Lösung:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir von einem Kreis mit Radius r ³ 2 und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems ausgehen. Der Abstand zwischen x1 und x2 beträgt 4 cm (inch).

Der Kreisbogen ist definiert durch für [ -r, r ], r > 0. Durch Drehung des Kreisbogens im Intervall [ x1, x2 ] um die x-Achse entsteht ein beidseitiger Kugelstumpf. Diesen Kugelstumpf müssen wir uns noch ausgehöhlt denken, d.h. das Volumen des ausgebohrten Zylinders ist vom Volumen des Kugelstumpfs zu subtrahieren.

Sei VK das Volumen des Kugelstumpfs und sei VZ das Volumen des Zylinders. Gesucht ist das Volumen des sphärischen Rings VR und es gilt VR = VK - V Z.

Zur Lösung benutzen wir folgendes Ergebnis der Integralrechnung:

 

Also ist

Die Funktionsgleichung durch deren Rotation der Zylinder entsteht ist eine
Gerade y = f(x) = c, mit konstantem c. Der Wert von c ist offensichtlich
gleich dem Wert der Kreisgleichung am Punkt x2.

Also und

Rechnen wir die Integrale nun aus und nutzen dabei die bisher ignorierte
Tatsache, daß der Kreisbogen symmetrisch zur y-Achse liegt und x1 = -x2 ,
sowie | x2 | = 2 ist:

 

Mit x2 = 2 folgt:

Das Überraschende an diesem Ergebnis:

[Folgerung 1]: Die Lösung ist eine Konstante. Sie hängt nicht vom Radius r ab.

[Folgerung 2]: Das gesuchte Volumen ist gleich dem Volumen einer Kugel mit
                      Radius 2 cm.

Es gilt sogar

               [Folgerung 1] <=> [Folgerung 2]

denn wenn das Ergebnis nicht vom Radius abhängt, dann betrachten wir die
Aufgabe mit r = 2. Ein zylindrisches Loch mit Höhe 4, das durch eine Kugel
mit Durchmesser 4 gebohrt wird, ist aber nicht mehr als eine Linie und hat das
Volumen 0.

In diesem Grenzfall (r=2) ist das gesuchte Volumen identisch mit dem
Volumen der Kugel. Da das Ergebnis nicht vom Radius abhängt, gilt diese
Lösung auch für alle anderen Radien.
Umgekehrt: wenn die Lösung konstant ist, dann hängt sie auch nicht vom
Radius ab.

Bemerkung: eine meiner Lieblingsaufgaben! Ich suche noch nach einer
Lösung, die ohne Verwendung von Ergebnissen der Integralrechnung
auskommt.
Am liebsten möchte ich die Lösung rein geometrisch finden.

Anmerkungen und Ergänzungen nehme ich gerne entgegen.

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