Ein Mittel, um Ordnung zu schaffen oder abzubilden, sind Zuordnungen und Funktionen.

 

Elementen der Menge werden immer Elemente der Menge zugeordnet:

Menge der
durchnummerierten SchülerInnen einer Klasse
{1;2 ... 27}
(Definitionsmenge )		  

wird zugeordnet

 Menge der Schuhgrößen
{37;38 ... 49}
(Wertemenge )
x |→ y
Schüler 1 |→ Schuhgröße 41
Schüler 2 |→ Schuhgröße 38
Schüler 3 |→ Schuhgröße 37
...    

Man kann alles jedem zuordnen, also z.B.

Dabei ist klar: Mathematik kann vieles behandeln, aber nicht alles.

Mathematiker interessieren sich vor allem für Zuordnungen von Zahlen zu Zahlen.

(Selbstverständlich geht durch die Reduktion auf reine Zahlen viel verloren, ja wird Mathematik potentiell gemeingefährlich. Vgl. )

Für die Elemente aus verwendet man üblicherweise die Variable x und für die Elemente aus üblicherweise die Variable y.
x ist die Ausgangs- bzw. "freie" Variable, y die "abhängige" Variable, d.h. üblicherweise wird x frei gewählt und daraus das zu x passende y berechnet (und nicht umgekehrt):

x y

Von besonderem Interesse ist, wie sich y ändert, wenn man x vergrößert.

Z.B.:

  • Wie verändert sich y, wenn ich x verdopple? Wird dann auch das y verdoppelt?
    (Womit eine proportionale Funktion vorläge.)
    Oder nimmt bei steigendem x das y  ab?
    Oder tut bei steigendem x das y  mal das eine (zunehmen), mal das andere (abnehmen) - und warum?
  • Wie verändern sich die politischen Einstellungen (hin zur CDU und FDP?), wenn jemand Karriere macht, also mehr Geld verdient (also auch mehr zu verlieren hat)?

Grafisch werden die x-Werte im Koordinatensystem immer auf der waagerechten x-Achse aufgetragen und die y-Werte immer auf der senkrechten y-Achse (vgl. auch ).

Die Betrachtung eines Funktionsgraphen findet immer für wachsende x statt, d.h. der Graph wird grundsätzlich

von links nach rechts
 

"gegangen" (und nie umgekehrt!).

(Deshalb ja auch zeigt der Pfeil an der x-Achse nur nach rechts, obwohl die x-Achse natürlich nach beiden Seiten ins Unendliche geht.)

MathematikerInnen beschäftigen sich insbesondere mit Zuordnungen von ganzen Intervallen aus   zu ganzen Intervallen (oftmals ganz ), was den Vorteil hat, dass in der grafischen Darstellung nicht nur Einzelpunkte, sondern viel anschaulichere durchgehende Linien zustande kommen:

Wenn kontinuierliche Intervalle vorliegen, ist es auch sinnvoll, vom Definitions- und Wertebereich zu sprechen

MathematikerInnen beschäftigen sich insbesondere mit Zuordnungen von ganzen Intervallen aus   zu ganzen Intervallen (oftmals ganz ), was den Vorteil hat, dass in der grafischen Darstellung nicht nur Einzelpunkte, sondern viel anschaulichere durchgehende Linien zustande kommen:

Mathematiker lieben Zuordnungen, die in allen Fällen nach einer einzigen Regel verlaufen, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y berechnen kann.

Geregelte Zuordnungen stellen

  • eine (!) allgemeine Regel auf,

  • einen (!) prinzipiellen Zusammenhang dar
    (der noch unabhängig vom Einzelfall ist bzw. für jeden der unendlich vielen möglichen Einzelfälle gilt).

