Lagebeziehung zwischen Ebene und Gerade

Allgemeines

Die Gerade wird immer in Parameterform angegeben, die Ebene immer in Normalform.

Es gibt drei Arten welche Lagebeziehung die Ebene zur Gerade einnehmen kann:

1.) Die Gerade g liegt in der Ebene
2.) Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt
3.) Die Gerade liegt parallel zur Ebene

Gerade liegt in der Ebene:

g liegt in E,
g ⋂ E = g
(Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) ⊥ (Subscript[(Overscript[a, ->]), g])  ⟺ (Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) * (Subscript[(Overscript[a, ->]), g]) = 0
für jeden Punkt P ϵ g gilt auch P ϵ E

Schneidend man die Gerade mit der Ebene, gibt es unendlich viele Lösungen. Das bedeutet die Gerade liegt in der Ebene E.

Gerade leigt parallel zur Ebene

g ist parallel zu E,
g ⋂ E = { },
(Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) ⊥ (Overscript[u, ->])  ⟺ (Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) * (Overscript[u, ->]) = 0
kein Punkt P  ϵ g liegt  auch in E

Schneidend man die Gerade mit der Ebene, gibt es keine Lösungen. Das bedeutet die Gerade liegt parallel zur Ebene E.

Gerade schneidet Ebene

g schneidend E,
g ⋂ E = { S },
(Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) nicht ⊥ (Overscript[u, ->])  ⟺ (Subscript[(Overscript[n, ->]), E]) * (Overscript[u, ->]) ≠ 0
sie haben genau einen Punkt gemeinsam, d.h.: den Schnittpunkt

Schneidend man die Gerade mit der Ebene, gibt es eine Lösung. Das bedeutet die Geradeschneidet die Ebene E.

Beispiel:

Man untersuche die Lagebeziehung zwischen der Gerade g: (Overscript[x, ->]) = (({{-7}, {4}, {-1}})) + λ * (({{-3}, {3}, {-1}})) und der Ebene E: 3x - 2y+6z = -14. Berechne auch den Schnittpunkt, wenn vorhanden.

(Overscript[n, ->]) * (Overscript[a, ->]) =  (({{3}, {-2}, {6}})) * (({{-3}, {3}, {-1}})) = - 9 - 6 - 6 = -21 ≠ 0 das bedeutet es gibt einen Schnittpunkt S.

Berechnung des Schnittpunktes S: 

g: x = -7 -3*λ 
    y= 4 + 3*λ
    z= -1 - λ
    
dies wird jetzt in der Ebene für x,y und z eingesetzt: g ⋂ E = { S }

3*( -7 -3*λ) - 2* (4 + 3*λ) + 6* ( -1 - λ) = -14
 -21  - 9*λ  - 8  - 6*λ  - 6 - 6* λ= -14
 -21 * λ = 21
 λ = -1
 
 Jetzt setze für λ -1 in der Geradengleichung ein und man erhält den Schnittpunkt, dieser lautet S(-4|1|0)