Aufstellen einer Ebene

Definition:

Es gibt mehrere Arten eine Ebene aufzustellen:

1.) Durch 3 Punkte
2.) durch Punkt und Gerade
3.) durch 2 Geraden

Durch 3 Punkten:

Es sind die drei Punkte A,B,C gegeben. Man legt einen Punkt zum Beispiel A fest und dann braucht man zwei Richtungen, in unserem Fall AB und AC.

Beispiel

Die gegebenen Punkte sind A(4|-1|10),  B(-5|1|13) und C(10|4|9). 

(Overscript[AB, ->])= (({{-5, - 4}, {1, - (-1)}, {13, - 10}}))= (({{-9}, {2}, {3}}))

(Overscript[AC, ->])= (({{10, - 4}, {4, - (-1)}, {9, - 10}})) =(({{6}, {5}, {-1}})) 

E:(Overscript[ X, ->]) = (({{4}, {-1}, {10}}))+ η*(({{-9}, {2}, {3}}))  + λ*(({{6}, {5}, {-1}}))

durch Punkt und Gerade:

Man hat den Punkt A gegeben und eine Gerade g. Eine Richtung bekommt man von der Gerade, die andere von dem Punkt A und dem Punkt von der Gerade die zweite.
Dann kann man durch den Punkt A und den beiden Richtungen wieder die Ebene aufstellen (in Parameterform)

durch zwei Geraden:

da man zwei Geraden gegeben hat, dadurch hat man schon ein Richtung gegeben, ebenso wie den Punkt. Die zweite Richtung bekommt man, indem man den Richtungsvektor zwischen den zwei Punkten berechnet. Man kann sich einen Punkt von den beiden Geraden aussuchen.

Beispiel

Die gegebenen Geraden g : X =(({{2}, {-4}, {3}})))+ η * (({{1}, {2}, {-1}})) und h : X = (({{3}, {4}, {4}}))+ λ*(({{2}, {4}, {-2}})). Gesucht ist die Ebene.

es gibt 2 Möglichkeiten:

erste: E1: (Overscript[X, ->]) =(({{2}, {-4}, {3}})) + λ *  (({{1}, {2}, {-1}}))+ η * (({{1}, {0}, {7}})) hier ging man von der Gerade g aus

zweite: E2: (Overscript[X, ->]) = (({{3}, {4}, {4}})) + λ*(({{2}, {4}, {-2}}))+ η * (({{-1}, {0}, {-7}})) hier ging man von der Gerade h aus