Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen

Defintion

Es gibt 3 Arten von Lagebeziehungen:

1.) identisch
2.) parallel
3.) schneidend

Identisch:

Wenn zwei Ebenen identisch sind, beziehen sie dieselben Normalvektoren. 
E1⋂E2 =  E1= E2

Wenn man die Normalvektoren betrachtet, ergibt sich:
(Overscript[n, ->])1 = k * (Overscript[n, ->])2  für ein k ϵ ℝ

ebenso liegt ein beliebiger Punkt von E1 ( oder E2) auch auf E2 ( oder E1).

Eine andere Art um zu sehen, ob zwei Ebenen identisch sind, ist der Schnittpunkt. Bei identischen Ebenen gibt es unendlich viele Schnittpunkt (z.B.: 0=0).
Man schneidet zwei Ebenen, indem man sie gleich setzt. Kommt eine wahre Aussage heraus, sind sie identisch.


Parallel:

Wenn zwei Ebenen parallel sind, beziehen sie dieselben Normalvektoren. 
E1⋂E2 =  { }

Wenn man die Normalvektoren betrachtet, ergibt sich:
(Overscript[n, ->])1 = k * (Overscript[n, ->])2  für ein k ϵ ℝ

ebenso liegt ein beliebiger Punkt von E1 ( oder E2) nicht auf E2 ( oder E1).

Eine andere Art um zu sehen, ob zwei Ebenen parallel sind, ist der Schnittpunkt. Bei parallelen Ebenen gibt es keinen Schnittpunkt (z.B.: 0 * λ = 50).
Man schneidet zwei Ebenen, indem man sie gleich setzt. Bei parallelen Ebenen fällt der Parameter weg und es gibt keinen Schnittpunkt.

Schneidend:

Wenn zwei Ebenen schneidend sind, beziehen sie nicht denselben Normalvektoren. Die Ebenen schneiden einander in einer Geraden.
E1⋂E2 =  {g}

Wenn man die Normalvektoren betrachtet, ergibt sich:
(Overscript[n, ->])1  ≠ k * (Overscript[n, ->])2  für ein k ϵ ℝ

Eine andere Art um zu sehen, ob zwei Ebenen schneidend sind, ist der Schnittpunkt. Bei schneidenden Ebenen gibt es eine Schnittgerade.
Man schneidet zwei Ebenen, indem man sie gleich setzt. Kommt eine Gerade heraus, sind die zwei Ebenen schneidend. 
Wenn man eine Schnittgerade berechnen muss, setzt man entweder x oder y oder z als einen freien Parameter an, dann hat man 2 Gleichungen mit zwei unbekannten Variablen.

Betrachtet man das lineare Gleichungssystem der beiden Ebenen
E1:  ax + by + cz = d 
E2: ex + fy + gz = h

						Es besitzt
({{eine zweiparametrige Lösung,, keine Lösung,, eine einparametrige Lösung,}, {wenn, wenn, wenn}, {die inhomogenen Gleichungen 
proportional sind., die homogenen jedoch nicht
die inhomogenen Gleichungen
proportional sind., die homogenen Gleichungen
nicht proportional sind.}})