Ebenen im (R^3)

Definition

Eine Ebene im Raum ist durch drei nicht auf der Gerade liegende Punkte eindeutig festgelegt. Eine Ebene kann man durch 3 Punkte darstellen. 
Man braucht einen Punkt und zwei Richtungen.

allgemeine Schreibweise: E:(Overscript[ x, ->]) = A+ η * (Overscript[u, ->]) + λ* (Overscript[v, ->])

(Overscript[x, ->]).....variabler Ortsvektor zu Punkt X Element E
A.....beliebiger Punkt der Ebene
η,λ ......Parameter, sind reele Zahlen ohne der Null
(Overscript[u, ->]),(Overscript[v, ->])....beliebiger Vektoren in Richtung der Ebene (Richtungsvektoren), dürften nicht parallel sein





Eine Ebene kann man in parameterform angeben. die allgemeine Schreibweise ist die sogenannte Parameterform der Ebene.

Man kann eine Ebene auch in parameterfreier Form angeben. die Schreibweise ist E= ax + by+ cz =d. Die Zahl d ergibt sich wenn man einen Punkt in der Ebene einsetzt.
Es ist eine lineare Gleichung in 3 Variablen. a,b,c heißen lineare Glieder, d ist das absolute Glied. Ist d=0, heißt die Gleichung homogen, ist d≠0 inhomogen.

Jede lineare Gleichung mit 3 Variablen ax+by+cz=d mit (a/b/c) ungleich (0/0/0) legt genau eine Ebene fest.

Diese Form ist allerdings nicht eindeutig, weil es unendlich viele zueinander proportionale Glieder gibt, die die gleiche Ebene beschreiben.  Diese Form heißt auch Normal(vektor)form der Ebene.

Allgemein gilt:
Wenn die Ebene E in der Parameterdarstellung  E: x = A+ η *(Overscript[u, ->])  + λ* (Overscript[v, ->])  gegeben ist, dann kann man die Normalvektorform auch mit n = a x b und E: (Overscript[x, ->]) * (Overscript[n, ->]) = A * (Overscript[n, ->]) erhalten.

Einige besondere Lagen von Ebenen:

Ist in der Ebenengleichung ax+by+cz=d der Koeffizient a=0 (bzw. b=0, c=0) dann liegt die Ebene parallel zur x-(y-,z-)Achse. 
Ist d=0, geht sie durch den Ursprung.