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Exkurs: Bruchrechnen

Stichworte:

- Brüche, in denen 1 oder 0 vorkommen
- Brüche, in denen negative Zahlen vorkommen
- Multiplikation von Brüchen
- Kürzen von Brüchen (hier spielt der größte gemeinsame Teiler - ggT - eine Rolle)
- Erweitern von Brüchen
- Division von Brüchen (Doppelbrüche)
- Addition von Brüchen (''auf gemeinsamen Nenner bringen'': hier spielt das kleinste gemeinsame Vielfache - kgV - eine Rolle)

Zuallererst ist wichtig festzuhalten, daß ein Bruch (''reelle Zahl/reelle Zahl'') wieder eine reelle Zahl darstellt. Oft treten Brüche auf, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Solche Brüche stellen rationale Zahlen dar. So ist etwa

| 2 5 | genau dieselbe Zahl wie 0.4
| (1)

Weiters gelten, da das Bilden von Brüchen nichts anderes als Dividieren ist, Regeln wie

| 3 1 | = 3, | 3 3 | = 1 und | 0 3 | = 0.
| (2)

Brüche können auf mehrere - völlig gleichwertige - Arten angeschrieben werden:

| 2 3 | = | 1 3 | × 2 = 2 × | 1 3 |
| (3)

Die Division durch eine Zahl (in diesem Fall 3) ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit ihrem Kehrwert.

Die Regeln für die Multiplikation negativer Zahlen implizieren, daß ein Minuszeichen im Zähler, im Nenner oder vor dem ganzen Bruch stehen darf. Die damit angegebene Zahl ist jedesmal dieselbe. Weiters ist der Quotient zweier negativer Zahlen positiv. Beispiele:

- | 2 7 | = | -2 7 | = | 2 -7 | und | -4 -3 | = | 4 3 | .
| (4)

Das Produkt zweier Brüche wird berechnet, indem die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert werden:

| 2 3 | × | 4 5 | = | 2 × 4 3 × 5 | = | 8 15 | .
| (5)

Daraus folgt, daß ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner weggelassen werden kann. So ist z.B.

| 15 12 | = | 3 × 5 3 × 4 | = | 3 3 | × | 5 4 | = | 5 4 | ,
| (6)

da 3/3 = 1 ist. Diese Methode zum Vereinfachen von Brüchen ist sehr wichtig und heißt ''Kürzen''. Zum Zweck der Dokumentation, wie ein Bruch vereinfacht wurde, kann der gemeinsame Faktor (in diesem Beispiel die Zahl 3) durchgestrichen werden. Obige Rechnung kann also auch so angeschrieben werden:

| 15 12 | = | 3 × 5 3 × 4 | = | 5 4 | .
| (7)

Man sagt, der Bruch ist ''durch 3'' gekürzt worden. Falls nur ganze Zahlen auftreten, ist die günstigste Zahl, durch die gekürzt werden kann, der größte gemeinsame Teiler (ggT) von Zähler und Nenner. Beispiel: Der ggT von 8 und 12 ist 4, daher ist

| 8 12 | = | 2 × 4 3 × 4 | = | 2 3 |
| (8)

die günstigste Vereinfachung. Weiteres Kürzen im Rahmen der ganzen Zahlen ist nicht mehr möglich. (Dasselbe Resultat kann erzielt werden, indem zweimal hintereinander durch 2 gekürzt wird).

Weiters ergibt sich, daß der Kehrwert eines Bruchs berechnet wird, indem Zähler und Nenner vertauscht werden. Der Kehrwert von 3/8 ist 8/3, da

| 8 3 | × | 3 8 | = 1
| (9)

ist.

Der zum Kürzen umgekehrte Vorgang heißt ''Erweitern''.
Beispiel: Können Sie 2/3 als Bruch anzuschreiben, dessen Nenner 12 ist? Da 12 = 3 × 4 ist, können wir schreiben

| 2 3 | = | 2 × 4 3 × 4 | = | 8 12 | .
| (10)

Hier ist also ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner (nämlich die Zahl 4) bewußt hinzugefügt worden, um das gewünschte Ziel zu erreichen. (Die Zahl 4 - die man wissen muß, um den Bruch geeignet erweitern zu können - tritt hier als Antwort auf die Frage ''3 × w i e v i e l = 12?'' auf, d.h. als Resultat der Division 12/3).

Die Division von Brüchen führt auf Doppelbrüche, die mit Hilfe der bisher zusammengestellten Regeln behandelt werden können. So ist etwa, nach zweimaliger Erweiterung,

| 2 3 |
| 5 7 |
| = |
| 2 3 | × 7
| 5 7 | × 7
| = |
| 2 × 7 3 |
5 | = |
| 2 × 7 3 | × 3
5 × 3 | = | 2 × 7 5 × 3 | = | 14 15 | .
| (11)

Dasselbe Resultat kann erzielt werden, indem benützt wird, daß die Division durch 5/7 gleichbedeutend mit der Multiplikation mit 7/5 (dem Kehrwert von 5/7) ist. Ein Doppelbruch kann also immer als einfacher Bruch geschrieben werden. Das Resultat hat die Struktur ''Produkt der Außenglieder/Produkt der Innenglieder'' (wodurch man sich die Zwischenrechnung sparen kann).

