt werden können (siehe Funktionen ohne geschlossene Termdarstellung). Induktionsbeweis oder Beweis durch vollständige Induktion ist eine Beweismethode, die mit der Struktur der natürlichen Zahlen zusammenhängt. Falls für jede natürliche Zahl n eine Aussage An definiert ist (von denen jede zunächst wahr oder falsch sein kann), so ist der Satz ''An ist wahr für alle n Î N'' bewiesen, wenn es gelingt, Folgendes zu zeigen: A1 ist wahr (Induktionsanfang). Aus der (versuchsweise angenommenen) Richtigkeit von An (Induktionsannahme oder Induktionsvoraussetzung) kann auf die Richtigkeit von An+1 geschlossen werden (Induktionsschluß). Es folgt also, daß auch A2 wahr ist, und daraus, daß A3 wahr ist usw. Infinitesimal wurden früher Größen genannt, die man sich sehr klein ("unendlich klein") vorstellte, aber auf eine Weise, die es nach wie vor erlaubt, ihre Quotienten zu bilden. Der Zweck dieser Vorstellung war es, die Ableitung einer Funktion f º f(x) als Quotient df/dx schreiben zu können, wobei dx und df als "infinitesimale" Änderungen (Differentiale) des Arguments und des Funktionswerts gedacht wurden. Daher wurde die Analysis früher auch Infinitesimalrechnung genannt. Der moderne Begriff des Grenzwerts erlaubt es uns heute, auf derart ungenaue Konstruktionen zu verzichten bzw. sie lediglich für Näherungs- und Illustrationszwecke heranzuziehen. Information hat damit zu tun, wieviel wir über etwas wissen. Als Maß dafür dient Aufwand, der nötig ist, um etwas herauszufinden. Der maximale Informationsgewinn, der durch die Beantwortung einer Ja-Nein-Frage erzielt werden kann, heißt ein Bit. Daraus ergibt sich ein Zusammenhang zum Zweier-Logarithmus: Eine von n (gleich wahrscheinlichen) Möglichkeiten zu kennen, stellt eine Information von 2log n Bit dar. In der Computertechnologie wird ein "Alphabet" von 256 ( = 28) Zeichen (Standard-Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen) verwendet. Mit der Speicherung oder Übertragung eines einzelnen Zeichens ist daher eine Information von 8 Bit verbunden. Daher rührt die Verwendung der Einheit 1 Byte = 8 Bit. Injektiv heißt eine Funktion f : A ® B, die jedes Element der Menge B höchstens einmal trifft. Eine solche Funktion heißt auch Injektion. Injektive Funktionen können dadurch charakterisiert werden, daß zwei verschiedene x-Werte immer auch verschiedene Funktionswerte haben. In Formeln bedeutet das: Aus x1 ¹ x2 folgt f (x1) ¹ f (x2). Inkreis eines Dreiecks ist jener eindeutig bestimmte Kreis, der alle drei Seitenlinien des Dreiecks von innen berührt. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelsymmetralen im Dreieck. Er ist einer der vier so genannten merkwürdigen Punkte im Dreieck. Der Inkreisradius ist durch r = A/s gegeben, wobei A der Flächeninhalt des Dreiecks und s der halbe Umfang ist. Integral ist ein gemeinsamer Name für das unbestimmte Integral (die Stammfunktion) und das bestimmte Integral (das als - orientierter - Inhalt der Fläche unter dem Graphen interpretiert werden kann). Diese beiden Integralbegriffe hängen über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung zusammen und bilden das Kernstück der Integralrechnung. Integralrechnung ist jener Zweig der Mathematik, in dem es um Integrale reeller Funktionen, d.h. um deren Stammfunktionen (unbestimmte Integrale) und bestimmte Integrale sowie um die damit zusammenhängenden Methoden geht. Der Ausgangspunkt zu ihrer Entwicklung war das Flächeninhaltsproblem. Zusammen mit der Differentialrechnung ist sie Teil der Analysis. Integrand bedeutet "die zu integrierende Funktion". In der üblichen Schreibweise wird sie durch den zwischen dem Integralzeichen ò und dem Differential-Symbol (z.B. dx) stehenden Ausdruck dargestellt. Integrationskonstante Die Stammfunktion (das unbestimmte Integral) einer gegebenen reellen Funktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig. Diese Konstante heißt Integrationskonstante. In der Aussage ò3x2d x = x3 + c wird sie durch den Zusatz " + c" ausgedrückt. Ihre Existenz bewirkt, dass das Integrieren im strengen Sinn nicht wirklich die "Umkehrung" des Differenzierens ist. Da sie aus der Differenz