Um die Quotientenregel beweisen zu können, benötigen wir zunächst die Ableitung des
Kehrwerts einer Funktion. Um 1/g(x)
zu differenzieren, berechnen wir den Differenzenquotienten
1
e
(
1
g(x + e)
-
1
g(x)
)
=
-
g(x
+ e) - g(x)
e
1
g(x + e) g(x)
.
Der erste Bruchterm nach dem Minuszeichen auf der rechten Seite strebt für e ® 0
gegen die Ableitung g'(x).
Der im Nenner des zweiten Bruchterms enthaltene Beitrag
g(x + e)
strebt gegen g(x),
womit sich die Regel
(
1
g(x)
)
'
= -
g'(x)
g(x)2
ergibt.
Jetzt können wir die Quotientenregel (13) beweisen: Wir fassen den Quotienten
f(x)/g(x)
als Produkt
f(x) × (1/g(x))
auf und wenden die Produktregel (12) an:
Werden die Summanden auf gemeinsamen Nenner gebracht (indem der erste Bruch mit
g(x)
erweitert wird), so entsteht unmittelbar Formel (13).
Nachbemerkung:
Ein Teil des Beweises bestand darin, die Formel für die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion
herzuleiten.
Eine andere Möglichkeit, diese zu beweisen, ergibt sich, wenn die Kettenregel (14), die in unserer Liste der
Ableitungsregeln als nächste drankommt, vorausgesetzt wird.
Weiters benötigen wir dazu die Ableitungsregel
(1/x) ' = -1/x2.
Wir beweisen sie durch Berechnung des Differenzenquotienten
1
e
(
1
x + e
-
1
x
)
=
-
1
x(x + e)
,
der im Grenzübergang e ® 0
gegen -1/x2
strebt.
Damit können wir die Ableitung eines Kehrwerts berechnen: Die Funktion
x ® 1/g(x)
kann als Verkettung der Funktionen
g ® 1/g
(deren Ableitung gemäß dem soeben erzielten Resultat durch
g ® -1/g2
gegeben ist) und
x ® g(x)
aufgefasst werden, womit sich unter Verwendung der Kettenregel (14)