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Einleitung:
Ungleichungen - ein erster Überblick

                                          
 

Was ist eine Ungleichung?

    
 

Anders als bei Gleichungen sind Terme der linken & der rechten Seite einer Ungleichung durch ein
Ungleichheitszeichen (<, ≤, >, ≥ oder  ≠) verbunden.

Oft ist es ratsam sich eine Ungleichung an einem Zahlenstrahl zu veranschaulichen.

 

Einführung an der Zahlengeraden:

a < b bedeutet anschaulich, dass die Zahl a auf der Zahlengeraden links von der Zahl b liegt.

 

 

Beispiele

 
 

 

    
 

Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung dasselbe addiere?
Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen nach rechts, der Abstand bleibt derselbe, linke Seite bleibt kleiner rechte Seite.

 

    
 

 

    
 

Was passiert, wenn ich auf beiden Seiten der Ungleichung dasselbe subtrahiere? Die Punkte auf dem Zahlenstrahl rutschen nach links, der Abstand bleibt (wie bei der Addition) derselbe, linke Seite bleibt kleiner rechte Seite.

Addition und Subtraktion sind Äquivalenzumformungen, bei denen sich nichts am Abstand ändert (das Ungleichheitszeichen bleibt unverändert).

 

    
 

 

    
 

Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziere bzw. durch dieselbe positive Zahl dividiere?

Die Bildpunkte ändern ihre Entfernung, der Bildpunkt von a liegt aber weiterhin links vom Bildpunkt von b.

 

    
 

Was passiert, wenn ich beide Seiten der Ungleichung mit (–1) multipliziere?
Dies bedeutet eine Spiegelung der Punkte am Nullpunkt, der Bildpunkt von a liegt nun rechts vom Bildpunkt von b.

 

    
 

 

    
 

Das bedeutet, dass sich das Ungleichheitszeichen ändert:

a < b => -b < -a

 

    
 

Darstellung aus Reichel 5 (Kap. 6.0):

 

    
 

    
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