 

  1. Die Grundform der Zuordnungsgleichung ist immer

y = ,

wobei das Kästchen für die Standardregel steht, mittels derer man zu jedem x sein zugehöriges y erhält. Man kann sich das Kästchen auch als eine Maschine vorstellen, die aus jedem x automatisch sein zugehöriges y macht:

Ein Beispiel ist die (egal was)hoch 3-Maschine:

Diese (egal was)hoch 3-Maschine verarbeitet nun sämtliche reellen Zahlen in ihre zugehörigen y-Werte, also z.B. x = 2:

                    

2

2³=8

 

MathematikerInnen brauchen klare und eindeutige Verhältnisse.
Dementsprechend mögen sie auch keine Zuordnungen, bei denen einem x aus mehrere y aus zugeordnet werden, also z.B. einem Kind mehrere Lieblingskuscheltiere oder einem Menschen zwei Eigenschaften  (Haarfarbe und Schuhgröße).

Die umgekehrte Zuordnung

Schuhgröße  |→ Schüler

ist aber üblicherweise nicht eindeutig, denn zu jeder Schuhgröße kann es mehrere Schüler mit dieser Schuhgröße geben

Zuordnungen, die auf dem gesamten Definitionsbereich eindeutig sind, nennt man auch "Funktionen".

Untenstehender Graph stellt keine eindeutige Zuordnung (Funktion) dar, da jedem x nicht nur 1 y zugeordnet wird, sondern  jedem x werden 2 y zugeordnet (Ausnahme ist die Stelle 0).

 

 

http://www.stauff.de/matgesch/dateien/anschaulich.htm

 

Ein Beispiel einer eindeutigen Zuordnung sind Handygesprächsminuten und die Kosten:

Renate kostet ihr Wertkartenhandy pro Gesprächsminute € 0,5.
Wir stellen die Zuordnung zwischen den Gesprächsminuten und den Kosten auf verschiedene Arten dar, wobei die Definitionsmenge und die Wertemenge der Bereich der positiven reellen Zahlen (inkl. Null) sind.

 

Schreibweisen, um Funktionen zu charakterisieren

 

Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil


besteht darin, nach dem Namen der Funktion einen Doppelpunkt zu machen und die Zuordnungsvorschrift mit einem Pfeil zu kennzeichnen:

f :  x ® 0,5x
 

Sprechen Sie den Pfeil als "wird zugeordnet" aus!

 

Die Schreibweise mit Zuordnungs-Pfeil drückt aus, was mit der Eingabe-Zahl geschieht. Der Buchstabe oder das Symbol, mit der diese bezeichnet wird, ist dabei völlig belanglos! (Im Englischen wird so ein Symbol als dummy variable bezeichnet, im Deutschen nennt man es manchmal Platzhaltervariable.)

Schreibweise mit "von"-Klammer

 
Betrachten wir wieder die Funktion  f : x ® 0,5 x. Klarerweise hängt die Ausgabe von der Eingabe ab. Sehr oft möchte man dieses Abhängigkeitsverhältnis in der Schreibweise noch einfacher zum Ausdruck bringen. Dies wird bewerkstelligt, indem die Wirkungsweise der Funktion in der Form

f(x) = 0,5x

angeschrieben wird. Dabei benützt man den Namen der Funktion und ein Paar runder Klammern, in das ein Symbol (hier x) für die Eingabe-Zahl gesetzt wird. Obige Zeile wird so ausgesprochen: "f  von x ist gleich 0,5 x".

Die Zeichen "f (x)" werden als "f  von x" ausgesprochen. Daher auch unsere Bezeichnung "von"-Klammer.

Bei dieser Schreibweise gilt allgemein das Schema

Funktionsname(Eingabe-Zahl) = Ausgabe-Zahl.

So haben wir etwa  f (2) = 1

http://www.mathe-online.at/mathint/fun1/i.html

Wertetabelle, wobei f(x) = y
 

Wenn wir irgendeine Funktion - also eine Zuordnungsvorschrift, wie jeder Zahl (wir nennen sie x) wiederum eine Zahl (der Funktionswert) zugeordnet wird - gegeben haben, ist es manchmal notwendig, sich einen groben Überblick zu verschaffen, wie sie wirkt. Eine Möglichkeit, sich einen ersten Überblick zu verschaffen, sind sogenannte Wertetabellen. Damit ist gemeint, in Form einer Tabelle mehrere x-Werten den zugehörigen Funktionswerten gegenüberzustellen, also einige Beispiele für die Wirkung der Funktion anzuschreiben.  

x in Minuten 0 1 3 10
y in € 0 0,5 1,5 5

Graph: