Beispiel mit Überraschung:
Aufgabe: Berechnen Sie
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(1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9) |
| (1) |
durch Ausmultiplizieren der Klammer!
Lösung: Da jeder Summand des ersten Terms mit jedem Summanden des zweiten Terms
multipliziert werden muß, ergibt sich
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1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 |
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- x - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9 - x10 |
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| (2) |
Sie sehen, daß fast alle Summanden mit beiden Vorzeichen vorkommen, sich
also wegheben. (So etwas wird teleskopische Summe genannt. Sie läßt sich
wie ein Hand-Teleskop ''zusammenschieben'').
Es bleibt einfach
übrig. Lesen wir dieses Resultat in umgedrehter Reihenfolge:
Wir haben es geschafft, den Term 1 - x10 als Produkt - nämlich (1) -
darzustellen!
Ausführlich angeschrieben: Es gilt
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1 - x10 = (1 - x) (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9). |
| (4) |
Wieder anders ausgedrückt, haben wir gezeigt, daß
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1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 = |
1 - x10
1 - x
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| (5) |
ist. Wenn wir anstelle von x irgendeine Zahl ( ¹ 1) einsetzen, so
erhalten wir eine wahre Aussage. Wir können dies benützen, um z.B.
(mit x = 1/2)
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1 + |
1
2
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+ |
1
4
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+ |
1
8
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+ |
1
16
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+ |
1
32
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+ |
1
64
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+ |
1
128
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+ |
1
256
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+ |
1
512
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| (6) |
schnell auszurechnen, ohne all diese Terme addieren zu müssen! (Machen Sie es!) (Lösung: Sie müssen nur (1- (1/2)10)/(1-1/2),
also (1 - 0.510) × 2 berechnen! Nehmen Sie einen Rechner zu Hilfe!)
Dasselbe funktioniert für gleich aufgebaute Terme anderer Länge ebenso.
Können Sie eine allgemeine Regel darür formulieren?