der Werte einer Stammfunktion an zwei Stellen wieder herausfällt, kann für die Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung eine beliebige Stammfunktion verwendet werden. Integrationsregeln oder Integrationsmethoden dienen dazu, Stammfunktionen zu finden und bestimmte Integrale zu berechnen. Dazu zählen zunächst die elementaren Einschaften des Integrals: òabf(x)d x = - òbaf(x)d x òabf(x)d x + òbcf(x)d x = òacf(x)d x òcf(x)d x = còf(x)d x, d.h. das Integral eines Vielfachen ist das Vielfache des Integrals. ò(f(x) + g(x))d x = òf(x)d x + òg(x)d x, d.h. das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale. Die letzten beiden Eigenschaften gelten sowohl für Stammfunktionen (bis auf eine Integrationskonstante) als auch für bestimmte Integrale. Sie drücken aus, dass das Integrieren eine lineare Operation ist. Zu den Integrationsmethoden, die Integrale manchmal entscheidend vereinfachen, zählen, neben dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, die partielle Integration (die mit der Produktregel verwandt ist), die Substitutionsmethode (die mit der Kettenregel verwandt ist), und, für die Integration rationaler Funktionen, die Partialbruchzerlegung. Welche dieser Methoden zum Ziel führt, lässt sich nicht immer im Voraus sagen. Insbesondere bei schwierigen Integrationsproblemen muss probiert und improvisiert werden. Integrierbar (genauer: Riemann-integrierbar) in einem Intervall [a, b] heißt eine reelle Funktion, für die das Riemann-Integral existiert. Alle stetigen und stückweise stetigen Funktionen sind Riemann-integrierbar. Ein Beispiel für eine nicht Riemann-integrierbare Funktion ist die auf dem Intervall [0, 1] betrachtete charakteristische Funktion der Menge der rationalen Zahlen. Integrieren oder eine Integration ausführen heißt, eine Stammfunktion (d.h. ein unbestimmtes Integral) einer gegebenen Funktion zu finden oder ein bestimmtes Integral zu berechnen. Aufgrund des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kann das Integrieren in gewissem Sinn als "Umkehrung" des Differenzierens angesehen werden. Intervalle sind Teilmengen der Menge der reellen Zahlen, die, in der Deutung von R als Zahlengerade, zusammenhängend sind. Man bezeichnet sie mit Klammern ( ) [ ] und unterscheidet offene Intervalle (wenn die Randpunkte nicht dazugehören), z.B. (-1, 2) = { x Î R | -1 < x < 2 }, abgeschlossene Intervalle (wenn die Randpunkte dazugehören), z.B. [-1, 2] = { x Î R | -1 £ x £ 2 } und halboffene Intervalle wie (-1, 2] = { x Î R | -1 < x £ 2 }. Intervalle können nach oben oder nach unten unbeschränkt sein, wie z.B. R+ = (0,¥) und R0+ = [0,¥), wobei ¥ das Symbol für ''unendlich'' ist. Inverse einer Zahl ist eine andere Bezeichnung für den Kehrwert einer Zahl. Inverse Funktion Ist eine Funktion f : A ® B bijektiv, so kann die mit ihr verbundene Zuordnungsvorschrift "umgedreht" werden. Dadurch entsteht eine andere, die zu f inverse Funktion (Umkehrfunktion oder einfach Inverse) f -1 : B ® A . (Achtung: f -1(x) ist nicht zu verwechseln mit f (x)-1 º 1/ f (x); hier ist die Notation leider nicht konsistent). Manchmal wird die zu f : x ® f(x) inverse Funktion auch in der Form x : f ® x( f ) angeschrieben. Diese Schreibweise drückt die Umkehrung der Zuordnungsvorschrift besonders deutlich aus. Dabei ist allerdings zu beachten, dass x nun eine Funktion bezeichnet und f für die unabhängige Variable steht. Ist eine Funktion nicht bijektiv, so kann sie manchmal durch die Einschränkung auf einen kleineren Definitionsbereich A (und durch die Festlegung B = Wertebereich) zu einer bijektiven Funktion gemacht werden. Ein Beispiel dafür ist das Quadrieren: Zunächst ist es für alle reellen Zahlen definiert. Wird aber A als die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen R 0+ festgelegt (und der dadurch entstehende Wertebereich, der ebenfalls R0+ ist, als B), so ist damit eine bijektive Funktion definiert, deren Inverse das (eindeutige) Bilden der Quadratwurzel ist. Weitere Beispiele für ein solches Vorgehen sind die inversen Winkelfunktionen. Inverse Funktion, Ableitung Die Ableitung einer reellen Funktion f : x ® f(x) ist gleich dem Kehrwert der Ableitung der zu f inversen Funktion x : f ® x( f ). Als Formel lautet diese Regel:
