Beispiel: Extremwertaufgabe

Beispiel: Extremwertaufgabe:

Aufgabe:

Ein Zylinder soll einer Kugel eingeschrieben werden. Wie ist er zu dimensionieren, damit sein Volumen maximal wird?

Lösung:
Wir bezeichnen den Radius der Kugel mit R, den Radius des Zylinders mit r und die Höhe des Zylinders mit h. Die Zielfunktion ist das Volumen des Zylinders:
V(r, h) = p r² h.
Die Variablen r und h sind nicht voneinander unabhängig - wird eine vorgegeben, so ist die andere damit ebenfalls festgelegt. Wir benötigen daher als Nebenbedingung eine Beziehung zwischen r und h.

Dazu legen wir eine Schnittebene durch Kugel und Zylinder, die normal auf die Deck- und Bodenfläche des Zylinder steht und durch den Kugelmittelpunkt geht. In ihr kann der Zusammengang zwischen r und h einfacher abgelesen werden als in einer Skizze der räumlichen Situation. In der

nebenstehenden Zeichnung ist die Drehachse des Zylinders rot dargestellt. Ein rechtwinkeliges Dreieck ist hervorgehoben: Über den Pythagoräischen Lehrsatz offenbart es die gesuchte Beziehung:
r² + (h/2)² = R².
Wir können sie dazu benutzen, eine der beiden Variablen (r oder h) durch die andere auszudrücken. R spielt hier nicht die Rolle einer Variablen - wir denken uns den Kugelradius als fix vorgegeben. Sollen wir r durch h oder h durch r ausdrücken? Versuchen Sie, beide Möglichkeiten in Gedanken durchzuspielen!

Sehen wir uns die Zielfunktion an: Sie enthält das Quadrat von r, aber h nur in erster Potenz. Wenn wir h durch r ausdrüchen, handeln wir uns einen Wurzelausdruck ein, der uns bei der anderen Möglichkeit erspart bleibt. Genau genommen müssen wir nicht einmal r berechnen - es genügt, die Nebenbedingung in der Form
r² = R² - (h/2)²
zu schreiben. Das kann als Ganzes in die Zielfunktion eingesetzt werden, die damit die Form
V(h) = p (R² - h²/4) h.
annimmt. Die Variable h wird auf das Intervall [0, 2R] eingeschränkt, da die Zylinderhöhe weder negativ noch größer als der Kugeldurchmesser sein kann. Die Aufgabe lautet nun, das globale Maximum dieser Funktion im Intervall [0, 2R] zu finden. (Angenommen, Sie wollen sich ihren Graphen, z.B. mit dem Funktionsplotter, ansehen. Wie gehen Sie damit um, dass die Größe R im obigen Funktionsausdruck steht?)

Ab jetzt kann das Problem Schritt für Schritt gelöst werden:

V nach h differenzieren: V '(h) = p (R² - 3h²/4).
Die Gleichung V '(h) = 0 lösen: Als Lösungen ergeben sich h = ±(4/3)^1/2R, von denen nur die positive im Intervall [0, 2R] liegt.
Sicherstellen, dass h = (4/3)^1/2R das gesuchte Maximum ist: An den Rändern des Intervalls ergibt sich V(0) = V(2R) = 0. An der Kandidatenstelle ist V > 0. (Berechnen Sie den genauen Wert!) Da es keinen anderen Kandidaten für ein lokales Extremum gibt, muss h = (4/3)^1/2R eine globale Maximumstelle sein - an keiner anderen Stelle kann die Funktion V größer sein als dort.
Die Werte der noch unbestimmten Variablen bestimmen: Es ergibt sich r = (2/3)^1/2R.
Die Lösung interpretieren, eine Zeichnung der Lösungsfigur anlegen (das lassen wir Ihnen über) und - wenn möglich - in Worte fassen: Der Zylinder mit dem maximalen Volumen ergibt sich, wenn
h = (4/3)^1/2 R » 1.1547 × R
bzw.
r = (2/3)^1/2 R » 0.8165 × R
gewählt wird. Das Verhältnis h/r ist dann 2^1/2. Das maximale Volumen beträgt (rechnen Sie nach!) 3^-1/2 mal dem Kugelvolumen. (Das sind etwa 58% des Kugelvolumens).

Bemerkungen: Wir hätten einige Dinge einfacher machen können:

Wir hätten von Beginn an R = 1 wählen, d.h. das gestellte Problem für die Einheitskugel lösen können. Alle Proportionen wären gleich geblieben, und am Ende hätten die richtigen Potenzen von R durch Dimensionsüberlegungen wiederhergestellt werden können.
Sinnvoll wäre es auch gewesen, die halbe Höhe anstatt der ganzen als Variable zu wählen. Sowohl in der Zielfunktion als auch in der Nebenbedingung hätten wir uns dann Bruchzahlen erspart.
Auf den Vorfaktor p hätten wir von Beginn an verzichten können: Wo pr²h maximal ist, ist auch r²h maximal (und umgekehrt).

Weiterführende Übungsaufgaben: Lösen Sie dasselbe Problem auf drei andere Arten:

Durch Ausnutzung aller gerade aufgezählten Vereinfachungen!
Indem Sie die Nebenbedingung nach h (statt nach nach r) auflösen und den entstehenden Wurzelausdruck differenzieren!
Indem Sie die Nebenbedingung nach h (statt nach nach r) auflösen und den entstehenden Wurzelausdruck dadurch wieder loswerden, dass sie als Zielfunktion das Quadrat des Volumens verwenden! (Wieso ist das zulässig?)

Stellen Sie sicher, dass sich in allen drei Berechnungsvarianten dasselbe Resultat ergibt!