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Achtung: Nicht jeder Term definiert eine Funktion R R !!!

Ist eine Funktion durch einen Term gegeben, der für manche Werte der Variablen nicht definiert ist, so muß ihr Definitionsbereich entsprechend eingeschränkt werden.
  1. So ist z.B. der Term 1/x für x = 0 nicht definiert. Daher ist die durch u (x) = 1/x definierte Zuordnung (das Invertieren) nicht auf x = 0 anwendbar. Das läßt sich berücksichtigen, indem u nicht als Funktion R R, sondern als Funktion
     
    R* R

    betrachtet wird, wobei R* die Menge der von Null verschiedenen reellen Zahlen ist.

    Ein gegebener Term kann uns solcherart dazu zwingen, den Definitionsbereich A auf eine Teilmenge von R einzuschränken. (In diesem Beispiel ist A = R*). Um den Definitionsbereich A zu erhalten, müssen alle reellen Zahlen aus R herausgenommen werden, für die der Term nicht definiert ist.

     
  2. Auch die Zuordnung x x (die Wurzelfunktion) führt auf eine solche Einschränkung, denn die Wurzel aus einer negativen reellen Zahl ist nicht definiert. Das Wurzelziehen muß daher als Funktion
     
    R0+ R

    verstanden werden, wobei R0+ die Menge aller nicht-negativen reellen Zahlen bezeichnet (also alle positiven Zahlen, zusammen mit 0). Sie ist der Definitionsbereich der Wurzelfunktion.


Nachbemerkung:

Ganz ähnliche Einschränkungen sind uns bereits im Zusammenhang mit Gleichungen begegnet. Lesen Sie bei Bedarf über den Begriff der Definitionsmenge einer Gleichung im Kapitel Gleichungen nach. Er ist dem hier verwendeten Begriff des Definitionsbereichs einer Funktion eng verwandt.

Wir werden uns mit diesen Funktionen in den Kapiteln Potenzen und Funktionen 2 ausführlicher beschäftigen.