Vektorielles Produkt

Definiton

Die Addition von Vektoren liefert wieder Vektoren, die Multiplikation von Vektoren reelle Zahlen.
Man kann das Produkt zweier Vektoren wieder zu einem Vektor definieren, geht allerdings nur im R3.

 Berechnungsschema des vektoriellen Produkt (auch Kreuzprodukt genannt)

Eigenschaften des vektoriellen Produkts:

Der Vektor (Overscript[c, ->]) = (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) heißt vektorielles Produkt der Vektoren (Overscript[a , ->])und (Overscript[b, ->]) und hat folgende Eigenschaften:

1.) (Overscript[c, ->]) steht normal auf  (Overscript[a , ->])und (Overscript[b, ->]) 

2.) Der Betrag von  (Overscript[c, ->]), also | (Overscript[c, ->]) | ist gleich dem Flächeninhalt des von (Overscript[a , ->])und (Overscript[b, ->]) aufgespannten Parallelogramms.
	| (Overscript[c, ->]) | = |(Overscript[a , ->]) x (Overscript[b, ->]) | = |(Overscript[a , ->])| *  |(Overscript[b, ->]) | * sinθ
	
3.) Die Vektoren (Overscript[a , ->]),(Overscript[b, ->]) und (Overscript[c, ->]) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Um dies festzustellen, verwendet man die Rechtschraubenregel: Wird der Vektor (Overscript[a, ->]) auf dem kürzesten Weg zum Vektor (Overscript[b, ->]) gedreht, so würde eine Rechtsschraube dabei in Richtung (Overscript[c, ->]) bewegen. Damit ist die Orientierung von (Overscript[c, ->]) festgelegt.

Mit diesem Produkt kann man den Normalvektor einer Ebene bestimmen, indem man die beiden Vektoren  (Overscript[a , ->])und (Overscript[b, ->]) kreuzt.

Rechengesetze und Eigenschaften

es seien  (Overscript[a , ->])und (Overscript[b, ->])  Vektoren, t eine Zahl ϵ ℝ

-)  (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[b, ->])  = - ( (Overscript[b , ->]) x (Overscript[a, ->]) )
-) (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[0 , ->]) =  (Overscript[0 , ->]) 
-)   (Overscript[a , ->])x(Overscript[a , ->]) = (Overscript[0 , ->]) 
-)   (Overscript[a , ->]) ||  (Overscript[b, ->])  ⇔   (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[b, ->])  =   (Overscript[0 , ->]) 
-) t * ( (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[b, ->])  ) = (t * (Overscript[a , ->]) ) x  (Overscript[b, ->]) = (Overscript[a , ->]) x ( t *  (Overscript[b, ->]) )
-) (Overscript[a , ->]) x ((Overscript[b , ->]) ±  (Overscript[c, ->]) ) = ((Overscript[a , ->]) x  (Overscript[b, ->]) ) ± ( (Overscript[a , ->]) x   (Overscript[c, ->])) d.h. es gilt das Distributivgestez
-)  (Overscript[a , ->]) x ((Overscript[b , ->]) x  (Overscript[c, ->]) )  ≠  ((Overscript[a , ->]) x (Overscript[b , ->])) x  (Overscript[c, ->]) d.h das Assoziativgesetz gilt nicht
-) ( (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[b, ->]) )2 =   (Overscript[a , ->])2  (Overscript[b , ->])2  - ( (Overscript[a , ->]) (Overscript[b, ->]))2
-) aus der Gleichung  (Overscript[a , ->]) x  (Overscript[x, ->]) =  (Overscript[b  , ->]) ist  (Overscript[x, ->]) nicht eindeutig bestimmbar.