ℕ, ℤ, ℚ, und ℝ bezeichnen unterschiedliche AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei von Zahlen. Diese haben unterschiedliche Eigenschaften.
ℕ ist die einzige Menge, bei der ein kleinstes Element angegeben werden kann. In ihr können nur die Operationen der AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei und AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei unbeschränkt durchgeführt werden. Andere Operationen können aus der Menge der natürlichen Zahlen herausführen.
ℤ, die Menge der AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei Zahlen, ist dadurch charakterisiert, dass sich zu jeder Zahl immer AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei Nachbarn angeben lassen. Es gibt weder eine größte, noch eine kleinste ganze Zahl. Die einzige Operation, die aus ℤ herausführen kann, ist die AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei.
In ℚ, der Menge der AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei Zahlen, sind hingegen alle Operationen unbeschränkt zulässig. Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b kann immer eine weitere rationale Zahl gefunden werden, die zwischen a und b liegt. Man sagt, die Menge der rationalen Zahlen ist AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei.
Dennoch füllen die rationalen Zahlen den Zahlenstrahl nicht ganz aus, es bleiben "Löcher". Die Wurzel aus 2 ist z.B. eine AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei Zahl. Zum "Stopfen dieser Löcher" werden die rationalen Zahlen auf ℝ, die Menge der AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei Zahlen, erweitert. Jedem Punkt auf der Zahlengerade entspricht so eindeutig eine reelle Zahl. Man sagt: Die Menge ℝ der reellen Zahlen ist AdditiondichtDivisionganzenirrationaleMengenMultiplikationrationalenreellenvollständigzwei.