Verwendung des vektoriellen Produkt

Das vektorielle Produkt wird verwendet für:

1.) Flächenberechnungen
2.) Volumsberechnungen

Flächenberechnungen:

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt: 
A = | (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) | oder A = (Sqrt[|(Overscript[a, ->])((|)^2) * |(Overscript[b, ->])((|)^( 2)) - ((((Overscript[a, ->]) * (Overscript[b, ->])))^2)])

Um also den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen zu können, braucht man das vektorielle Produkt zwischen den beiden Richtungsvektoren. 
Anschließend nimmt man vom Ergebnis den Betrag davon, das heißt wir berechnen die Länge des Normalvektors.

Beispiele

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD [ A(3/1/4), B(5/5/0), C, D(1/-1/3)].

(Overscript[a, ->]) = (Overscript[AB, ->]) = (({{2}, {4}, {-4}})) 

(Overscript[b, ->]) = (Overscript[AD, ->]) =(({{-2}, {-2}, {-1}}))  

A = |(Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) | = |  (({{2}, {4}, {-4}})) x (({{-2}, {-2}, {-1}}))   | = | (({{-12}, {10}, {4}}))   | = (Sqrt[(((-12))^2)+ (10^2) + (4^2)])= (Sqrt[260])⇒ 16,1 FE



Für die Fläche eines Dreiecks verwendet man dieselbe Formel nur mit  (1/2) multipliziert.
A= (1/2) * | (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) |

Beispiel

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC [ A(7/3/4), B(9/-1/5),  C(1/1/-6)].

(Overscript[a, ->]) =  (Overscript[AB, ->]) =(({{2}, {-4}, {1}}))  

(Overscript[b, ->]) = (Overscript[AC, ->]) =(({{-6}, {-2}, {-10}}))   

A = (1/2) * |(Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) | = (1/2) * | (({{2}, {-4}, {1}}))   x(({{-6}, {-2}, {-10}}))      | = (1/2) * | (({{42}, {14}, {-28}}))   | = (14/2) * | (({{3}, {1}, {-2}}))  | = 7 * (Sqrt[(3^2) + (1^2) + (((-2))^2)])= 7* (Sqrt[14]) ⇒ 26,19 FE

Volumsberechnungen:

Wir werden drei verschiedene Volumsberechnungen durchführen.

a.) Parallelepiped:

Ein Parallelepiped wird von drei Vektoren (Overscript[a, ->]), (Overscript[b, ->])  und (Overscript[c, ->]) aufgespannt. Das Volumen lässt sich folgerdermaßen berechnen:
V= | ((Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->])) * (Overscript[c, ->]) |

Beispiel

Berechne das Volumen des von den Vektoren (Overscript[a, ->]) = (({{2}, {1}, {3}}))   , (Overscript[b, ->])=(({{4}, {-2}, {1}}))  und (Overscript[c, ->])=(({{-2}, {1}, {5}}))   aufgespannten Parallelepipeds.

(Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->])=(({{2}, {1}, {3}})) x (({{4}, {-2}, {1}})) =(({{7}, {10}, {-8}}))

V= | ((Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->])) * (Overscript[c, ->]) | = |  (({{7}, {10}, {-8}}))* (({{-2}, {1}, {5}}))   | = | -14 + 10 - 40 | = | -44 | = 44 VE

b.) Pyramide:

Für das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gilt:  V=((G * h)/3), mit der Gurndfläche | (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) | und der Höhe  h= (((Overscript[a, ->])x(Overscript[b, ->]))/(| (Overscript[a, ->])x(Overscript[b, ->]) |))* (Overscript[c, ->]) 

V = (1/3)* | ( (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) ) * (Overscript[c, ->]) |

Beispiel:

Berechne das Volumen der Pyramide mit dem Parallelogramm ABCD [ A(-3/-2/2), B(2/-2/3), C, D(0/1/4) ] als Grundfläche und der Spitze S(4/3/2).

 (Overscript[a, ->]) =  (Overscript[AB, ->]) =(({{5}, {0}, {1}}))  
 
  (Overscript[b, ->])  =  (Overscript[AD, ->]) =(({{3}, {3}, {2}}))
  
  (Overscript[c, ->]) =  (Overscript[AS, ->]) =(({{7}, {5}, {0}}))  
  
  (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) = (({{5}, {0}, {1}}))   * (({{3}, {3}, {2}})) =  (({{-3}, {-7}, {15}}))
  
V = (1/3) *   | ( (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) ) * (Overscript[c, ->]) | = (1/3) * | (({{-3}, {-7}, {15}})) * (({{7}, {5}, {0}}))   | = (1/3) * | -21-35 | = (1/3) * | -56 | = (56/3)≈18,7 VE

c.) Pyramide:
Für das Volumen einer Pyramide mit einem Parallelogramm als Grundfläche gilt:  V=((G * h)/6), mit der Gurndfläche ((|(Overscript[a, ->])x(Overscript[b, ->]) |)/2) und der Höhe  h= (((Overscript[a, ->])x(Overscript[b, ->]))/(| (Overscript[a, ->])x(Overscript[b, ->]) |))* (Overscript[c, ->]) 
V= (1/6)* | ( (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) ) * (Overscript[c, ->]) |

Beispiel:

Berechne das Volumen einer Pyramide ABCD [ A(1/-1/3), B(3/0/6), C(7/-1/1), D(4/2/6) ] mit einem Dreieck aus Grundfläche.

 (Overscript[a, ->]) =  (Overscript[AB, ->]) = (({{2}, {1}, {3}}))  
 
  (Overscript[b, ->])  =  (Overscript[AC, ->]) =(({{6}, {0}, {-2}}))   
  
  (Overscript[c, ->]) =  (Overscript[AD, ->]) = (({{3}, {3}, {3}}))  
  
   (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) = (({{2}, {1}, {3}}))  *  (({{6}, {0}, {-2}}))  = (({{-2}, {22}, {-6}}))  
   
   V=(1/6)* | ( (Overscript[a, ->]) x (Overscript[b, ->]) ) * (Overscript[c, ->]) |= (1/6)* | (({{-2}, {22}, {-6}}))   * (({{3}, {3}, {3}}))  | = (1/6)* | -6 + 66 -18 | = 7VE