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Beweis der kleinen Lösungsformel

Der Beweis beruht auf der Identität
( x + p/2 )2   =  x2 + p x + p2/4 ,
(1)
die sich aus ( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2 ergibt, wenn a = x und b = p/2 gesetzt wird. Sie kann auch als
x2 + p x   =  ( x + p/2 )2 -  p2/4
(2)
geschrieben werden. Während im linken Ausdruck ein x2-Term und ein x-Term vorkommt, enthält der rechte Ausdruck die Variable x nur mehr an einer Stelle, und zwar innerhalb eines Quadrats. Man sagt, x2 + p x ist zu einem vollständigen Quadrat ergänzt worden.

Nun stellt der linke Ausdruck von (2) gerade jene Kombination dar, die in der Normalform der quadratischen Gleichung x2 + p x + q = 0 auftritt. Schreiben wir jene als

x2 + p x   =  - q ,
(3)
so eignet sich (2) hervorragend dazu, die linke Seite zu vereinfachen. Nachdem x2 + p x durch den rechten Ausdruck der Identität (2) ersetzt wird, nimmt unsere quadratische Gleichung die Form
( x + p/2 )2 -  p2/4 = - q .
(4)
an. Auf beiden Seiten wird p2/4 addiert, wodurch
( x + p/2 )2   =  p2/4 - q
(5)
entsteht. Lassen Sie sich von den vielen Buchstaben, die hier vorkommen, nicht verwirren, und konzentrieren Sie sich auf die grobe Struktur dieser Gleichung: Die linke Seite ist ein Quadrat und daher für jeden Zahlenwert von x größer oder gleich 0. Die rechte Seite stellt eine Kombination der Zahlen p und q dar, die vorgegeben sind und die Gleichung charakterisieren.

Beachten Sie daß wir bis zu diesem Punkt nur Äquivalenzumformungen angewandt haben. Die Gleichung (5) ist äquivalent zur gegebenen Gleichung, hat also dieselben Lösungen wir jene. Wir benützen sie als Ausgangspunkt für die eigentliche Lösungsidee.

Die Idee ist zunächst, aus beiden Seiten von (5) die Wurzel zu ziehen, um das Quadrat wegzubekommen. Dabei müssen wir allerdings ein bißchen aufpassen. Es können drei Fälle auftreten:

Falls  p2/4 - q < 0 ist, steht für jedes reelle x auf der linken Seite von (5) eine Zahl, die größer oder gleich 0 ist, und auf der rechten Seite eine Zahl, die negativ ist. Die Aussage, die die Gleichung dann darstellt, ist immer falsch. Es gibt keine reelle Lösung.

Falls p2/4 - q = 0 ist, besagt die Gleichung (5)

( x + p/2 )2  =  0 .
(6)
Wenn das Quadrat einer Zahl 0 ist, ist auch die Zahl 0. Wenn x eine Lösung ist, muß sie also  x + p/2 = 0  erfüllen. Daraus folgt, daß
x   =  - p/2
(7)
die (einzige) Lösung ist.

Falls p2/4 - q > 0 ist, besagt die Gleichung (5), daß das Quadrat von x + p/2 gleich einer (gegebenen) positiven Zahl ist. Daher ist x + p/2 entweder die Wurzel aus dieser Zahl oder das Negative dieser Wurzel. Dies können wir abgekürzt als

x + p/2   =     _______
p2/4 - q
 
(8)
schreiben, wobei das Doppelvorzeichen als ''entweder-oder'' zu lesen ist. Subtrahieren wir p/2 von beiden Seiten, so wird
x   =  - p/2     _______
p2/4 - q
 
 .
(9)
Rechts stehen zwei Zahlen - für jedes Vorzeichen eine -, die direkt berechnet werden können, wenn p und q bekannt sind. Wir finden also zwei Lösungen. Bezeichnen wir sie als x1 und x2, so sind sie durch
x1,2   =  - p/2     _______
p2/4 - q
 
 .
(10)
gegeben.

Aufgrund unserer Beweisführung ist nun auch klar, daß keine weiteren Fälle auftreten können.