Der Umgang mit Doppelbrüchen - und mit Brüchen überhaupt - kann mit Hilfe folgender Überlegung erleichtert werden:
Jeder Bruch bringt ein Schema ''oben/unten'' mit sich. In Doppelbrüchen werden zwei solche Schemata ineinandergeschachtelt, und es gilt:

Jene Zahl, die ''oben oben'' steht, steht im Resultat oben.
Jene Zahl, die ''oben unten'' steht, steht im Resultat unten.
Jene Zahl, die ''unten oben'' steht, steht im Resultat unten.
Jene Zahl, die ''unten unten'' steht, steht im Resultat oben.

Zwei ''unten'' neutralisieren einander also. Das läßt sich auch auf kompliziertere Strukturen als Doppelbrüche anwenden. (Es rührt daher, daß das Bilden des Kehrwerts oben und unten vertauscht, und daß das zweimalige Bilden des Kehrwerts die ursprüngliche Zahl zurückliefert).

Die Addition von Brüchen mit demselben Nenner ist sehr einfach. Beispiel:

| 2 7 | + | 3 7 | = | 2 + 3 7 | = | 5 7 |
| (12)

In Worten: zwei Siebentel + drei Siebentel = fünf Siebentel (gerade so, wie zwei Äpfel + drei Äpfel = fünf Äpfel ist). Die Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner ist ein Spezialfall hiervon, wenn ein Zähler negativ ist. Die Verallgeinerung auf die Addtion von mehr als zwei Brüchen mit demselben Nenner liegt auf der Hand.l

Sollen zwei Brüche mit verschiedenem Nenner addiert werden, so müssen die beiden Brüche zunächst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden, worauf dann die Regel (12) angewandt werden kann. (Daher rührt übrigens die umgangssprachliche Phrase, zwei Dinge ''auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen'', d.h. vergleichbar zu machen). Ein möglicher gemeinsamer Nenner ist immer das Produkt der beiden gegebenen Nenner. Dann wird der erste Bruch mit dem zweiten Nenner erweitert und der zweite Bruch mit dem ersten Nenner. Beispiel:

| 7 12 | - | 8 15 | = | 7 × 15 12 × 15 | - | 8 × 12 15 × 12 | = | 105 180 | - | 96 180 | = | 9 180 | = | 1 20 | ,
| (13)

wobei im letzten Schritt noch eine Vereinfachung durch Kürzen durchgeführt worden ist. Dieselbe Rechnung kann aber auch effizienter ausgeführt werden. Der günstigste gemeinsame Nenner ist immer der kleinst-mögliche! Er kann ermittelt werden als das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden gegebenen Nenner. Das kgV von 12 und 15 ist 60, und daher reicht es aus, beide Brüche auf den Nenner 60 zu bringen. Da 60 = 5 × 12 = 4 × 15, muß der erste Bruch nur mit 5, der zweite nur mit 4 erweitert werden. Die auftretenden Zahlen sind dann nicht mehr so groß wie zuvor:

| 7 12 | - | 8 15 | = | 7 × 5 12 × 5 | - | 8 × 4 15 × 4 | = | 35 60 | - | 32 60 | = | 3 60 | = | 1 20 | ,
| (14)

wobei wieder im letzten Schritt gekürzt wurde. Diese Methode ist immer möglich, wenn beide gegebenen Nenner natürliche Zahlen sind.

Die Addition von mehr als zwei Brüchen kann in analoger Weise durchgeführt werden.

Damit haben wir die wichtigsten Regeln zum Umformen von Brüchen besprochen. Alle komplizierteren Kombinationen von Brüchen können mit ihrer Hilfe vereinfacht werden.

Noch ein Wort zur Angabe von rationalen Zahlen. Manchmal wird eine Zahl wie 3.5 (''dreieinhalb'') als

3 | 1 2 |  | æ è | was 3 + | 1 2 | bedeuten soll | ö ø |
| (15)

angeschrieben. Davon raten wir nachdrücklich ab, da erstens eine Verwechslungsgefahr mir 3 × 1/2 besteht (das Zeichen × wird ja oft einfach weggelassen), und da sich mit der - gleichwertigen - Angabe 7/2 in den meisten Fällen leichter weiterrechnen läßt.

Zuletzt sei nochmals darauf hingewiesen, daß Brüche nicht immer ganze Zahlen beinhalten müssen, wie es bei den hier verwendeten Beispielen der Fall war. So sind etwa

| p 2 | oder | 1 p+1 |
| (16)

perfekte Brüche (d.h. drücken Divisionen aus), wenngleich der Ausdruck ''Bruchzahlen'' (in etwas schlampiger Weise) üblicherweise nur für rationale Zahlen (also Brüche der Form ''ganze Zahl/ganze Zahl'') verwendet wird.