  f '(x) | = | 1 x'( f ) | oder, anders ausgedrückt: |
  df d x | = ( | dx d f | ) | -1 | ,
wobei vorausgesetzt ist, dass f und ihre Inverse existieren und differenzierbar sind. Inverse Funktion: Graph und formale Eigenschaften Der Graph der zu einer bijektiven reellen Funktion f inversen Funktion f -1 geht aus jenem von f durch Spiegelung an der ersten Mediane hervor. Die Inverse einer Funktion f : A ® B kann durch einer der beiden Beziehungen f -1(f (x)) = x "xÎA und f (f -1(y)) = y "xÎB charakterisiert werden. Ausgedrückt durch das Symbol für die Verkettung lauten sie f -1 o f = idA und f o f -1 = idB , wobei idA und idB für die identischen Funktionen auf den Mengen A und B stehen. Hier haben wir den tieferen Grund dafür, warum die inverse Funktion mit dem Symbol f -1 bezeichnet wird: Wird die Verkettung o als eine Art (nicht-kommutativer) Multiplikation von Funktionen und die identische Funktion als die "Eins" aufgefasst, so erinnern diese beiden Beziehungen an die Formel a-1a = 1 für reelle Zahlen. f -1 erscheint "unter der Operation o" als "die Inverse" von f. Inverse trigonometrische Funktionen bedeutet dasselbe wie inverse Winkelfunktionen. Inverse Winkelfunktionen oder Arcus-Funktionen (von lateinisch: arcus = der Bogen) sind die inversen Funktionen der Winkelfunktionen. Die wichtigsten sind Arcus Sinus, Arcus Cosinus, Arcus Tangens und Arcus Cotangens. Da die Winkelfunktionen nicht bijektiv sind, muss eigens festgelegt werden, in welchem Bereich die Werte ihrer Inversen liegen. Da Sinus und Cosinus nicht surjektiv sind, sind für deren Inverse nicht alle Argumente zulässig. Inverse Winkelfunktionen, Ableitungen Die Ableitungen der inversen Winkelfunktionen entnehmen Sie Tabelle. Invertierbar(keit einer Funktion) ist eine andere Bezeichnung für die Bijektivität einer Funktion. Irrationale Zahlen sind jene reellen Zahlen, die nicht rational sind, d.h die sich nicht als Bruch ''ganze Zahl/ganze Zahl'' schreiben lassen. Es sind dies genau jene reellen Zahlen, deren Dezimaldarstellung weder abbricht noch periodisch ist. Die Menge aller irrationalen Zahlen ist so ''groß'', daß sie sich nicht ''durchnumerieren'' lässt. Sie ist (im Gegensatz zur Menge der rationalen Zahlen) überabzählbar. Die rationalen Zahlen, mit denen man es in der Praxis so oft zu tun hat, und die in so vielen Rechenaufgaben vorkommen, bilden genau genommen nur eine verschwindende Minderheit! Beispiele für irrationale Zahlen sind jene Quadratwurzeln aus natürlichen Zahlen, die selbst keine natürlichen Zahlen sind (also Ö2, Ö3, Ö5 ..., siehe Irrationalität von Ö2) sowie die transzendenten Zahlen p und e. Irrationalität von Ö2 Es ist nun seit mehr als zweitausend Jahren bekannt, daß die Diagonale des Quadrats in keinem ''rationalen Verhältnis'' zur Seitenlänge steht, d.h. daß der Quotient Diagonale/Seitenlänge keine rationale Zahl ist. Diese Erkenntnis geht wahrscheinlich auf die Pythogoräer des fünften vorchristlichen Jahrhunderts zurück und dürfte damals eine der ersten Grundlagenkrisen der Mathematik ausgelöst haben. Der Quotient Diagonale/Seitenlänge im Quadrat ist gerade Ö2. Hinter dem trocken klingenden Satz ''Ö2 ist eine irrationale Zahl'' steckt also mehr Geistesgeschichte, als man zunächst annehmen möchte. Erst nach dieser Erkenntnis war der Weg frei zur langsamen Herausbildung des Begriffs der reellen Zahlen. Isomorph ist ein Begriff für die Verwandtschaft zwischen Mengen und Strukturen, der viele Bedeutungen hat. In seiner einfachsten Variante ist er gleichbedeutend mit gleichmächtig. Man könnte ihn etwa mit "ununterscheidbar, wenn durch eine bestimmte Brille betrachtet" oder "gleich hinsichtlich einer bestimmten Struktur" wiedergeben. So sind z.B. hinsichtlich der linearen Struktur zwei beliebige Vektorräume derselben Dimension zueinander isomorph. Das mathematische Symbol für Isomorphie ist @ .

Zum Seitenanfang Zur Galerie Zum Inhaltsverzeichnis der Mathematischen Hintergründe Zu den interaktiven Tests Zu den Mathe-Links und Online-Werkzeugen Zur Welcome Page