Zum Beweis der Produktregel schreiben wir zunächst den Differenzenquotienten
der Funktion
x ® f(x) g(x)
an. Er hat die Form
f(x
+ e) g(x + e)
- f(x) g(x)
e
.
Nun kommt ein kleiner Trick: Wir subtrahieren einen Term und geben ihn wieder
dazu, sodass der Differenzenquotient die Form
f(x
+ e) g(x + e)
- f(x) g(x
+ e)
e
+
f(x) g(x
+ e) - f(x) g(x)
e
annimmt. Zuletzt heben wir in jedem der beiden Summanden einen gemeinsamen Faktor heraus:
f(x
+ e) -
f(x)
e
g(x
+ e)
+
f(x)
g(x
+ e) - g(x)
e
.
Für e ® 0
streben die beiden Brüche gegen f '(x)
und g'(x), und
das verbleibende
g(x + e)
strebt gegen
g(x).
Damit erhalten wir genau die Produktregel (12).